結構力學 05 靜定平面桁架

第5章靜定平面桁架教學目標了解平面桁架的組成、特點及分類掌握節(jié)點法和截面法的計算原理，熟練掌握桁架零桿的確定方法了解結點法和截面法的聯(lián)合應用，理解平面桁架外形與受力特點Contents目錄概述1平面桁架外形與受力特點3桁架內(nèi)力的計算方法2靜定結構的特性4概述§5.1梁和剛架承受荷載之后，主要產(chǎn)生彎曲內(nèi)力，桿件橫截面中軸線附近的應力很小，因而不能充分地利用中軸線區(qū)域的材料。隨著跨度的增加，梁和剛架結構自重在其承受荷載的占比將會增加，不能充分利用的材料成為了結構承載的不利條件。桁架結構則是由直桿件組成的結構形式，各桿主要內(nèi)力為軸力，截面上的應力較為均勻，材料能夠同時達到允許值，能夠充分地利用材料，因此在土木工程中有很廣泛應用，尤其在大跨度結構，如屋架、橋梁、井架、起重機架和高壓線塔等。概述§5.1概述§5.1通常在平面桁架的計算中引入如下假定：1.各桿在兩端用絕對光滑而無摩擦的鉸鏈相互聯(lián)結。2.各桿的軸線都是絕對平直的，且處于同一平面內(nèi)，并通過鉸的中心。3.荷載和支座反力都作用在結點上，并且都位于桁架的平面內(nèi)。實際桁架與假定有如下區(qū)別：結點的剛性。各桿軸不可能絕對平直，在結點處也不可能準確交于一點。非結點荷載（自重，風荷載等）。結構的空間作用等。概述§5.1桁架的組成與分類桁架的桿件根據(jù)其所處的不同位置，將桿件分為腹桿和弦桿，腹桿有斜桿和豎桿兩種，弦桿一般可分為上弦桿和下弦桿，弦桿相鄰結點間距為節(jié)間長度，支座中心間的水平距離成為跨度桁架最高點到支座連線的距離成為桁高概述§5.11.根據(jù)桁架的外形標準劃分，桁架可分為平行弦桁架、折弦桁架、拋物線桁架和三角形桁架2.根據(jù)幾何組成方式劃分，桁架可以分為：簡單桁架、聯(lián)合桁架、復雜桁架。桁架內(nèi)力的計算方法§5.2根據(jù)假定理想平面桁架的受力有如下兩個特點：1.桁架中的桿件都是二力桿件。因為桿的自重可以不計或可將其分配到結點上去，各種荷載均作用在節(jié)點上，桿端為光滑鉸鏈，只產(chǎn)生通過鉸鏈中心的反力，不產(chǎn)生力偶。2.桁架上所受的力組成平面力系。理想靜定平面桁架的內(nèi)力計算，可以化為平面任意力系的平衡問題，由平衡方程解出。根據(jù)桁架的兩個受力特點，為了求得桁架各桿的內(nèi)力，可以截取桁架的一部分為隔離體，由隔離體的平衡條件來計算所求內(nèi)力，假如所取隔離體只包含一個結點，此方法就是結點法，如果所取隔離體包含多于一個結點，則此種方法為截面法。桁架內(nèi)力的計算方法§5.25.2.1結點法

所謂結點法就是取桁架的結點為隔離體，利用結點的靜力平衡條件來計算相關桿件的內(nèi)力或支座反力。因為桁架的各桿只承受軸力，作用于任一結點的各力組成一個平面匯交力系，所以可就每一個結點列出兩個平衡方程結點最適用于計算簡單桁架。因為簡單桁架是由基礎或一個基本鉸接三角形開始，依次增加二元體所組成的桁架，其最后一個結點只包含兩根桿件。分析這類桁架時，可先由整體平衡條件求出它的反力，然后再從最后一個結點開始，依次考慮各結點的平衡，即可使每個結點出現(xiàn)的未知內(nèi)力不超過兩個，可順利地求出各桿的內(nèi)力。桁架內(nèi)力的計算方法§5.2例5.1試用結點法計算圖（a）所示桁架中各桿的內(nèi)力。解：首先求出支座反力，以整個桁架為隔離體。桁架內(nèi)力的計算方法§5.2取結點1為隔離體，如圖（b）。2.取結點2為隔離體，如圖（c）。桁架內(nèi)力的計算方法§5.23.取結點3為隔離體，如圖（d）。4.取結點4為隔離體，如圖（e）。桁架內(nèi)力的計算方法§5.25.取結點5為隔離體，如圖（f）。6.取結點6隔離體，如圖（g）。7.取結點7為隔離體，如圖（h）。至此，桁架中各桿件的內(nèi)力都已求得。最后可根據(jù)結點8的隔離體，如圖5.8(i)。是否滿足平衡條件來作校核。此時，故知計算結果無誤。桁架內(nèi)力的計算方法§5.21.L形結點：兩桿結點上無荷載作用時，則該兩桿的內(nèi)力都等于零。該結點成為L形結點2.T形結點：三桿結點上無荷載作用時如果其中有兩桿在一直線上，則另一桿必為零桿。此結點成為T形結點3.X形結點：四桿結點且兩兩共線，并且結點上無荷載時，則共線兩桿內(nèi)力大小相等方向相同4.K形結點：四桿結點，其中兩桿共線，而另外兩桿在此直線同側且交角相等，并且結點上無荷載，則非共線兩桿內(nèi)力大小相等方向相反（一為拉力，則另一側為壓力）桁架內(nèi)力的計算方法§5.25.對稱性：首先結構對稱，結構的桿件以及支座對一個軸對稱，則稱該結構為對稱結構。其次荷載對稱，荷載的大小、作用點、方向都關于一個軸對稱。并且結構與荷載同一個對稱軸，其內(nèi)力和反力也基于該對稱軸對稱。桁架內(nèi)力的計算方法§5.2上述結論都不難由結點平衡條件得到證實。在分析桁架時，可先利用上述原則找出特殊結點，然后進行下一步的計算，使計算變得方便。應用以上結論，不難判斷出下圖桁架中虛線所示各桿為零桿。于是剩下的計算便大為簡化了。桁架內(nèi)力的計算方法§5.25.2.2截面法如果只要求計算桁架內(nèi)某幾個桿件所受的內(nèi)力，則可用截面法。這種方法是適當?shù)剡x擇一截面，在需要求解其內(nèi)力的桿件處假想地把桁架截開為兩部分，然后考慮其中任一部分的平衡，應用平面任意力系平衡方程求出這些被截斷桿件的內(nèi)力。其上力系為平面一般力系。每個隔離體上有3個獨立平衡方程。一般表示為：投影法；力矩法：桁架內(nèi)力的計算方法§5.2例5.2試求圖(a)所示桁架中25、34、35三桿的內(nèi)力。解：首先求出支座反力。桁架內(nèi)力的計算方法§5.2然后設想用截面I-I將34、35、25三桿截斷，取桁架左邊部分為隔離體，如圖（b）所示。為求得FN25，可取FN34和FN35兩個未知力的交點3為矩心，為求得FN34，可取FN35和FN25兩力的交點5為矩心

桁架內(nèi)力的計算方法§5.2例5.3如圖5.18ａ所示的平面桁架，各桿件的長度都等于1.0ｍ，在節(jié)點Ｅ上作用荷載F１＝21kＮ，在節(jié)點Ｇ上作用荷載F２＝15kＮ，試計算桿１、２和３的內(nèi)力。解：（1）求支座反力以整體桁架為研究對象，受力圖如圖5.18ａ所示，先求支座反力：桁架內(nèi)力的計算方法§5.2（2）求桿１、２和３的內(nèi)力作截面ｍｎ假想將此三桿截斷，并取桁架的左半部分為研究對象，設所截三桿都受拉力，這部分桁架的受力圖如圖5.18ｂ所示。列平衡方程：桁架內(nèi)力的計算方法§5.25.2.3結點法和截面法的聯(lián)合應用結點法更適用于簡單桁架的計算，截面法一般較適用于簡單桁架和聯(lián)合桁架的計算，這兩種方法各有所長，但對復雜桁架，如果把他們聯(lián)合使用，就會使桁架的計算變得更加簡單方便。例5.4試求圖5.19（a）所示K式桁架中a、b桿的內(nèi)力。

桁架內(nèi)力的計算方法§5.2解：作截面I-I，取其左側為隔離體。由結點K得到由∑MC=0可求得FNb桁架內(nèi)力的計算方法§5.2例5.5試求5.20圖示桁架HC桿的內(nèi)力。

解：可由不同的途徑求得HC桿的內(nèi)力。是先作截面I-I，取截面I-I左側部分為隔離體，由求得DE桿內(nèi)力；接著有結點E求得EC桿內(nèi)力；在做截面II-II，取截面II-II右側部分為隔離體桁架內(nèi)力的計算方法§5.2求得HC桿的內(nèi)力。計算如下由桁架整體平衡求出支座反力如圖標注。取截面I-I左側部分為隔離體，由由由結點E的平衡可知取截面II-II右側部分為隔離體，由平面桁架外形與受力特點§5.3在土木工程中，桁架一般用來代替梁（圖a），以使得結構跨越大空間。相同荷載作用下，桁架的外形不同，其受力特點也不同。桁架上側的桿組織成上弦，下側桿組成下弦，上下弦之間為腹桿。本節(jié)比較一下平行弦（圖b）、三角形（圖c）、拋物線形（圖d）以及折弦形（圖e）四種桁架的內(nèi)力分布特點。平面桁架外形與受力特點§5.31、平行弦桁架圖b所示桁架，上下弦受力兩頭小中間大，這與圖5.21a所示簡支梁的上下層纖維受力相似，即與梁的彎矩分布相似。腹桿內(nèi)力與簡支梁的剪力分布規(guī)律一致，兩頭大中間小。因此靜定平行弦桁架的受力相當于一個空腹梁。為使得設計上的受力合理，應按桿軸力的大小選取截面大小。所以平行弦桁架桿件的截面積變化較大，給施工帶來不便。在實際工程中，常采用標準節(jié)間，逐段改變截面的大小，把材料的使用量減到最低限度。這類桁架常用于橋梁及廠房中的吊車梁，其經(jīng)濟跨度在12～50m范圍內(nèi)。平面桁架外形與受力特點§5.32、三角形桁架圖5.21c可知，三角形桁架下弦桿受力較為均勻，而上弦的內(nèi)力從端部到中間遞減量較大。腹桿內(nèi)力分布也不均勻，且比弦桿內(nèi)力要小。從構造上看，這種桁架的端結點處，上下弦桿之間夾角較小，構造復雜，施工難度大。但由于其兩面斜坡的外形符合屋頂構造的要求，所以，在跨度較小、坡度較大的屋蓋結構中較多采用三角形桁架，其經(jīng)濟跨度在10m以內(nèi)。平面桁架外形與受力特點§5.33、拋物線桁架圖5.21d可見，拋物線形桁架弦桿內(nèi)力分布均勻，在等均結點荷載作用下腹桿內(nèi)力為零，結構整體受力性能好。但由于上弦桿的長度發(fā)生變化，桿件制作及結構施工費用較高。由于這種結構的造型效果好，具有跨越大空間的能力，常在橋梁以及公共結構中采用。橋梁的經(jīng)濟跨度在100～150m之間，屋蓋結構中的經(jīng)濟跨度為18～30m。平面桁架外形與受力特點§5.34、折弦桁架圖5.21e所示，這類桁架是三角形桁架和拋物線形桁架的一種中間形式，其端節(jié)間的上弦桿與其他節(jié)間的上弦桿不在一條直線上，形成一個折線形。由于上弦改成折線，端節(jié)間上弦桿的坡度比三角形桁架加大。因此，它的弦桿內(nèi)力比三角形桁架要小，弦桿內(nèi)力分布比三角形桁架均勻，又克服了拋物線形桁架上弦轉折太多而形成的缺點，施工制造方便。折弦形桁架是目前鋼筋混凝土屋架中經(jīng)常采用的一種形式，在中等跨度18～24m的工業(yè)廠房中采用得較多。

靜定結構特性§5.4靜定結構有靜定梁、靜定剛架、三鉸拱、靜定桁架等類型。雖然這些結構形式各有不同，但它們有如下的共同特性：1.在幾何組成方面，靜定結構是沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。在靜力平衡方面，靜定結構的全部反力可以有靜力平衡方程求得，其解答是唯一的確定值。2.由于靜定結構的反力和內(nèi)力僅用靜力平衡條件就可以確定，不需要考慮結構的變形條件，所以靜定結構的反力和內(nèi)力只與荷載、結構的幾何形狀和尺寸有關，而與構件所用的材料、截面的形狀和尺寸無關。3.由于靜定結構沒有多余聯(lián)系，因此在溫度改變、支座產(chǎn)生位移和制造誤差等因素的影響下，不會產(chǎn)生內(nèi)力和反力，但能使結構產(chǎn)生位移。如圖(a)所示。靜定結構特性§5.44.當平衡力系作用在靜定結構的某一內(nèi)部幾何不變部分時，其余部分的內(nèi)力和反力不受其影響。如圖7.23（b）所示，受平衡力系作用的桁架，只有在粗線所示的桿件中產(chǎn)生內(nèi)力。反力和其它桿件的內(nèi)力不受影響。靜定結構特性§5.45.當靜定結構的某一內(nèi)部幾何不變部分上的荷載作等效變換時，只有該部分的內(nèi)力發(fā)生變化，其余部分的內(nèi)力和反力均保持不變。所謂等效變換是指將一種荷載變?yōu)榱硪环N等效荷載。如圖（a）中所示，AB受到均布荷載q作用與節(jié)點A、B上的兩個集中荷載ql/2是等效的。若將圖（b）代之以5.24（a），只有AB上的內(nèi)力發(fā)生變化，其余各桿的內(nèi)力不變。這也說明在求桁架其余桿的內(nèi)力時，可以把非節(jié)點荷載等效為節(jié)點荷載。小結1.桁架各桿均為兩端鉸接的直桿，僅在兩端受約束力作用，故只產(chǎn)生軸力。這類桿件也稱為二力桿。這樣，可以使得計算大大簡化，同時也接近實際受力情況。2.桁架按照幾何組成劃分：1）由基礎或由一個基本鉸結三角形開始，依次增加二元體，組成一個桁架，這樣的桁架稱為簡單桁架；2）幾個簡單桁架按照幾何不變體系的簡單組成規(guī)則聯(lián)成一個桁架，這樣的桁架稱為聯(lián)合桁架；3）凡是不屬于上述兩種桁架的，都稱為復雜桁架。3.求解靜定平面桁架的基本方法是結點法和截面法。結點法：以結點為研究對象，用平面匯交力系的平衡方程求解內(nèi)力，一般首先