機(jī)械工程控制基礎(chǔ)5-穩(wěn)定性

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)2013.11主講人：高愛華機(jī)械類專業(yè)必修課機(jī)械與動力工程學(xué)院教學(xué)內(nèi)容1、課程準(zhǔn)備7、系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正2、緒論4、系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析3、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5、系統(tǒng)的頻率特性分析6、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析教學(xué)內(nèi)容第一講穩(wěn)定性概念Routh判據(jù)——系統(tǒng)能正常工作的首要條件系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象例：液壓位置隨動系統(tǒng)原理：外力→閥芯初始位移Xi(0)→閥口2、4打開→活塞右移→閥口關(guān)閉（回復(fù)平衡位置）→（慣性）活塞繼續(xù)右移→閥口1、3開啟→活塞左移→平衡位置→（慣性）活塞繼續(xù)左移→閥口2、4開啟……①隨動：活塞跟隨閥芯運(yùn)動②慣性：引起振蕩③振蕩結(jié)果：①減幅振蕩（收斂，穩(wěn)定）②等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）③增幅振蕩（發(fā)散，不穩(wěn)定）一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件依據(jù)上述實例可得如下結(jié)論：

系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無關(guān)；系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔茫豢刂评碚撝杏懻摰姆€(wěn)定性是輸入為零而初始狀態(tài)不為零的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是指自由響應(yīng)的收斂性系統(tǒng)的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概念二、穩(wěn)定性的定義和條件1.穩(wěn)定性定義定義：系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，當(dāng)干擾撤除后，系統(tǒng)自動回到平衡位置的能力。系統(tǒng)穩(wěn)定性說明1：若系統(tǒng)在初始狀態(tài)的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時間響應(yīng)隨著時間的推移，逐漸衰減并趨向于0（即回到平衡位置），則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定的；反之，由它所引起的系統(tǒng)的時間響應(yīng)隨著時間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來越遠(yuǎn)），則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概念系統(tǒng)穩(wěn)定條件線性定常系統(tǒng)：強(qiáng)迫響應(yīng)輸入引起的自由響應(yīng)系統(tǒng)的初態(tài)引起的自由響應(yīng)自由響應(yīng)si:系統(tǒng)的特征根系統(tǒng)穩(wěn)定條件當(dāng)系統(tǒng)所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有負(fù)實部（位于[s]平面的左半平面）自由響應(yīng)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定若有任一sk具有正實部（位于[s]平面的右半平面）自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定條件若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虛軸上），其余極點(diǎn)位于[s]平面的坐半平面自由響應(yīng)等幅振動，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原點(diǎn)），其余極點(diǎn)位于[s]平面的坐半平面自由響應(yīng)收斂于常值，系統(tǒng)穩(wěn)定簡諧運(yùn)動結(jié)論：線性定常系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)；非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，而且還與系統(tǒng)的輸入有關(guān)。系統(tǒng)穩(wěn)定性說明2：2.穩(wěn)定性充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)所有特征根的實部小于0，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在[s]平面的左半平面內(nèi)。臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)極易因為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的細(xì)微變化而變成不穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此，臨界穩(wěn)定往往也歸結(jié)為不穩(wěn)定的一種。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概念三、關(guān)于穩(wěn)定性的相關(guān)提法1.李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性若o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，擾動使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)的起始偏差（即初態(tài)）不超過域η，由擾動引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng)）及其終態(tài)不超過預(yù)先給定的整數(shù)ε，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概念3.“小偏差”穩(wěn)定性系統(tǒng)初始偏差（初態(tài)）不超過某一微小范圍時的穩(wěn)定性，稱之為“小偏差穩(wěn)定性”或“局部穩(wěn)定性”。4.“大范圍”漸近穩(wěn)定性若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為“大范圍漸近穩(wěn)定”，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2.漸近穩(wěn)定性就是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要求由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減為零。漸近穩(wěn)定性滿足李氏穩(wěn)定性定義；對非線性定義，這兩種穩(wěn)定性是不同的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概念控制工程中希望大范圍漸近穩(wěn)定，基于精度要求，也需要確定最大范圍。四、Routh穩(wěn)定判據(jù)1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：兩邊同除an系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)依據(jù)上式，s的同次冪前系數(shù)應(yīng)對等要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負(fù)實部，就必須滿足以下兩個條件：特征方程的各項系數(shù)都不等于0；特征方程的各項系數(shù)的符號相同。按習(xí)慣，一般取最高階次項的系數(shù)為正，上述兩個條件可以歸結(jié)為系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)全大于0，此即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件對系統(tǒng)的特征方程：其各階系數(shù)按下列形式排成Routh表：元素計算方法：系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)Routh判據(jù)：Routh表中第一列各元符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實部特征根的個數(shù)。因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為：Routh表中第一列各元的符號均為正。實例分析1

系統(tǒng)特征方程試用Routh表判斷其穩(wěn)定性。改變符號一次改變符號一次解：由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)3.系統(tǒng)穩(wěn)定的特殊情況（1）如果在Routh表中任意一行的第一個元素為0，而其后各元不全為0，則在計算下一行的元素時，將趨向于無窮大。于是Routh表計算無法繼續(xù)，為了克服這一困難，用一個很小的正數(shù)ε代替第一列的0，然后計算Routh表的其余各元。若ε上下各元符號不變，且第一列元素符號均為正，則系統(tǒng)特征根中有共軛的虛根。此時，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）如果Routh表中任意一行的所有元素都為0，Routh表的計算無法繼續(xù)。此時，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個輔助多項式，并用多項式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成Routh表的下一行。這樣，Routh表就可以計算下去。出現(xiàn)這種情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個符號相反的實根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對共軛的純虛根（即系統(tǒng)自由響應(yīng)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），或是以上幾種根的組合。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)實例分析2

系統(tǒng)特征方程：試用Routh表判斷其穩(wěn)定性。解：列Routh表如下：改變符號一次改變符號一次由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)實例分析3

系統(tǒng)特征方程：試用Routh表判斷其穩(wěn)定性。解：列Routh表如下：Routh表中出現(xiàn)0元行，構(gòu)造輔助多項式如下：取F(s)對s的導(dǎo)數(shù)得新方程：用上式中的系數(shù)8和96代替0元行，繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算。改變符號一次系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)此表第一列各元符號改變次數(shù)為1，因此斷定該系統(tǒng)包含一個具有正實部的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。根據(jù)Routh判據(jù)，2p的輔助多項式應(yīng)該存在p對實部符號相異、虛部數(shù)值相同的共軛復(fù)根。這些特征根可以通過解輔助多項式得到。本例中輔助多項式為：解此輔助多項式可得：這兩對復(fù)根是原特征方程的根的一部分。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)二階系統(tǒng)(n=2)穩(wěn)定的充要條件為：a2>0,

a1>0,

a0>0,三階系統(tǒng)(n=3)穩(wěn)定的充要條件為：a3>0,

a2>0,

a0>0,

a1a2－a0a3>0特別：五、相對穩(wěn)定性的檢驗應(yīng)用Routh判據(jù)可檢驗穩(wěn)定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性方法如下：將s平面的虛軸向左移動某個數(shù)值，即令s＝z－σ（σ為正實數(shù)），代入系統(tǒng)特征方程，則得到關(guān)于z的特征方程；利用Routh表和Routh判據(jù)對新的特征方程進(jìn)行穩(wěn)定性判別。如果新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)特征方程的根均在新的虛軸之左邊，σ越大，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越好。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如下圖所示，已知T1＝0.1s，T2＝0.25s，試求:實例分析4解：（1）求系統(tǒng)穩(wěn)定時K值的取值范圍（1）系統(tǒng)穩(wěn)定時K值的取值范圍；（2）若要求系統(tǒng)的特征根均位于s＝－1線的左側(cè)，K值的取值范圍。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)因為：將T1和T2代入得：列Routh表如下：解之得系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍為：由Routh表和Routh判據(jù)得：系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)（2）令s＝z－1，代入特征方程得：即：列Routh表如下：解之得：由Routh表和Routh判據(jù)得：與(1)的結(jié)果比較可知，K的取值范圍變小了。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，當(dāng)干擾撤除后，系統(tǒng)自動回到平衡位置的能力；六、本講小結(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征根具有負(fù)實部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在[s]平面的左半平面;作業(yè)：教材：5.1~5.4,5.7Routh穩(wěn)定判據(jù)是Routh表的第一列元素均大于0。利用Routh穩(wěn)定判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且可以確定某些參數(shù)的取值范圍和相對穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)第二講Nyquist穩(wěn)定判據(jù)一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)提出：該穩(wěn)定性判據(jù)由H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到廣泛應(yīng)用。判據(jù)原理：將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0與開環(huán)頻率特性GK(jω)聯(lián)系起來，從而將系統(tǒng)特性從復(fù)域引入頻域來分析。判斷方法：通過GK(jω)的Nyquist圖，利用圖解法來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角原理。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1.幅角原理（Cauchy定理）

設(shè)F(s)在[s]平面上除有限個奇點(diǎn)外為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè)[s]平面上解析點(diǎn)s映射到[F(s)]平面上為點(diǎn)F(s)，或為從原點(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量F(s)。若在[s]平面上任意一封閉曲線Ls，只要此曲線不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)，則在[F(s)]平面上必有一條對應(yīng)的曲線LF，也是一條封閉曲線。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時針方向沿Ls變化一周時，向量F(s)將按順時針方向旋轉(zhuǎn)N周，即F(s)以原點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)N周，這就等于曲線LF順時針包圍原點(diǎn)N次。若令Z為包圍于Ls內(nèi)的F(s)的零點(diǎn)數(shù)，P為包圍于Ls

內(nèi)的F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則有取任意拉氏函數(shù)：系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)向量F(s)的相位為假設(shè)Ls內(nèi)只包圍了F(s)的一個零點(diǎn)zi，其它零極點(diǎn)均位于Ls之外，當(dāng)s沿Ls順時針移動一周時，向量（s－zi）的相位角變化為－2π弧度，而其余相位角的變化為0。即向量F(s)的相位角變化為－2π，或者說F(s)在[F(s)]平面上沿LF繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)了一圈。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)N＝Z－P系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)若[s]平面上的封閉曲線包圍F(s)的Z個零點(diǎn)，則在[F(s)]平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)順時針Z圈，而若[s]平面內(nèi)的封閉曲線包圍這F(s)的P個極點(diǎn)，則平面上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)P圈?！獛缀闻袚?jù)（利用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性）幅角原理Ls：[s]平面上一封閉曲線（不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)）設(shè)有復(fù)變函數(shù)：幅角原理：ｓ按順時針方向沿Ls變化一周時，F(xiàn)(s)將繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)N周，即包圍原點(diǎn)N次。N=Z-PZ：Ls內(nèi)的F(s)的零點(diǎn)數(shù)

P：Ls內(nèi)的F(s)的極點(diǎn)數(shù)2.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)方框圖對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：X

i

(s)G(s)H(s)X

o

(s)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程令則有：系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同

定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其閉環(huán)特征方程的全部根具有負(fù)實部，即在[s]右半平面內(nèi)沒有極點(diǎn)，也就是說，F(xiàn)(s)在[s]平面的右半平面沒有零點(diǎn)。因為:故有：系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)為研究F(s)有無零點(diǎn)位于[s]平面的右半平面，可選擇一條包圍整個[s]右半平面的封閉曲線Ls，如圖。Ls由兩部分組成，其中，L1為ω→－∞到+∞的整個虛軸，L2為半徑R趨于無窮大的半圓弧。因此，Ls封閉地包圍了整個[s]平面的右半平面。這一封閉曲線Ls即為[s]平面上的Nyquist軌跡。當(dāng)ω→－∞到+∞，軌跡的方向為順時針方向。由于在應(yīng)用幅角原理時，Ls不能通過F(s)函數(shù)的任何極點(diǎn)，所以當(dāng)函數(shù)F(s)有若干極點(diǎn)處于[s]平面的虛軸或原點(diǎn)處時，Ls應(yīng)以這些點(diǎn)為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向繞過這些點(diǎn)。由于繞過這些點(diǎn)的圓弧的半徑為無窮小，因此，可以認(rèn)為Ls曲線仍然包圍了整個[s]平面的右半平面。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)設(shè)F(s)＝1＋G(s)H(s)在[s]右平面有Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，由幅角原理，當(dāng)s沿[s]平面上的Nyquist軌跡移動一周時，在[F]平面上的映射曲線LF將順時針包圍原點(diǎn)N＝Z－P圈。因為:

G(s)H(s)＝F(s)－1可見[GH]平面是將[F]平面的虛軸右移一個單位所構(gòu)成的復(fù)平面。[F]平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是[GH]平面上的（－1，j0）點(diǎn)，F(xiàn)(s)的映射曲線LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于G(s)H(s)的映射曲線LGH包圍（－1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)由于任何物理上可實現(xiàn)的開環(huán)系統(tǒng)，其GK(s)的分母的階次n必不小于分子的階次m，即n≥m，故有：這里s→∞是指其模而言，所以，[s]平面上半徑為∞的半圓映射到[GH]平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)。?íì=>=￥?mnmnsHsGs當(dāng)const當(dāng)0)()(lim因為，Ls為[s]平面上的整個虛軸再加上半徑為無窮大的半圓弧，而[s]平面上半徑為無窮大的半圓弧映射到[GH]平面上只是一個點(diǎn)，它對于G(s)H(s)的映射曲線LGH對某點(diǎn)的包圍情況無影響，所以G(s)H(s)的繞行情況只考慮[s]平面的虛軸映射到[GH]平面上的開環(huán)Nyquist軌跡G(jω)H(jω)即可。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是F(s)在[s]平面的右半平面無零點(diǎn)，即Z＝0。因此，如果G(s)H(s)的Nyquist軌跡逆時針包圍（－1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)N等于G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)P時，有N＝－P，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。綜上所述，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)表述如下：當(dāng)ω→－∞到+∞時，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時針包圍（－1，j0）點(diǎn)的P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P為G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P＝0，此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍（－1，j0）點(diǎn)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)如圖是P=0的系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。(a)圖不包圍(-1，j0)點(diǎn)，它所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；(b)圖對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(a)(b)實例分析1系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)實例分析2已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其開環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏圖如下：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，P=1，即在[s]平面的右半平面有一個極點(diǎn)。其奈氏軌跡逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，所以閉環(huán)系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。這就是所謂的開環(huán)不穩(wěn)定而閉環(huán)穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定是指開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半平面有極點(diǎn)。顯然，此時的開環(huán)系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)3.開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist軌跡軌跡特點(diǎn)：當(dāng)系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時，開環(huán)傳遞函數(shù)有位于[s]平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)式中，v為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，當(dāng)s沿?zé)o窮小半圓弧逆時針方向移動時，有系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)映射到[GH]平面上的Nyquist軌跡為：因此，當(dāng)s沿小半圓從ω＝0－變化到ω＝0＋時，θ角從－π/2變化到π/2，這是[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時針方向從vπ/2轉(zhuǎn)到-vπ/2。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分析：G(s)H(s)在[s]平面的右半平面有一個極點(diǎn)，為s=1，所以，P=1。

實例分析3當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。顯然，此時的開環(huán)系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)。由于G(s)H(s)分母中有一個積分環(huán)節(jié)，所以，映射到[GH]平面上就是半徑為∞按順時針方向從-π/2到+π/2的圓弧。在[s]平面上，當(dāng)ω由-∞變到+∞時，經(jīng)過ω=0時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)實例分析4已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)ω=0時，當(dāng)ω=∞時，故奈氏曲線將穿越負(fù)實軸，在交點(diǎn)處，有由此可算得：當(dāng)ω由-∞變到+∞時，經(jīng)過ω=0時，由于G(s)H(s)分母中有兩個積分環(huán)節(jié)，所以，影射到[GH]平面上就是半徑為∞按順時針方向從π到-π的圓弧。因P=0，當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡順時針包圍(-1，j0)點(diǎn)兩圈，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)四.關(guān)于Nyquist判據(jù)的幾點(diǎn)說明Nyquist判據(jù)是在[GH]平面判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；Nyquist判據(jù)證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡單；開環(huán)穩(wěn)定與閉環(huán)穩(wěn)定之間的關(guān)系；開環(huán)Nyquist軌跡是對稱的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)實例分析5已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)奈氏軌跡如右邊圖所示。因為P=0，當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡不包圍(-1，j0)點(diǎn)，所以，不論K取任何正值，其所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。從開環(huán)傳遞函數(shù)的特點(diǎn)可知，當(dāng)ω=+∞時，相位為-π，當(dāng)ω由0變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡到不了第二象限。所以，當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡不會包圍(-1，j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。由此可知，開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時，只有三階及其以上，其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)實例分析6已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:右圖是對應(yīng)不同K奈氏曲線，且曲線(1)所對應(yīng)的K值大于曲線(2)的K值。當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡順時針包圍(-1，j0)點(diǎn)，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若減小K值得曲線(2)，當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡不包圍(-1，j0)點(diǎn)，所以，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。保持系統(tǒng)穩(wěn)定的方案有:減小K值;增大T4,T5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)實例分析7某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：右圖為其開環(huán)奈氏曲線。顯然，只要K>0，無論取何值，其對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。此例中只有一個積分環(huán)節(jié)，而且是二階系統(tǒng)，相位最多為-π所以，閉環(huán)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:實例分析8–前導(dǎo)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的重要作用右圖為開環(huán)奈氏曲線。其中曲線（1）的T4較小，即前導(dǎo)作用較弱，曲線包圍了（-1，j0）點(diǎn)，所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。曲線(2)的T4較大，即導(dǎo)前作用較強(qiáng)，曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)實例分析9–前導(dǎo)環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的作用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：T1、T2取值不同時的奈氏曲線見下圖：由圖可知：（1）T2大，表示導(dǎo)前環(huán)節(jié)作用大，可使系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)越多，開環(huán)Nyquist軌跡越容易包圍點(diǎn)（－1，j0）。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)五.具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析若則故具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為：延時環(huán)節(jié)不改變原頻率特性幅值的大小，但改變其相角的大小。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)對上述具有延時環(huán)節(jié)的單位反饋系統(tǒng)，其特征方程為：即此時系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，故有：解得：此例說明，串聯(lián)延時環(huán)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定性是不利的。即使原系統(tǒng)穩(wěn)定，但串入延時環(huán)節(jié)后系統(tǒng)可能會不穩(wěn)定。此例，τ<1.15，系統(tǒng)穩(wěn)定；τ=1.15，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；τ>1.15，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)了解幅角原理基本概念及與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系；六、本講小結(jié)掌握Nyquist判據(jù)穩(wěn)定性判斷方法；作業(yè)：教材：5.10明確Nyquist判據(jù)穩(wěn)定性時的特點(diǎn)；系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)第三講Bode穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)一Bode判據(jù)原理判據(jù)原理：將開環(huán)Nyquist極坐標(biāo)圖采用開環(huán)Bode對數(shù)坐標(biāo)圖以進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷。判據(jù)對應(yīng)關(guān)系：系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)對應(yīng)關(guān)系描述：Nyquist圖上的單位圓對應(yīng)于Bode圖上的0dB線；Nyquist圖上的負(fù)實軸對應(yīng)于Bode圖上的-180o線。二穿越原理穿越：開環(huán)Nyquist軌跡在點(diǎn)(-1,j0）以左穿過負(fù)實軸。正/負(fù)穿越：沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過點(diǎn)(-1,j0）以左的負(fù)實軸為正穿越，反之為負(fù)穿越。半次正/負(fù)穿越：沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自點(diǎn)(-1,j0）以左的負(fù)實軸開始向下稱為半次正穿越，反之為半次負(fù)穿越。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)

對應(yīng)于Bode圖上，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿ω增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自下而上穿過－180度線為正穿越；反之，為負(fù)穿越。對數(shù)相頻特性曲線自－180度線開始向上，為半次正穿越；對數(shù)相頻特性曲線自－180度線開始向下，為半次負(fù)穿越。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)三Bode判據(jù)在Bode圖上，當(dāng)ω由0變?yōu)?∞時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻特性對-180度線正穿越與負(fù)穿越的次數(shù)之差為P/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)P＝0時，若開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性先交于橫軸，即ωc<ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性后交于橫軸，即ωc>ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)若開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線對橫軸有多個剪切頻率，如圖，則取剪切頻率最大的來判別穩(wěn)定性，因為若用ωc3

判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，則用ωc1、ωc2判別，自然也是穩(wěn)定的。Bode判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：Bode圖可以用作漸近線的方法作出，故比較簡便；Bode圖上的漸近線，可以粗略的判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；Bode圖上可以明確哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定的主要因素，從而對其中參數(shù)進(jìn)行合理選擇或校正；在調(diào)整開環(huán)增益K時，只需將Bode圖中的對數(shù)幅頻特性上下平移即可，很容易看出保證穩(wěn)定性所需的增益值。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—Bod