山西省忻州市殿上中學2022年高三數(shù)學理月考試題含解析

山西省忻州市殿上中學2022年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.路燈距地平面為8m,一個身高為1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，從路燈在地平面上射影點C，沿某直線離開路燈，則人影長度的變化速率為（

）A．

B．

C．

D．21

參考答案：B2.已知函數(shù)，則下列結論正確的是A.是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是

B.是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C.是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是

D.是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是參考答案：C3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（A）62

（B）66

（C）70

（D）74參考答案：B5.若，則cos2θ＝

（A）（B）－（C）（D）－參考答案：D6.下列命題中，真命題是

（

）A.

B.

C.的充要條件是=

D.若R，且則至少有一個大于1參考答案：D略7.李冶（1192﹣1279），真定欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時期的數(shù)學家、詩人、晚年在封龍山隱居講學，數(shù)學著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是（注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步參考答案：B【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】根據(jù)水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，即方田面積減去水池面積為13.75畝，方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，設圓池直徑為m，方田邊長為40步+m．從而建立關系求解即可．【解答】解：由題意，設圓池直徑為m，方田邊長為40步+m．方田面積減去水池面積為13.75畝，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圓池直徑20步那么：方田邊長為40步+20步=60步．故選B．【點評】本題考查了對題意的理解和關系式的建立．讀懂題意是關鍵，屬于基礎題．8.已知定義在R上的偶函數(shù)，f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且當x[0，1]時f（x）=x，則函數(shù)y=f（x）-㏒3|x|的零點個數(shù)是

A．多于4個

B．4個

C．3個

D．2個參考答案：B略9.已知集合，則A∩B=（）A.(2,3) B.(0,3) C.(1,2) D.(0,1)參考答案：A【分析】先利用對數(shù)函數(shù)求出，再利用交集定義求出.【詳解】解：，，=，故選A.【點睛】本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運用.10.已知函數(shù)f（x）=（）x﹣cosx，則f（x）在[0，2π]上的零點個數(shù)（）A．.1B．.2C．.3D．.4參考答案：C【分析】函數(shù)f（x）=（）x﹣cosx的零點個數(shù)為（）x=cosx根的個數(shù)，即函數(shù)h（x）=（）x，g（x）=cosx的圖象的交點，畫出圖象，可得結論．【解答】解：函數(shù)f（x）=（）x﹣cosx的零點個數(shù)為（）x=cosx根的個數(shù)，即函數(shù)h（x）=（）x，g（x）=cosx的圖象的交點，畫出圖象，發(fā)現(xiàn)在區(qū)間[0，2π]上交點個數(shù)為3，故選C．【點評】本題考查函數(shù)的零點，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，正確構造函數(shù)是關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，直線，垂足為O，已知中，為直角，AB=2，BC=1，該直角三角形做符合以下條件的自由運動：（1），（2）.則C、O兩點間的最大距離為

.

參考答案：略12.已知偶函數(shù)y=f(x)對于任意的x滿足f(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)），則下列不等式中成立的有

參考答案：(2)(3)(4)

【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B4解析：∵偶函數(shù)y=f（x）對于任意的x∈[0，）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0∴g（x）=，g′（x）=＞0，∴x∈[0，），g（x）=是單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，∴g（﹣）=g（），g（﹣）=g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化簡得出f（﹣）=f（）＜f（），所以（1）不正確．（2）化簡f（﹣）＞f（﹣），得出f（）＞f（），所以（2）正確．又根據(jù)g（x）單調(diào)性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函數(shù)y=f（x）∴即f（0）＜f（﹣），所以（3）正確．∵根據(jù)g（x）單調(diào)性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正確．故答案為：（2）（3）（4）【思路點撥】運用g′（x）=＞0，構造函數(shù)g（x）=是單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，根據(jù)奇偶性，單調(diào)性比較大小．運用得出f（＞f（），可以分析（1），（2），根據(jù)單調(diào)性得出g（）＞g（0），g（）＞g（），判斷（3）（4）．13.已知實數(shù)a，b，c成公差為1的等差數(shù)列，b，c，d成等比數(shù)列，a＞0，則a+b+c+d的取值范圍是

．參考答案：（7，+∞）

【考點】基本不等式．【分析】根據(jù)題意，由等差中項的性質(zhì)可得a+b+c=3b，且c=b+1，再結合等比中項的性質(zhì)可得d==b++2，則a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，分析可得b的取值范圍，令t=4b++2，結合對勾函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，實數(shù)a，b，c成公差為1的等差數(shù)列，則a+b+c=3b，且c=b+1，若b，c，d成等比數(shù)列，則有c2=bd，又由c=b+1，則d==b++2，則a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，又由a＞0，則b＞1，令t=4b++2，（b＞1），分析可得t＞7，則a+b+c+d的取值范圍為（7，+∞）；故答案為：（7，+∞）14.已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)．當x≥0時，f（x）=，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】依題意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上遞增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上遞減，當x=±2時，函數(shù)取得極大值；當x=0時，取得極小值0．要使關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個不同實數(shù)根，設t=f（x），則t2+at+b=0必有兩個根t1、t2，則有兩種情況：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合題意，討論求解．【解答】解：依題意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上遞增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上遞減，當x=±2時，函數(shù)取得極大值；當x=0時，取得極小值0．要使關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個不同實數(shù)根，設t=f（x），則t2+at+b=0必有兩個根t1、t2，則有兩種情況符合題意：（1）t1=，且t2∈（1，），此時﹣a=t1+t2，則a∈（﹣，﹣）；（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），此時同理可得a∈（﹣，﹣1），綜上可得a的范圍是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．故答案為：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【點評】本題考查了分段函數(shù)與復合函數(shù)的應用，屬于難題．15.若3+2i是關于x的方程2x2+px+q=0的一個根，則q的值是_______.參考答案：26把3+2i代入方程得：2(3+2i)2+p(3+2i)+q=0，整理得(10+3p+q)+(24+2p)i=0，利用復數(shù)相等的充要條件得，解得，故q=26.16.已知函數(shù)對任意的恒成立，則___________.參考答案：

17.設，向量，，，且，，則

．參考答案：.故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，當時，.（1）求a的取值范圍；（2）證明：.參考答案：（1）（2）見證明【分析】（1）因為，所以只要每段的函數(shù)值都大于零即可.（2），由（1）所求的取值范圍，可以得到：，由絕對值三角不等式，可以得到：，再經(jīng)過運算，可以證出結論.【詳解】解：（1）.由，，得的取值范圍為.（2）.因為，所以.由，得.因為，故.【點睛】本題重點考查了證明絕對值不等式，關鍵是絕對值三角不等式的應用；考查了已知絕對值不等式的解集，求參數(shù)問題，關鍵是分類討論思想的運用.19.已知函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，對于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且滿足f（2）=1．（1）求f（1）、f（4）的值；（2）求滿足f（x）+f（x﹣3）＞2的x的取值范圍．參考答案：考點：抽象函數(shù)及其應用；奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：（1）根據(jù)已知條件，只需取x=1，y=1，便可求出f（1）；取x=2，y=2，便可求出f（4）．（2）根據(jù)已知條件可以得到：f[x（x﹣3）]＞f（4），根據(jù)已知的條件解這個不等式即可．解答：解：（1）取x=y=1，則：f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；取x=y=2，則：f（4）=f（2）+f（2）=2，即f（4）=2．（2）由題意得，f[x（x﹣3）]＞f（4）；∴x應滿足：；解得，x＞4．∴滿足f（x）+f（x﹣3）＞2的x的取值范圍是（4，+∞）．點評：考查對條件f（xy）=f（x）+f（y）的運用，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，注意限制x＞0，x﹣3＞0．20.（本小題滿分14分）已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量滿足：記y＝f(x)．

（Ⅰ）求函數(shù)y＝f(x)的解析式：（Ⅱ）若對任意不等式｜a－lnx｜－ln[f'(x)－3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：（Ⅲ）若關于x的方程f(x)＝2x＋b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．參考答案：(2)∴原不等式為得或①……4分設依題意知a＜g(x)或a＞h(x)在x∈上恒成立，∴g(x)與h(x)在上都是增函數(shù)，要使不等式①成立，當且僅當或∴，或．……8分(3)方程f(x)＝2x＋b即為變形為令j，j……10分列表寫出x，j'(x)，j(x)在[0，1]上的變化情況：x0(0，)(，1)1j'(x)

小于00大于0

j(x)ln2單調(diào)遞減取極小值單調(diào)遞增……12分顯然j(x)在（0，1］上的極小值也即為它的最小值．現(xiàn)在比較ln2與的大小；∴要使原方程在（0，1]上恰有兩個不同的實根，必須使即實數(shù)b的取值范圍為……14分21.（本小題滿分12分）設函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且在區(qū)間內(nèi)存在極值，求整數(shù)的值.參考答案：解：（Ⅰ）由已知.…………（1分）

當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；………（2分）

當時，由得∴；……………（3分）由得∴.……（4分）

∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.…………（5分）（Ⅱ）當時，

∴………（6分）令，則∴在內(nèi)單調(diào)遞減.……（8分）∵

…………（9分）∴即在（3,4）內(nèi)有零點，即在（3,4）內(nèi)存在極值.

…………………（11分）又∵在上存在極值，且，∴k=3.……………（12分）22.某機械廠今年進行了五次技能考核，其中甲、乙兩名技術骨干得分的平均分相等，成績統(tǒng)計情況如莖葉圖所示（其中a是0﹣9的某個整數(shù)（1）若該廠決定從甲乙兩人中選派一人去參加技能培訓，從成績穩(wěn)定性角度考慮，你認為誰去比較合適？（2）若從甲的成績中任取兩次成績作進一步分析，在抽取的兩次成績中，求至少有一次成績在（90，100]之間的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；莖葉圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩名技術骨干得分的平均分相等，可得a值，求出方差比較后，可得結論；（2）先計算從甲的成績中任取兩次成績的抽法總數(shù)，和至少有一次成績在（90，100]之間的抽法數(shù)，代入古典概型概率計算公式可得答案．【解答】解：（1）由已知中的莖葉圖可得：甲的平均分為：（88+89+90+91+92）=90，由甲、乙兩名技術骨干得分的平均分相等，故乙的平均分：（84+88+89+90+a+96）=90，解得：a=3，則=[（88﹣90）