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剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題第四章授課教師:張偉Email:zwphys@西南科技大學(xué)理學(xué)院剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的幾類問題1、
一飛輪直徑為0.30m,質(zhì)量為5.00kg,邊緣繞有繩子,現(xiàn)用恒力拉繩子的一端,使其由靜止均勻地加速,經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達(dá)10r/s。假定飛輪可看作實(shí)心圓柱體,求:(1)飛輪的角加速度及在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù);(2)拉力及拉力所作的功;(3)從拉動(dòng)后經(jīng)t=10s時(shí)飛輪的角速度及輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。=1.26×102rad/s2
===ωatnπ2t2×3.14×100.51.26×102×(0.5)2=5π21at2==θ21×N=θπ2=2.5rωant==π2(1)解:==aFRJ=5.6×10-2×1.26×102
0.1547N=θA=MFRθ47×0.15×5π=111J=aFMRJ==(2)ωRv==0.15×1.26×103
=1.89×102m/sat=Ra=0.15×1.26×102an2=ωR=0.15×(1.26×103)2
=2.38×105m/s2
=1.26×102×10=1.26×1031/sωat=(3)=18.9m/s2一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端,繩另一端繞在一輪軸的軸上,如圖所示。軸水平且垂直于輪軸面,其半徑為R,整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上,當(dāng)物體從靜止釋放后,在時(shí)間t內(nèi)下降了一段距離s,試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(用m、R、t和s表示)。解:研究系統(tǒng),物體和輪軸,當(dāng)物體下降s距離時(shí),物體和滑輪的運(yùn)動(dòng)方程為
根據(jù)(3):兩均質(zhì)皮帶輪的半徑分別為R1和R2,質(zhì)量分別為m1和m2,都可以視為勻質(zhì)圓盤,兩輪以皮帶相連,分別繞兩平行的固定軸O1和O2轉(zhuǎn)動(dòng),如果在第一輪上作用一力矩M,在第二輪上作用有負(fù)載力矩M’,設(shè)皮帶與輪間無滑動(dòng),皮帶質(zhì)量以及兩軸處的磨擦均忽略不計(jì),試求第一皮帶輪的角加速度。o1o2MM’T1T2T1’T2’R1R2o1o2MT1T2T2’R1T1’M’(4)長為l質(zhì)量為m的均勻桿,在光滑桌面上由豎直位置自然倒下,當(dāng)夾角為θ時(shí)(見圖),求:(1)質(zhì)心的速度;(2)桿的角速度。qABl0xc==vcx0ω=vc=sinql2vcyω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc=tddqω解:選質(zhì)心坐標(biāo)系由機(jī)械能守恒:qlcos2=yctdsin==ycdql2tddqvcyqABl123qg2sin+()1qcos()l1ω=ω=vcsinql2123qg2sin+()1qcos()l1=sinql2+m21ωsinql4222()ωml2241=21qcosgm2()l將代入得:vcω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc一根長為、質(zhì)量為M的勻質(zhì)棒自由懸掛于通過其上端的光滑水平軸上?,F(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向棒的中心,并以v0/2的水平速度穿出棒,此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角恰為,則v0的大小為[]5、一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒,可繞通過其一端的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng),棒的質(zhì)量為長度為對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,初始時(shí)棒靜止,今有一水平運(yùn)動(dòng)的子彈垂直地射入棒的另一端,并留在棒中,子彈的質(zhì)量速率問(1)棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度?(2)若棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到大小為的恒阻力矩作用,棒能轉(zhuǎn)過的角度?o(2)轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律:(1)角動(dòng)量守恒一根質(zhì)量為m、長度為L的勻質(zhì)細(xì)直棒,平放在水平桌面上。若它與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為,在
時(shí),使該棒繞過其一端的豎直軸在水平桌面上旋轉(zhuǎn),其初始角速度為0,則棒停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需時(shí)間為
。
求:棒從碰撞開始到停止轉(zhuǎn)動(dòng)所用的時(shí)間。
(12)質(zhì)量為m1,長度為l
的均勻細(xì)棒,靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為的水平桌面上,它可繞端點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊,它與棒的A端相碰撞,碰撞前后的速度分別為及mv1v2。Amvl1v21m2O13=Im1l2+=ωImvl21mvl22=+mv21mvl123()AOmvl1v21m2解:由角動(dòng)量守恒得ωImvl21=mvl22棒上dx段與桌面間的摩擦力為:gxfmdm1=ld=dMfdx=gxmdm1lxdx段所產(chǎn)生摩擦力力矩為:òM0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvl122()mt摩擦力力矩為:dM=gxmdm1lx由角動(dòng)量原理:òM0=ttdMtω013m1l2=)=13m1l2+mv21mvl123(.所用的時(shí)間為:*8、一勻質(zhì)的薄圓盤狀飛輪,質(zhì)量為m,半徑為R,繞過盤心且垂直盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng),軸的摩擦忽略不計(jì)。當(dāng)它以初角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于上下表面受到空氣的摩擦阻力矩的作用,會(huì)慢慢停下來,假設(shè)空氣對(duì)盤表面任意點(diǎn)附近單位面積上的摩擦力正比于該點(diǎn)處的線速度大小,比例常數(shù)為k,求它一共能轉(zhuǎn)多少圈?
解此題的關(guān)鍵是求出摩擦阻力矩。為此首先要明確摩擦阻力矩有什么特點(diǎn)?因?yàn)閱挝幻娣e受到的摩擦阻力,正比于該點(diǎn)處的線速度,所以飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),距轉(zhuǎn)軸距離相等的各點(diǎn)處,單位面積的摩擦力大小一樣,方向不同,但它們產(chǎn)生的力矩方向相同。轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,由于角速度ω不斷變化,所以同一點(diǎn)處摩擦力的大小也要隨時(shí)間變化,是一個(gè)變力矩的問題。方法:一種是應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律,一種是應(yīng)用角動(dòng)量定理。方法一:應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律單位面積元所受的摩擦力為:圓環(huán)上所有面元的力矩方向相同,即均向里,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律方法二、角動(dòng)量定理因?yàn)榱睾徒莿?dòng)量方向在同一直線上,
(5)
在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤邊上,站一質(zhì)量為m的人。圓盤的半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,角速度為ω。如果這人由盤邊走到盤心,求角速度的變化及此系統(tǒng)動(dòng)能的變化。ωω′+=J2RmωJEkΔ=Ek′Ek′=Δωω=ωω2RmJ21=J+J()2Rm2J2ω2=21J+J2Rm2()2Rm解:系統(tǒng)角動(dòng)量守恒ω′+=J()2RmωJ(1)21=+J()2Rm2Jω2(2)21=Jω2Ek′′ω
(6)
在半徑為R1、質(zhì)量為m的靜止水平圓盤上,站一質(zhì)量為m的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心,半徑為R2(<R1)的圓周勻速地走動(dòng)時(shí),設(shè)他相對(duì)于圓盤的速度為
v,問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)?ωR1R2′=R2vω人對(duì)盤的角速度盤對(duì)地的角速度ω由角動(dòng)量守恒得:ω0+″=R22mJω′ω+==ω″ωR2+ωv人對(duì)地的角速度RJ1221=m解:0=ωR1221m+R22mR2+ωv()=ωR1221m+R2mvR22m=R122+R2vR222ωR1R2(7)在一半徑為R、質(zhì)量為m的水平圓盤的邊上,站著一個(gè)質(zhì)量為m′的人。這圓盤可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)軸與軸承之間的摩擦阻力可忽略不計(jì)。當(dāng)人沿盤的邊緣走一周回到盤上原有位置時(shí),這圓盤將轉(zhuǎn)過多大的角度?ωRm′m盤對(duì)地的角速度ω由角動(dòng)量守恒得:′ω0+″=R2mJωRJ221=m解:′=Rvω人對(duì)盤的角速度r0=ωR221m+R2mR+ωv()′r′ω+==ω″ωR+ωv人對(duì)地的角速度r=ωR221m+RmvR2m′r′ωRm′m=′R21m+mvmr′()tΔ由題意在時(shí)間內(nèi),人相對(duì)盤轉(zhuǎn)過的角度為:′r=′R2m+mvm()Rrvπ2′=′2m+mm()π4′rωqtΔ==′R+mvm()tΔ2mtΔ在時(shí)間內(nèi),盤相對(duì)地轉(zhuǎn)過的角度為:R=rvtΔπ2∴R′==ωtΔrvtΔπ2q=′(8)如圖所示,轉(zhuǎn)臺(tái)繞中心豎直軸以角速度ω作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=5×1O-5kg.m?,F(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺(tái),并粘在臺(tái)面形成一半徑r=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺(tái),使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)棣?/2所花的時(shí)間。ω0ωJ2′21+==()ω0J′Jmrω0==mdtdtm2Jrmdtd==5×10-51×10-30.12()×5sω0ω0=221Jm21r=J5×10-5kg.m21m-3d×=td10kg/s已知:解:由角動(dòng)量守恒2=Jmrω0r
(9)
飛輪的質(zhì)量為60kg,直徑為0.50m,轉(zhuǎn)速為1000r/min,現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動(dòng),求制動(dòng)力F,假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4,飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。Fωd閘瓦0.5m0.75m=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFNfl1l2RJm2==60×(0.25)2
解:ω104.720.9r/s250at===ω0l1+=()Fl2Nl10=RJfma=NRl1=Fl1+l2mRJa=314Nm=NRJa
(10)如圖,滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg·m2,半徑r=30cm,彈簧的勁度系數(shù)為k=20N/m,重物的質(zhì)量m=2.0kg。當(dāng)此滑輪一重物系統(tǒng)從靜止開始啟動(dòng),開始時(shí)彈簧沒有伸長。如摩擦可忽略,問物體能沿斜面滑下多遠(yuǎn)?37Jmrk0b+ωgmk
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