中級微觀經(jīng)濟學-博弈論

第四講博弈論概論到目前為止，我們對經(jīng)濟活動的考察沒有考慮人們之間行為的相互影響。其實，現(xiàn)實中一個人的行為總是受到其他人行為的影響和制約，人們在追逐自己利益的過程中難免要與他人發(fā)生利益沖突或矛盾。如何克服和解決人們之間的利益沖突？如何才能實現(xiàn)一種既能讓每個人都實現(xiàn)自己的利益，又能讓每個人都不妨礙和傷害他人利益的互利互惠的和諧局面？博弈論(GameTheory)為解決這些問題提供了一種有力的科學分析框架。什么是博弈論自20世紀80年代以來，博弈論在經(jīng)濟學中得到了廣泛應用，在揭示人們經(jīng)濟行為的相互影響和相互制約方面取得了重大進展。大部分經(jīng)濟活動都可以用博弈論加以解釋，甚至連市場調節(jié)與宏觀調控這樣的重大問題都可以看成是特殊的博弈現(xiàn)象，納入到博弈論的范圍加以研究。博弈論的思想方法博大精深，已經(jīng)成為經(jīng)濟學的一個必不可少的組成部分。

Game參與人參與人的策略參與人的支付目標函數(shù)規(guī)則下的行動（期望）效用例子：田忌賽馬剪刀石頭布古諾斯塔克伯格思考：參與人數(shù)支付相抵策略數(shù)量同時開始類型博弈論是研究在策略性環(huán)境中如何進行策略性決策和采取策略性行動的科學。其中策略性環(huán)境是指每個人進行的決策和采取的行動都會對其他人產(chǎn)生影響。博弈的標準形式博弈的基本要素：局中人(玩家)、策略、收益。局中人的目標：收益最大化。策略博弈(gameofstrategies)：局中人以策略定勝負。博弈的標準形式(normalformofagame)：G=(Xi,

fi)n，其中

n

為局中人總數(shù)，

Xi

為局中人

i

的策略集合，S

=X1X2Xn

為G的局勢集合，fi:SR為局中人

i

的收益函數(shù)。局勢：由各局中人的策略組成的n元組

(x1,

x2,,

xn)(其中xiXi)。博弈的分類一般按照博弈的基本要素進行分類。按局中人數(shù)分：二人博弈、多人博弈按策略集合分：有限博弈、無限博弈按收益函數(shù)分：常和(零和)博弈、變和博弈按博弈性質分：非合作博弈、合作博弈按行動次序分：同時移動博弈、先后移動博弈(序貫博弈)

以上分類可以結合起來，形成更仔細的分類。比如，二人零和有限博弈(矩陣博弈)、多人非合作無限博弈等等。矩陣博弈

博弈是一種普遍的日常現(xiàn)象。當人們工作的時候，總是會有意識或潛意識地運用博弈論思維。比如，企業(yè)在經(jīng)營決策中總是要考慮競爭對手的反應，個人與政府之間又存在著“上有政策，下有對策”的博弈跡象，金融監(jiān)管與金融創(chuàng)新則猶如“貓鼠博弈”。在人們休閑時，博弈又作為消遣性的游戲讓人們從中取得快樂，甚至獲得智慧，例如下棋、玩牌、打麻將等。一般來講，博弈的特征表現(xiàn)為兩個或兩個以上具有利益沖突的當事人處于一種不相容狀態(tài)中，一方的行動取決于對方的行動，每個當事人的收益都取決于所有當事人的行動。當所有當事人都拿定主意作出決策時，博弈的局勢便得以確定。博弈論正是要研究人們之間的這種不相容的行為，它推廣了標準的一人決策理論。博弈論關注的問題是：在每個當事人的收益都依賴于其他當事人的選擇的情況下，追求個人收益最大化的當事人應該如何采取行動。我們先以最簡單的矩陣博弈為重點來討論這個問題，建立博弈論的基本思路和分析框架。

因此，甲和乙的二人零和有限博弈G=(X,f;Y,g)可表示為G=(X,Y,f)。特別是當策略集合X和Y既定時，可直接用甲的收益矩陣表示這個博弈G

，并稱作“矩陣博弈

f”。

例

便士匹配

甲和乙在玩一種游戲，每人手中都有一枚硬幣，每人都有兩種選擇：出示硬幣正面、出示硬幣反面。

游戲規(guī)則：甲和乙各自獨立決定是出示正面還是出示反面。如果都出示正面或都出示反面，那么甲贏１元，乙輸１元；如果一人出示正面，而另一人出示反面，那么甲輸１元，乙贏１元。這個游戲就是通常所說的便士匹配博弈(MatchingPennies)，它類似于小孩子玩的“手心手背”游戲。其標準形式如下：

乙甲出示正面出示反面出示正面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)出示反面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)便士匹配博弈收益表古諾均衡局中人的目標：選擇合適的策略以使自己的收益(對方的損失)達到最大，也就是要讓對方的收益(自己的損失)達到最小。我們來分析局中人的博弈過程以揭示博弈的最優(yōu)解。假定：甲和乙都彼此了解對方的收益矩陣，即雙方都清楚自己的收益就是對方的損失——利益沖突。博弈過程：既然每個局中人都要根據(jù)對方的行動來調整和確定自己的行動，那么博弈過程必然是這樣的策略調整與選擇過程：每個人都要不斷地在對方選定了策略的情況下來調整自己的策略以使自己的收益達到最大。博弈結局：當策略調整達到了這樣的局勢

(xh,yk)使得

xh是甲在乙選定yk的情況下的收益最大策略，同時yk是乙甲在選定xh的情況下的收益最大策略的時候，局中人雙方的策略調整得以結束，博弈的解得以確定，這個解即所謂的古諾均衡。即古諾均衡局中人的目標：選擇合適的策略以使自己的收益(對方的損失)達到最大，也就是要讓對方的收益(自己的損失)達到最小。假定：甲和乙都彼此了解對方的收益矩陣，即雙方都清楚自己的收益就是對方的損失——利益沖突。博弈過程：既然每個局中人都要根據(jù)對方的行動來調整和確定自己的行動，那么博弈過程必然是這樣的策略調整與選擇過程：每個人都要不斷地在對方選定了策略的情況下來調整自己的策略以使自己的收益達到最大。博弈結局：當策略調整達到了這樣的局勢

(xh,yk)使得

xh是甲在乙選定yk的情況下的收益最大策略，同時yk是乙甲在選定xh的情況下的收益最大策略的時候，局中人雙方的策略調整得以結束，博弈的解得以確定，這個解即所謂的古諾均衡。即古諾均衡：最小最大原理鞍點定理(最小最大原理)

是矩陣的鞍點(即博弈局勢(xh,yk)是矩陣博弈f的古諾均衡)當且僅當下述等式成立：

鞍點定理表明，要找到矩陣博弈的古諾均衡(即最優(yōu)解)，只需按照如下步驟進行：第一，從矩陣各行的最小元中找出最大元，稱為最大最小元；第二，從矩陣各列的最大元中找出最小元，稱為最小最大元；第三，如果最大最小元與最小最大元一致，那么該元素就是矩陣的鞍點，代表矩陣博弈的古諾均衡。

乙甲作廣告不作廣告作廣告3030不作廣告2020例2.廣告競爭的古諾均衡單位：萬元古諾均衡：穩(wěn)妥策略與不穩(wěn)定性

最小最大原理指出，只有在收益矩陣的最大最小元與最小最大元一致的情況下，矩陣博弈才有最優(yōu)解。注意，最大最小元和最小最大元總是存在的，但最大最小元與最小最大元未必總是一致。這樣一來，矩陣博弈就可能沒有最優(yōu)解。比如，便士匹配博弈就沒有最優(yōu)解：該博弈的收益矩陣的最大最小元為和，最小最大元為和，結果最大最小元與最小最大元不一致，從而便士匹配博弈沒有最優(yōu)解。矩陣博弈可能沒有最優(yōu)解的真正原因是什么？

為了分析這個問題，我們把收益矩陣的最大最小元叫做甲的穩(wěn)妥策略；把收益矩陣的最小最大元叫做乙的穩(wěn)妥策略。矩陣博弈可能沒有最優(yōu)解的原因是穩(wěn)妥策略可能不穩(wěn)定：未必能使策略調整過程結束。因此，即使甲和乙都選擇穩(wěn)定策略，也未必能保證博弈達到古諾均衡。

古諾均衡：混合均衡

古諾均衡未必存在，這不是我們的期望。另外，實際中，局中人常常希望行動隱秘而不被對手覺察。為了解決這兩個問題，人們提出了混合策略，即設計一種連自己都不知道會采取哪種策略的隨機策略，對手就更不得而知，從而使得局中人的行動變得詭秘。

混合策略(mixedstrategies)

考慮二人有限博弈G=(X,f;Y,g)。X={x1,x2,…,xm}可叫做甲的純策略集合，Y={y1,y2,…,yn}可叫做乙的純策略集合，S=X

Y便為博弈G

的純局勢集合。甲可采取隨機選擇：以概率pi選擇純策略xi(

i=

1,

2,…,

m)，從而可用概率分布p=(p1,p2,…,pm)來表示甲的這一選擇。這種以概率分布表示的策略叫做混合策略，集合叫做甲的混合策略集合。同樣，可給出乙的混合策略集合。集合就叫做博弈G的混合局勢集合。

甲和乙的收益矩陣分別為：。博弈G的混合擴充為博弈：定理博弈G=(X,f;Y,g)為常和博弈當且僅當G

的混合擴充為常和博弈。當G

是常和博弈時，G

與具有相同的收入常和。

G的混合擴充的古諾均衡(最優(yōu)解)叫做G的混合均衡(混合最優(yōu)解)。換句話說，G的混合局勢(p*,q*)叫做的混合均衡(混合最優(yōu)解)，是指(p*,q*)滿足如下條件：

定理(混合均衡的存在性)任何矩陣博弈都有混合均衡。例

便士匹配的混合最優(yōu)解

便士匹配博弈中，甲的收益矩陣為f。

尋找便士匹配博弈的混合最優(yōu)解，就是去找出使得。

矩陣博弈混合均衡的存在性以及鞍點定理保證了博弈值V(G)是一個良好定義的數(shù)，并且當(p*,q*)是的混合最優(yōu)解時，必有V(G)

=Ef(p*,q*)。博弈值在解釋最優(yōu)解的性質以及求解混合最優(yōu)解方面相當有用，還可以通過博弈值來證明矩陣博弈G的混合均衡集(混合最優(yōu)解集)具有下述定理所述的特點。博弈值

定理

對于甲和乙的矩陣博弈G=(X,Y,f)來說，T=

T1T2

且混合均衡集

T是空間的非空有界閉凸子集，從而甲的混合最優(yōu)策略集T1是的非空有界閉凸子集，乙的混合最優(yōu)策略集T2是的非空有界閉凸子集。

矩陣博弈僅僅是一類簡單又典型的二人常和博弈，經(jīng)濟學中遇到的博弈往往都是變和博弈。矩陣博弈理論之所以重要，是因為它為研究變和博弈提供了很好的分析思路和框架?，F(xiàn)在，我們來在矩陣博弈理論的基礎上建立一般的二人博弈理論。

二人有限博弈例

囚徒難題博弈乙甲合作背叛合作3000300004000背叛4000010001000囚徒難題博弈收益表古諾均衡(納什均衡)二人有限博弈：最小最大原理失效乙甲y1y2x15532x24366博弈GA：古諾均衡與最大最小元不一致乙甲y1y2x15637x24554博弈GB：不存在均衡，但存在最大最小元二人有限博弈：混合策略例

性別之戰(zhàn)：性別差異導致效用收益差異定理(混合均衡的存在性)

任何二人有限博弈都有混合均衡?？ǚ蛉氵_話劇足球話劇2100足球0012混合均衡：茹達和卡夫的預期收益都為2/3。意味著“男女平等”。

二人無限博弈現(xiàn)在考慮二人無限博弈G=(X,f;Y,g)，其中X和Y

分別任意集合，局勢集合S=X

Y

是無限集合。顯然，二人有限博弈的混合擴充就是二人無限博弈。二人無限博弈的混合擴充依然是二人無限博弈。因此，在無限博弈的情形，無需專門討論混合擴充。二人博弈的古諾均衡是滿足如下條件的局勢(x*,

y*)：XYRf

(x*,

y*)(x*,

y*)x*y*古諾均衡二人無限博弈：古諾均衡存在性假設G1甲的策略集合X

是某個拓撲向量空間V1的非空緊凸子集，乙的策略集合Y

也是某個拓撲向量空間V2的非空緊凸子集，從而局勢集合S是拓撲向量空間V1V2的非空緊凸子集。假設G2甲的收益函數(shù)

f

(x,y)連續(xù)且關于策略變元

x

弱擬凹；乙的收益函數(shù)連續(xù)

g(x,y)且關于策略變元y

弱擬凹。范格不動點定理

設T是拓撲向量空間的非空緊凸子集，F(xiàn):TT是集值映射。如果F上半連續(xù)且對任何xT，F(xiàn)(x)都是非空閉凸集，則F

有不動點，即(tT)(t=F(t))。定理(古諾均衡的存在性)任何滿足假設G1和G2的二人無限博弈都有古諾均衡。二人無限博弈：反應函數(shù)

當乙采取策略y時，甲對乙的這一行動的反應是要確定甲的相應對策x以使收益f

(x,y)在乙選擇y的情況下達到最大：f

(x,y)=max{

f

(x,y):xX}。這就確定了一個映射x=

(

y)，叫做甲對乙的反應函數(shù)。同樣，可以確定乙對甲的反應函數(shù)

y=

(

x)：g(x,y)=max{g(x,y):yY}。由“x*=

(

y*)&y*=

(

x*)”確定的局勢(x*,y*)的就是博弈G的均衡。

二人無限博弈的一種特殊情況：甲和乙的策略集合X和Y都是實數(shù)區(qū)間，收益函數(shù)f:XR和g:YR可微。則反應函數(shù)由下述方程確定：比如，重復博弈

雖然我們已經(jīng)對二人博弈的最優(yōu)解作了研究，但讓局中人找到最優(yōu)解卻不是一個容易的過程，需要反復實踐和鍛煉，就好像棋手下棋一樣，需要反復不斷地下，才能越來越達到最優(yōu)解。可見，博弈是可以重復進行的。但到目前為止，我們所研究的博弈都是一次性博弈。因此，有必要研究博弈的重復。事實上，當博弈可以重復進行的時候，其最優(yōu)結局可能會與一次性博弈的均衡有所差異。下面以囚徒難題博弈為例來說明這個問題，分兩種情況討論：博弈重復有限次博弈重復無限次重復博弈：有限次重復

每個局中人都知道博弈將重復一個固定的次數(shù)?？紤]最后一次博弈中局中人的推理：每個人都認為他們此時是在進行一次性博弈，這是最后一次行動，因而古諾均衡的標準邏輯推理得以應用，其結果是局中人雙方選擇“背叛”。再考慮倒數(shù)第二次博弈，這里似乎每個局中人都重視合作，可以向對方發(fā)出“善意”的合作信號，以便能在下一次博弈中繼續(xù)合作。但局中人作為理性人，他清楚地知道最后一次博弈中對方必然背叛，因此他在倒數(shù)第二次博弈中采取合作就沒有優(yōu)勢可言，故要選擇背叛。同樣，在倒數(shù)第三次博弈中，局中人的推理與倒數(shù)第二輪博弈中的推理一樣，結果在倒數(shù)第三輪博弈中，局中人依然采取背叛。采用這種從后往前的“逆向歸納法(backwardinduction)”，便可知道每次博弈中，局中人雙方都要選擇“背叛”策略?？梢?，在有限次重復博弈中，最優(yōu)的局勢依然是古諾均衡，也就是說，古諾均衡是局中人雙方的短期利益所在。重復博弈：無限次重復每個局中人都知道博弈要無限重復進行下去。此時，每個局中人的策略都是一個函數(shù)序列，它表明每個人在每個階段策略選擇都是此階段之前的博弈歷史的函數(shù)。這樣，局中人的收益是各階段收益的貼現(xiàn)值之和(向時刻0貼現(xiàn))：。R：局中人永不背叛的收益；RT：局中人第T次背叛的收益。

只要貼現(xiàn)率r<2，那么RT<R

，即采取背叛無利可圖，還是合作為好。收入的貼現(xiàn)率小于2是平常的，可見通常情況下，只要博弈能夠無限次重復下去，那么就可實現(xiàn)“(合作，合作)”的更好結局，這說明“(合作，合作)”是局中人雙方的長期利益所在。

非合作博弈

二人一次性博弈是典型的非合作博弈，局中人之間沒有串通和勾結，各個局中人都是獨立決策和獨立行動。

20世紀50年代，美國數(shù)學家納什成功地將這種博弈模式推廣到多人情形，接連發(fā)表了多篇研究論文，為現(xiàn)代博弈論的形成和發(fā)展奠定了堅實基礎。納什對多人非合作博弈作出了明確界定，提出了多人非合作博弈的納什均衡概念，并證明了納什均衡的存在性。由于納什均衡是對矩陣博弈的古諾均衡概念的推廣，因此人們也常常把納什均衡稱作古諾-納什均衡。納什均衡存在性定理的重要意義在于其結論可以直接向經(jīng)濟系統(tǒng)推廣，并且這種推廣是阿羅和德布羅重建瓦爾拉一般均衡理論大廈的關鍵所在。多人有限非合作博弈

定理(納什定理)

任何n人有限博弈都有(非合作)混合最優(yōu)解。多人連續(xù)博弈

對于多人無限博弈，人們更關注連續(xù)博弈，即在博弈的局勢集合上賦予了某種拓撲結構，并且在該拓撲結構下各個局中人的收益函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)性表明：只要局中人行動變化不大，局中人收益也就變化不大。

定理x*S是納什均衡

x*

(x*)(即x*為的不動點)。假設G1局中人

i

的策略集合Xi是某個拓撲向量空間Vi的非空緊凸子集,從而局勢集合S是拓撲向量空間V1Vn的非空緊凸子集。假設G2連續(xù)且關于策略變元

xi弱擬凹。定理(均衡存在性)

任何滿足假設G1和G2的n

人非合作博弈都有納什均衡。帶約束條件的納什均衡

假設G3在受約束的博弈G

=

(Xi,

fi,

Bi)iI中，每個局中人

i

的約束集映Bi:SXi都是連續(xù)的集值映射，同時對任何xS，Bi(x)都是Xi的非空閉凸子集，并且Bi(x)與局中人i在局勢x中的策略無關。帶約束條件的納什均衡存在性定理

任何滿足假設G1、G2和G3的

n

人非合作博弈都有納什均衡。納什均衡：合作博弈

當博弈從二人發(fā)展到多人參與的時候，局中人就不再像二人博弈那樣只是獨立行動，而是可以開展合作，一些局中人聯(lián)合起來對抗另外一些局中人。他們出于某種動機或需要而結成聯(lián)盟，互通情報信息，采取一致行動，以便取得對自己有利的結果。這種相互配合、彼此協(xié)作、結成聯(lián)盟的現(xiàn)象就是合作博弈的原型。在合作博弈中，局中人自己的策略選擇已經(jīng)不再是什么重要問題，重要的是聯(lián)盟如何選擇策略，如何采取一致行動，聯(lián)盟的收入如何向其成員進行分配。收入分配問題至關重要，它決定著局中人能否形成聯(lián)盟，盟外人又是否愿意加入到聯(lián)盟中來?，F(xiàn)在，我們來討論這些問題，建立多人合作博弈的理論。我們將以有限博弈為對象展開討論，至于無限博弈的情形，這里的理論和方法都可以自然地推廣過去。

合作博弈：聯(lián)盟對抗

博弈

G=(Xi,

ui)iI

的局中人集合為

I

=

{1,2,,n}。局中人的合作表現(xiàn)為結盟，即形成聯(lián)盟，這個聯(lián)盟就是

I

的子集。定義

博弈

G

中的一個聯(lián)盟是指局中人集合

I

的一個子集。對于這個定義，以下三點值得注意：

通過結盟，合作博弈可轉化為非合作博弈：若A是聯(lián)盟,那么G就成為聯(lián)盟

A

和其余聯(lián)盟

B的非合作博弈。即可把A和B都看成局中人：A

和

B

的策略集合分別為

XA=

iAXi和

XB=

iBXi,局勢集合為X=

iIXi=

XA

XB，局勢

x

=

(x1,,

xn)

=

(xA,

xB)，A

和

B

的收益函數(shù)分別為

uA(x)

=

iA

ui(x)和

uB(x)

=

iB

ui(x),于是G

轉化為GA=

(XA,

uA;XB,

uB)。如果

A

是聯(lián)盟，那么

B

=

I

–

A

也是聯(lián)盟，稱為聯(lián)盟

A

的余聯(lián)盟。任何聯(lián)盟

A

都把局中人分成兩個聯(lián)盟：聯(lián)盟

A

和余聯(lián)盟

B。

I

和空集

都是聯(lián)盟且互為余聯(lián)盟。我們把空集

稱為空聯(lián)盟。只含一個局中人的集合也是聯(lián)盟，叫做單人聯(lián)盟。這是聯(lián)盟的特殊情形，實際上單人聯(lián)盟并沒有真正的結盟意義。合作博弈：特征函數(shù)

通過聯(lián)盟A，多人合作博弈G簡化為二人非合作博弈GA

=

(XA,

uA;XB,

uB)，由此可引出博弈G的特征函數(shù)V:P

(I

)R：

V(A)是

A的收益函數(shù)uA在鞍點處的值。事實上，V(A)是二人零和博弈(XA,

uA;XB,

uA)的古諾均衡中局中人

A

的收益。馮·諾伊曼據(jù)此提出了如上的特征函數(shù)概念。特征函數(shù)V(A)具有以下基本性質：性質1對于空聯(lián)盟來說,V()

=

0。(這是因為

u

=

0)性質2若A,

BP

(I

)

且

AB

=,則V(AB

)

V(A)

+

V(B)。性質3當G為零和博弈時,V(I

)

=

0

且(AP

(I

))(V(I

–

A)

=

V(A))。如果把性質2中的不等式換為等式，即

V(AB

)

=

V(A)

+

V(B)

對一切不相交的聯(lián)盟

A和B都成立，則稱特征函數(shù)V

具有可加性。當V具有可加性時,

V(A)

=

iA

V({i})對一切聯(lián)盟

A

成立,

這表明結盟與不結盟沒有什么差別，從而博弈中合作沒有什么意義。這種具有可加特征函數(shù)的博弈，稱為非本質博弈，人們感興趣的是本質博弈。合作博弈：收入分配

特征函數(shù)表示聯(lián)盟總收入，那么這筆收入在聯(lián)盟內部如何分配呢？為了研究聯(lián)盟內的收入分配問題，首先給出收入分配的含義。

定義

博弈

G

=

(Xi,

ui)n

的收入分配(簡稱分配)是一個滿足如下條件的n維向量(r1,

r2,,

rn)：V(I

)

=

iI

ri且ri

vi=V({i})

(i

=1,2,,n)。定義中的條件

V(I

)

=

iI

ri意味著局中人全體組成統(tǒng)一聯(lián)盟，并從這個聯(lián)盟中得到收入；vi=V({i})表示局中人單干的收入，即不與其他人結盟的情況下的收入；條件ri

vi意味著局中人參加聯(lián)盟所得到的收入不低于單干的收入，聯(lián)盟的吸引力就在于參加聯(lián)盟能夠得到更多的收入。向量v

=

(v1,

v2,,

vn)就叫做單干收入向量，根據(jù)特征函數(shù)的性質可知，V(I

)

iI

vi。收入分配具有下述一些性質。性質1向量(r1,

r2,,

rn)

是G

的分配當且僅當存在向量(a1,

a2,,

an)

0

使得ri=

vi

+

ai(i

=1,2,,n)

且iI

ai=V(I

)

iI

vi。性質2

n

人非本質博弈的分配只有單干收入向量v

=

(v1,

v2,,

vn)。性質3本質博弈的分配有無限多個。合作博弈：核心最優(yōu)解

局中人結盟是因為結盟能夠提高聯(lián)盟成員的收入。因此，對于任何一種收入分配

t

=

(t1,

t2,,

tn)，如果存在AP

(I

)

及另一種收入分配r

=

(r1,

r2,,

rn)

使得V(A)

iA

ri

且ri

>

ti對一切

iA

成立,

那么

A中的局中人就會結盟一致反對收入分配

t以達到提高收入的目的,這個聯(lián)盟

A

就叫做收入分配

t

的反對者聯(lián)盟。一種收入分配只有不存在反對者聯(lián)盟的時候，才能被所有局中人接受。這種收入分配就是合作博弈的最優(yōu)解——核心最優(yōu)解。由所有核心最優(yōu)解構成的集合，