2021屆湖南省長郡十五校高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷解析

絕密★用前2021屆湖省長郡五校高下學(xué)期二次聯(lián)數(shù)學(xué)試注意事：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．已知全集

UBNx，

U

BA．

B．

C．

D．

答案：求出全集

，結(jié)合

U

合B解：

UA0,1,2,3,4,5,6,7,8

A

U因此，

故選：2．已知復(fù)數(shù)滿足：

2

74

i

（i

為虛數(shù)單位在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則復(fù)數(shù)

的虛部為（）A．

i

B．3C．

D．

32

i答案：設(shè)

(,)

，求得

2

2

2

，據(jù)復(fù)數(shù)相等列出程組，求得復(fù)數(shù)

32

i

，即可求解解：設(shè)

(,)

，則

7i4

，可得

a2ab

74

，因?yàn)椋?，?/p>

32

，所以

33i，i22

.故選：3．設(shè)aR

，則“

a

”是“

”的（）A．充分不必要條件C．充要條件

B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

2x答案：2x先解不等式a

得

，再根據(jù)基本關(guān)系判定即可得答.解：解：解不等式a

得

，因?yàn)?/p>

，所以“”“a2”的必要不充分條件故選：結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若p是必要不充分條件，則對(duì)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）p的充分不必要條件，則對(duì)集合是q對(duì)集合的真子集；（3）p的充分必要條件，則p應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)合相等；（4）p的既不充分又不必要條件，q對(duì)集合與p對(duì)集合互不包含．4．十二生肖作為中國民俗文化的代表，是中國傳統(tǒng)文化的精髓，很多人把生肖作為春節(jié)的吉祥物來達(dá)對(duì)新年的祝.某課外興趣小組制作了一個(gè)正十二面體模圖在二個(gè)面分別雕刻了十二生肖的圖案，作為春節(jié)的吉祥物.2021年節(jié)前，其中2個(gè)趣小組成員將模型隨拋出望能拋出牛的圖案朝（即牛的圖案在最上面人各拋一次，則恰好出現(xiàn)次牛的圖案朝上的概率為（）A．

B．

C．

1172

D．

23答案：由已知得人拋次拋出牛的圖案朝上的概率是解：因?yàn)槿藪伌螔伋雠５膱D案朝上的概率是

，由此可求得選.，所以2人拋一次，則恰好出現(xiàn)次牛的圖案朝上的概率為

P12

111121272

，故選：5．已知

xcosx

8，則5

（）A．

B．

C．

725

D．

答案：

∴∴先由輔助角公式求出

πx5

,再用二倍角公式求

in2

.解：∵

sinx

，x

5

，∴

sin2x

cos22x36

.故選：利用三角公式求三角函數(shù)值的關(guān)鍵：(1)角的范圍的判斷；(2)根據(jù)條件選擇合適的公式進(jìn)行化簡計(jì)算．.6．函數(shù)()

ln(2cosx

的圖象大致()A．B．C．D．答案：分析函數(shù)f(x)定域，排除兩個(gè)選項(xiàng)，再取特殊值得解：∵令g(x)=

，x>0時(shí)x是遞增的，cosx(0,上減，則有在0,上調(diào)遞增而

g(0)

，所以存在

x使g(x)00

，f()

中

x,0

，排除C、D，∵x

時(shí)

f(

，排除，以選A.故選：給定解析式，識(shí)別圖象，可以從分析函數(shù)定義域、函數(shù)奇偶性、在特定區(qū)間上單調(diào)性及

特殊值等方面入.7．消除貧困、改善民生、逐步實(shí)現(xiàn)共同富裕，是社會(huì)主義的本質(zhì)要求，是中國共產(chǎn)黨的重要使命，中共中央、國務(wù)院于201511月29日布了《中共中央國務(wù)院關(guān)于打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的決定.某中學(xué)積極參與脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，決定派6名教到A、B、

、、E五貧困山支教，每位教師去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少安排一名教師前去支教學(xué)考慮到教師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，定派教師甲到山區(qū)A，時(shí)考慮到教師乙與丙為同一學(xué)科，決定將教師乙與丙安排到不同山區(qū)，則不同安排方法共有（）A．120種

B．216種C．336種D．360種答案：分山區(qū)A有1人人分別討論求解即.解：根據(jù)條件A、、、D、五個(gè)困山區(qū)有1個(gè)地區(qū)有人其他個(gè)地區(qū)各1人若派到山區(qū)A有2人則同派法有

5

種；若派到山區(qū)A有1人則能為甲，則將剩余的5人成4組其中乙、丙不能在同一組，則有

C2

種不同的分組方法.所以不同派法有

種，故不同安排方法一共216故選：

種，8．當(dāng)

時(shí)，不等式

ex

ax

恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（）A．a(chǎn)

3

B．

a

C．

De

2

2答案：先根據(jù)

時(shí)

f(

判斷出a根

h)

ex

ax

在

處取最大值可求a的.解：令

f(x)

e

，∵

時(shí)

f(

，∴a合條件令

h)

e

，故

恒成立，又

，∴

h

要在

處取最大值，故

為

h

在R

上的極大值點(diǎn)，故

h

，又

ex

，故2

∴

a

，

故選：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于不等式的恒成立問題，注意觀察其等號(hào)成立的條件，從而把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.二、多選題9．為進(jìn)兒童全面發(fā)展和健康成長，我國于2011年頒布實(shí)施《中國兒童發(fā)展綱要（2011-2020年兒文化產(chǎn)和活動(dòng)場所更加豐富近來，兒童接觸文化藝術(shù)和娛樂體驗(yàn)的途徑更加多元，可獲得的文化產(chǎn)品和服務(wù)也更加豐.如圖為2011-2019年少兒廣播節(jié)目、少兒電視節(jié)目、電視動(dòng)畫節(jié)目播出時(shí)則下列結(jié)論中正確的是（）A年國少兒電視節(jié)目播出時(shí)間比上一年增長6.4%B．2011-2019年兒廣播節(jié)目少兒電視節(jié)目、電視動(dòng)畫節(jié)目播出時(shí)間中電視動(dòng)畫節(jié)目播出時(shí)間的方差最小C年兒廣播節(jié)目出時(shí)間的平均數(shù)約為21小時(shí)D年兒廣播節(jié)目少兒電視節(jié)目、電視動(dòng)畫節(jié)目播出時(shí)間均逐年增長答案：通過折線圖的分析，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn).解：2018年國少兒電視節(jié)目出時(shí)間比上一年增長

57.357.1

100%

0.35%，故A錯(cuò)；由圖知電視動(dòng)畫節(jié)目播出時(shí)間的方差最小B正；少

兒

廣

播

節(jié)

目

播

出

時(shí)

間

的

平

均

數(shù)13.614.921.621.822.52526.626.62014年2015年少兒電視節(jié)目出時(shí)間降低D錯(cuò).故選：

21萬時(shí)C正確；10．拋物線

C

px(0)

的焦點(diǎn)作斜率1的線交拋物線于A，兩

x2x2點(diǎn)，則

|AF|BF

（）A．32

B．5

C．

D．32答案：設(shè)直線并設(shè)交點(diǎn)A，，入消元后求出縱坐標(biāo)，縱標(biāo)絕對(duì)值的比即為對(duì)應(yīng)線段的比解：直線

:x

，聯(lián)立

y2

得

y2py0

，解得y2)p，y2)p

，∴

|AF2|22，或2|BF|22

，故選:AD.11．知函數(shù)

fx

2

，

，則（）A．

fx)

與

)

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．將

f(x)

的圖象向左平移

個(gè)單位長度，得到)的象C．g()在，2

上的最大值為

D．

fx)

的對(duì)稱軸為

x

，

k答案：根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性、三角函數(shù)圖像性質(zhì)及變換法則逐一檢.解：∵

y)sinx

2

2

cosg(6

，A正確；∵

f)x

cosx

cos

5

，向左平移個(gè)位長度，得到

2ycos26

cos2x()

，B正；x

12

時(shí)

g(

，故C錯(cuò)誤；由

2x

2(kZ)得f()32

5的對(duì)稱軸為xk

k，D錯(cuò)誤；

故選:AB.12．角四面體是一種半正八面，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體如所示棱為3正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為

的截角四面體，則下列說法正確的是（）A．該截角四面體的表面積為73a

B．該截角四面體的體積為

3C．該截角四面體的外接球表面積為

112

a

D．該截角四面體中，二面角ABC

的余弦值為

13答案：根據(jù)截角四面體的定義為四面體利用正四面體的相關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)求解判斷；解：如圖所示：由正四面體

中，題中截角四面體由4個(gè)長為a的三角形，4個(gè)邊長為a的正六邊形構(gòu)成故S

2a

2

7

2

，A正；∵

棱

長

為

的

正

四

面

體

的

高

h

63

a

，

∴V

36162)a)a33

3

，B正；設(shè)外接球的球心為O，ABC的心為O'eq\o\ac(△,，)中心為四面體上下底面距離為

6a，∴3

R22

，∴

2

2

，∴

2

2R3

2

2

，∴

86a22aR23

，∴

2

11a8

2

，∴

2

112

2

，C正確；易知二面角

A

為銳角，所以二面角ABC

的余弦值為負(fù)值D錯(cuò)，故選：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將幾何體還原為正四面體，結(jié)合正四面體的相關(guān)性質(zhì)而得.三、填空題13．知答案：

，b(1,，(ab，與的角________.先求出b

及cos

，即可求出a與的角解：∵2，∵ab)

，∴

，∴

abab

24

，∵

夾為

.故答案為：

.14若線

f(x)x

在點(diǎn)P的切線與直線

平行則P的標(biāo)為________.答案：

(1,1)利用切線與直線l平可得切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義構(gòu)造方程可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證是否與

l

平行后即可得到結(jié)果解：設(shè)

x

，

f0

，

2在點(diǎn)P處的切線平行于直線l：2

，即

x2

，解得：x

，當(dāng)x

時(shí)，

，則切線方程為

，x

，與

l

重合，不合題意；當(dāng)

x0

時(shí)，

，則切線方程為

y

，即

x+

，與

l

平行；綜上所述：

.故答案為：

.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題容易忽視對(duì)所得直線是否與給定直線重合進(jìn)行檢驗(yàn)，從而導(dǎo)致增解．15．雙曲線C:

a的點(diǎn)F作以焦點(diǎn)為心的圓的切線，其中2b2一個(gè)切點(diǎn)為M

eq\o\ac(△,，)F1

的面積為c

2

其中c為半焦距段MF恰好被雙曲線1

的一條漸近線平分，則雙曲線答案：2

的離心率為_______.由圖像可得

ON1

，由焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b可得

F

，進(jìn)而圖像中線段的長度據(jù)

△FM的面積為c2列等量關(guān)系式后解方程求出離心率即可.1解：由題意，可得圖像如圖：∵

，ON2

，∴

F

，∴

|

，∴

，MFb

，∴

MF

1ab2

2

，∴

a2

，∴e

4

2

，∴，故答案為：2.

.

122220,2雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或心率的取值范圍，見有兩種方法：122220,2①求出，c，代入公式

c

；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a的次式結(jié)合b＝c－a

轉(zhuǎn)化為a的次式，然后等(不等式兩分別除以a或a

轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的程不等式，方不等式)即可得的值范圍．16．知在中，角A，，所的邊分別為，b，c，點(diǎn)為其外接圓的圓心已，當(dāng)角C取到最大值時(shí)的內(nèi)切圓半徑為________.答案：取

的中點(diǎn)D則

12

()BA)

可得由余弦定理和基本不等式可得答.解：設(shè)

中點(diǎn)為D，則

OD

，所

以BOBD)())BCBA2，∴

1a2c2

2

，∴a，由c得C銳角，故

2

26ab14bb7

，當(dāng)且僅當(dāng)

b

24b

，6時(shí)

cosC

最小，又

y

在

遞減，故此時(shí)

最大此時(shí)，恰有2，即ABC為角三角形，∴r

6

.故答案為：6.

易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地.四、解答題17．已函數(shù)

f(x)M0,

0,

的部分圖象如圖所示（1）求

fx)

的解析式；（2）在

中，角A，B，

C

的對(duì)邊分別為，b，，b

ac求

f(B)

的取值范圍答案）

f(x2sin2

）

3

.（1）由圖得出最大值和周期此出M,代最高點(diǎn)坐標(biāo)求出由此求出解析式（2）由基本不等式求出

的取值范圍，從而求出角值范圍，再合三角函數(shù)性質(zhì)求解

f(B)

范圍即可解）由圖知M，T11

，∴

2T

.

B0,3B0,3

k

Z

，又

2

2

，∴∴

，f(x2sin2

.a222（2）∵，且僅當(dāng)取“”，2ac2∵

(0,

)

，∴

，∴

，∴

f()2sin23

.求三角函數(shù)的解析式時(shí)由

T

即可求出；定若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升或降的零點(diǎn)”坐標(biāo)x，令

或0

)，即可求出，則需要代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式合數(shù)的性質(zhì)解出和若對(duì)的號(hào)或?qū)幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求18．知

n

列其前n項(xiàng)為S，若a3

，

，57

成等比數(shù)列且

，

2

.（1）求數(shù)列

n

式（2）設(shè)

n

n

n

，數(shù)列

和為T，

Tmn

恒成立，求實(shí)數(shù)的值范圍答案）

ann

）

m

712

.（1）由條件可得遞推關(guān)系

(nann

，由累乘法可得

a1

，再根據(jù)條件結(jié)合

nan11nnna等比中項(xiàng)，可得答案nan11nnna（2）由（1）可得

bn

14

11nn

14n

，由裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列的前項(xiàng)公式可求和，從而得出答案解）∵

2，2n

，

∴

2nann

，即

(an

，

a即，n

所以

aaannaan

an2ann1

2na1

當(dāng)n

時(shí)，也成立所

ana∵

，即

(5a

(3a2)(7化簡得：

a

a，得∴a或1當(dāng)

時(shí)21

，其公式

滿足條.當(dāng)

a時(shí)a1n

，其公式

不滿足條件所以

ann

.（2）∵

bn

1an

n

114(4

，1111∴T434n111.nnTm恒成立，∵*，n

11

1414

∴

m

712

.關(guān)鍵點(diǎn)睛題考查求數(shù)列的同學(xué)公式和利用裂項(xiàng)相消法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式可a求和，解答本題的關(guān)鍵是由，利用累乘法求通項(xiàng)公式，以及由n

nn111bnn4n

由裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列的前項(xiàng)公式可求和于中檔題19．圖，在四棱錐中，底面ABCD是行邊形，側(cè)面PBC是邊三角形，的中點(diǎn)

2AB，BCD45

面ABCD，、分為BCCD（1）證明：面面PAB；所成銳二面角的余弦.（2）求面PEF與6答案）明見解析）.4（1）要證明面面垂直，需證明面垂直，根據(jù)垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明

平面PEF，（2）以E為標(biāo)原點(diǎn)，、EC、分為x、、z軸建立直角坐標(biāo)系，分別求平面PEF和平面PAD

的法向量，再根據(jù)法向量求二面角的余弦.解）設(shè)AB，則

AD2

，∴，

，∴

EF

，∴

EF

CE

，∴EFCF.在等邊三角形

PBC

中，E為

的中點(diǎn)，∴

BC

，∵面

PBC

面

ABCD

，PE面

PBC

，面

PBC

面ABCDBC，∴PE.∵

面

ABCD

，∴.∵

EF

，

EFE

，

∴

面PEF∵//，ABPEF，∵

面PAB，面PAB.（2）由（）BD，DE、軸建立直角坐標(biāo)系，

，以

為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED、EC、分為、則(0,0,，D(，(0,2,0)，A(2,2,0).2,0)，DP2,0,6)

，

F

2,0設(shè)面PAD

的法向量為

,,z)

，，取，x3，，3,0,1).6面的向量為CD(2,2,0)

，∴cosCD

6，∴面PEF面

6所成銳二面角的余弦值為.4方法點(diǎn)睛：求二面角的方法通常有兩個(gè)思路：一是利用空間向量，建立坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)平面的法向量之間夾角的余弦值，再判斷銳二面角或鈍二面角確定結(jié)果種方法優(yōu)點(diǎn)是思路清晰法明確但是計(jì)算量較大；二是傳統(tǒng)方法，利用垂直關(guān)系和二面角的定義，找到二面角對(duì)應(yīng)的平面角，再求出二面角平面角的大小，這種解法的關(guān)鍵是找到平面.20．據(jù)黨的十九大規(guī)劃的“扶同扶志、扶智相結(jié)合”精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧路徑，中國兒童少年基金會(huì)為了豐富留守兒童的課余文化生活養(yǎng)好的閱讀習(xí)慣農(nóng)村留

守兒童聚居地區(qū)捐建“小候鳥愛心圖書角”寒假某村組織開展“小候鳥愛心圖書角讀書活動(dòng)”，號(hào)召全村少年兒童積極讀書，養(yǎng)成良好的閱讀習(xí).根統(tǒng)計(jì)全村少年兒童中，平均每天閱讀1小時(shí)下約占19.7%、1-2小時(shí)占30.3%、3-4小時(shí)占27.5%、5小時(shí)上約占22.5%.（1將平均每天閱讀5小以認(rèn)為是“特別喜歡”閱讀活動(dòng)現(xiàn)場隨機(jī)抽取30名少年兒童進(jìn)行閱讀情況調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：少年兒童“特別喜歡”閱讀少年兒童“非特別喜歡”閱讀總計(jì)

父或母喜歡閱讀7512

父母均不喜歡閱讀11718

總計(jì)82230請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)判斷否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的件下認(rèn)為“特別喜歡”閱讀與父或母喜歡閱讀有關(guān)？（2）活動(dòng)規(guī)定，每天平均閱讀長達(dá)3個(gè)時(shí)的少年兒童，給予兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，否則只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，各次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)中獎(jiǎng)情況如下表抽中獎(jiǎng)品中獎(jiǎng)概率

價(jià)值100元的書購書券13

價(jià)值50元的書購書券從全村少年兒童中隨機(jī)選擇一名少年兒童來抽獎(jiǎng)，設(shè)該少年兒童共獲得元圖書購書券，求的分布列和期.K2

n()2()(b)(a)()

2

0

0.50

0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0.455

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案））布列見解析100.（1）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算卡方，根卡方的取值進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)計(jì)算概率，列出分布列并計(jì)算數(shù)學(xué)期.解

K2

(ad)3010.267.879()()(a)()

，故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的條下認(rèn)為“特別喜歡”閱讀與父或母喜歡閱讀

有關(guān).（2）根據(jù)題意：取50，100，200

50)

123

；

1122223318

；P(

112150)239

；111P(23則分布列如下：

，

50100150

200

13

的期望為

12)5020010031818

.獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的能說結(jié)論成立的概率有多大而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋．y221．知橢圓ab

的左、右焦點(diǎn)分別為

F，F(xiàn)12

1，離心率為，2過F的線與橢圓2

交于A，兩，F(xiàn)AB的長為8.（1）求橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P為圓

上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與橢圓

分別交于點(diǎn)M、

（點(diǎn)P不直線MN上PMN面積的最大.答案）

24

）3.（1）根據(jù)周長可求a，再根據(jù)離心率可求c，求出

后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線

x

軸時(shí)，計(jì)算可得

PMN

的面積的最大值為2，線

MN

不垂

直x軸，可設(shè)

MNy

，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平且與橢圓

相切的直線為：

，結(jié)合橢圓方程可求

的關(guān)系，從而求出該直線到直線MN的離，從而可求PMN

的面積的最大值為3.解）由橢圓的定義可知，F(xiàn)AB的周長為，∴4a

，

a

，又離心率為

，∴

，b

，2所以橢圓方程為.4（2）當(dāng)直線MN軸，

33

；當(dāng)直線

MN

不垂直x軸，

MNykx

，24

123k

，y

2k

，∴4.設(shè)與MN平且與橢圓相的直線為：

，y24

，∵

k

2m2

2

2

，∴2k，∴距

MN

的最大距離為

d

max

|m1

2

3k1

2

，∴

PMN

32MN33，3k綜上，PMN面積的最大值為2方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，而面積的最值的計(jì)