信號(hào)處理原理-徐明星CHAP03

3拉普拉斯變換傅里葉變換的基礎(chǔ)是：可以用復(fù)指數(shù)的線性組合表示信號(hào)復(fù)指數(shù)的指數(shù)jt，它只能隨時(shí)間在虛軸j上變化變化的范圍擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)數(shù)平面將指數(shù)進(jìn)一步擴(kuò)展為復(fù)變量s（s=+j）這就由傅里葉變換推廣至拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換1拉普拉斯變換的歷史與應(yīng)用十九世紀(jì)末，英國(guó)工程師亥維賽德發(fā)明了算子法，很好地解決了電力工程計(jì)算中遇到的一些基本問(wèn)題，但缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在著作中對(duì)這種算子法給予嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義。是對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行分析的重要方法之一，同時(shí)也是其他一些新變換方法的基礎(chǔ)。在電學(xué)、力學(xué)等眾多科學(xué)與工程領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。隨著技術(shù)的發(fā)展和實(shí)際的需要，離散的、非線性的、時(shí)變的等類型系統(tǒng)的研究與應(yīng)用日益廣泛，而拉氏變換在這些方面卻無(wú)能為力，它長(zhǎng)期占據(jù)的傳統(tǒng)重要地位正讓位給一些新的方法。盡管如此，利用拉氏變換建立的關(guān)于系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)分析的概念仍有重要的意義。在連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的分析中，拉氏變換至今仍是不可缺少的強(qiáng)有力工具。2不少信號(hào)函數(shù)雖然有傅里葉變換存在，但由于積分不收斂，不能直接用定義式求傅里葉變換。如單位階躍函數(shù)。由于狄義赫利條件要求信號(hào)絕對(duì)可積，有的信號(hào)根本不存在傅里葉變換。某些信號(hào)雖有傅里葉變換，但變換結(jié)果中出現(xiàn)了沖激函數(shù)。如階躍信號(hào)、周期信號(hào)等信號(hào)。這樣有時(shí)不方便。其中為任意常數(shù)，將其與信號(hào)f(t)相乘，選取合適的實(shí)數(shù)，使乘積信號(hào)滿足絕對(duì)可積條件（即狄義赫利條件），從而能夠進(jìn)行傅里葉變換。引入一個(gè)衰減因子傅里葉變換的不足3拉普拉斯變換的定義令則上式被稱為拉普拉斯變換式4雙邊拉普拉斯變換拉普拉斯變換方法是一種復(fù)頻域變換方法，常稱為s域分析。拉普拉斯變換LT定義拉普拉斯反變換ILT定義原函數(shù)象函數(shù)5單邊拉普拉斯變換實(shí)際碰到的信號(hào)總是因果信號(hào)變換的積分下限從零開(kāi)始單邊拉普拉斯變換表達(dá)式6衰減因子引入的意義（作用）衰減因子的意義從數(shù)學(xué)方法上看：將函數(shù)f(t)乘以衰減因子后，將使之成為收斂函數(shù)，從而滿足絕對(duì)可積條件。從物理意義上看：只能表示振蕩的重復(fù)頻率，而將頻率變換為復(fù)頻率s后，不僅能表示重復(fù)頻率，還能表達(dá)振蕩幅度增長(zhǎng)或衰減的速率。7LT的收斂域從LT的定義可知：當(dāng)信號(hào)f(t)乘以衰減因子以后，乘積信號(hào)并非一定能滿足絕對(duì)可積的限制條件。還要根據(jù)信號(hào)f(t)的性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)乃p因子，才能使信號(hào)的LT存在。使信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換存在的的取值范圍，稱為該信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域，簡(jiǎn)記為ROC。不同的信號(hào)，它們的拉氏變換結(jié)果有可能相同，但變換成立的條件(即各自的ROC)不同。因此，對(duì)于信號(hào)的拉氏變換，除了給出相應(yīng)的變換結(jié)果表示式外，還要給出使表示式能夠成立的復(fù)變量s的取值范圍。也只有給出了相應(yīng)的ROC，拉氏變換才與特定的信號(hào)有對(duì)應(yīng)關(guān)系。8常見(jiàn)信號(hào)的拉普拉斯變換階躍函數(shù)指數(shù)函數(shù)Re[s]>-a,其中a可正可負(fù)

沖激函數(shù)ROC為整個(gè)s平面

還有一些常用信號(hào)的拉普拉斯變換及其收斂域，可以通過(guò)查表得到?？梢杂盟鼈儊?lái)求解一些復(fù)雜變換的逆變換，特別是在用部分分式來(lái)求解拉普拉斯變換的逆變換的時(shí)候。9拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)與傅里葉變換的性質(zhì)基本上是相似的，都可以根據(jù)拉氏變換的定義來(lái)直接證明。我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)離散時(shí)間信號(hào)的Z變換，以及離散傅里葉變換DFT，這些變換也有類似的性質(zhì)。建議大家在學(xué)習(xí)完本課程介紹的所有變換后，把它們對(duì)比起來(lái)進(jìn)行復(fù)習(xí)。10線性信號(hào)之和的拉氏變換等于各信號(hào)的拉氏變換之和。時(shí)域平移(延時(shí)定理)S域平移尺度變換拉普拉斯變換的性質(zhì)S域平移尺度變換時(shí)域平移(延時(shí)定理)S域平移尺度變換線性時(shí)域平移(延時(shí)定理)S域平移尺度變換11拉普拉斯變換的性質(zhì)時(shí)域微分時(shí)域積分f(t)積分式在t=0的取值頻域微分頻域積分12卷積定理拉普拉斯變換的性質(zhì)兩信號(hào)卷積的拉氏變換等于各自拉氏變換的乘積

兩信號(hào)乘積的拉氏變換等于各自拉氏變換的卷積

它們被分別稱為時(shí)域卷積定理和頻域卷積定理13拉普拉斯變換的性質(zhì)初值定理與終值定理若信號(hào)是因果信號(hào)，且f(t)及其導(dǎo)數(shù)的拉氏變換都存在，則可以利用信號(hào)的拉氏變換結(jié)果，求信號(hào)的初值和終值。初值終值在求出信號(hào)的拉氏變換后，可利用本性質(zhì)對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。即若根據(jù)本性質(zhì)求出的初值和終值與信號(hào)的實(shí)際值不符，則說(shuō)明拉氏變換過(guò)程有錯(cuò)。但這種驗(yàn)證并不充分，因?yàn)榧幢闱蟪龅某踔岛徒K值與信號(hào)的真實(shí)值相符，拉氏變換結(jié)果還是可能是錯(cuò)誤的。14拉普拉斯逆變換留數(shù)法留數(shù)定理在s平面沿一不通過(guò)被積分函數(shù)極點(diǎn)的封閉曲線C進(jìn)行的圍線積分等于此圍線C中被積函數(shù)各極點(diǎn)pi的留數(shù)之和用留數(shù)定理求拉普拉斯逆變換的公式為15拉普拉斯逆變換部分分式法求逆變換拉氏變換式F(s)?？杀硎緸閟的有理分式，這時(shí)，借助于部分分式分解法，可以將F(s)表達(dá)式分解，對(duì)分解后的各項(xiàng)s函數(shù)式的逆變換，可直接從常見(jiàn)函數(shù)拉氏變換表中查得，不再需要進(jìn)行積分運(yùn)算，從而大大簡(jiǎn)化拉氏逆變換的求解過(guò)程。理論依據(jù)拉氏變換的線性特性逆變換方法總結(jié)F(s)為有理分式：利用部分分式分解和查表的方法求逆變換，無(wú)需引用留數(shù)定理。F(s)為有理分式與exp(-st)相乘：可借助拉氏變換的時(shí)域平移性質(zhì)，用部分分式法求解逆變換。F(s)為無(wú)理函數(shù)：需利用留數(shù)定理逆變換。但是這種情況在實(shí)際系統(tǒng)中很少碰到16拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系從FT求LT拉氏變換是傅氏變換的一般化，可以把拉氏變換作為傅氏變換來(lái)進(jìn)行，即可以用信號(hào)的傅氏變換來(lái)求解信號(hào)的拉氏變換求信號(hào)的單邊拉氏變換求信號(hào)的雙邊拉氏變換17拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系從LT求FT傅里葉變換可以被看成是虛軸(s=j)上的拉氏變換即把信號(hào)的LT結(jié)果中的自變量s換成j，就得到信號(hào)的傅里葉變換。這個(gè)辦法是否正確呢？18拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系由雙邊LT求FT雙邊拉氏變換的積分限范圍是(-,)，如果收斂域包含虛軸j，則信號(hào)的傅里葉變換總存在，這時(shí)就可以直接用上面的公式由LT求FT。

19拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系由單邊LT求FT單邊拉氏變換的積分限范圍是0~，如果信號(hào)不是因果信號(hào)，則信號(hào)在進(jìn)行單邊拉氏變換時(shí)會(huì)“丟失”部分信息，而傅里葉變換實(shí)際上是一種雙邊變換，因此，從信息“殘缺”的拉氏變換求信息“完備”的傅氏變換，是不可能的。信號(hào)是因果信號(hào)能否從LT求FT，還要根據(jù)LT的收斂坐標(biāo)的情況來(lái)定收斂坐標(biāo)在S平面右半邊：信號(hào)FT不存在！收斂坐標(biāo)在S平面左半邊：信號(hào)FT存在，可用此公式！收