《平面向量基本定理》導(dǎo)學(xué)案

111111111111112121121學(xué)習(xí)目標(biāo)

平面向量本定理理解平向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來表示其他向會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題.知識(shí)點(diǎn)一平面向量基本定理思考1如，是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與e，e在一平面內(nèi)的任一向量能否用e，e表示？依據(jù)是什么？答案

能依是數(shù)乘向量和平行四邊形法思考如，是線向量，那么向量能否用，表示？為什么？答案梳理

不一定，當(dāng)e共線時(shí)可以表示，否則不能表.(1)平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，，＝＋e.基底：不共線的向量，e叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基知識(shí)點(diǎn)二兩向量的夾角與垂直思考平中的任意兩個(gè)向量都可以平移至起點(diǎn)，它們存在夾角嗎？若存在，向量夾角與直線的夾角一樣嗎？答案

存在夾角，不一→→思考△正三角形，設(shè)AB＝，＝，向量a與b的角是多少？→答案如，延長(zhǎng)AB至D，AB，則B＝a，∵△等邊三角形，∴＝60°，則∠CBD，向量a與的角為120°.梳理

→→(1)夾角：已知兩個(gè)非零向量b，作O＝a，＝，∠＝≤≤180°)叫做向量與b的夾角(如圖所示)

12111112111121112212211121，2112122112當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與向；當(dāng)θ時(shí)，與b向垂直：如果的角是90°，則稱與b垂，作⊥類型一對(duì)基底概念的理解例如，是面α內(nèi)個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的()①＋e，∈)可表示平面內(nèi)所有向量；②對(duì)于平面α內(nèi)一向量a，使＝＋e的實(shí)數(shù)對(duì)(，)有無窮多個(gè)；③若向量e＋與＋e共線且有一個(gè)實(shí)數(shù)＋＝(e＋；④若存在實(shí)數(shù)，使＋＝，則＝＝0.①②③③D.②答案B解析由面向量基本定理可知①④是正確的；對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的；對(duì)于③，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即＝λ＝＝＝0時(shí)這樣的λ有數(shù)個(gè)，故選反思與感悟考兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底主要看兩向量是否非零且不共.外一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出跟蹤訓(xùn)練1()

若，是面內(nèi)的一組基底，則下列組向量能作為平面向量的基底的是e－，－e－3e－4e

B.2－，－1212e＋e，e－e答案D解析選A中兩個(gè)向量為相反向量，即－e＝－－，則－，－為線向量；選項(xiàng)B中2e－e＝e－，也為共線向量；選項(xiàng)中－＝－2(2e－e，122為共線向量.據(jù)不共線的向量可以作為基底，只有選項(xiàng)D符.類型二向量的夾角

1120111201010例已a(bǔ)＝＝2，且b的角，設(shè)ab夾角為α－與a的角是β，＋解

→→如圖，作OA，＝，＝，以O(shè)A、鄰邊作OACB→→→→則＝a＋BA＝－＝ab，→→＝＝a因?yàn)閍＝＝，所以為正三角形，所以O(shè)AB＝ABC，即a－與夾角β＝因?yàn)閍＝，以平行四邊形OACB為菱形，所以O(shè)C，所以COA＝－＝30°即a＋與夾角＝30°，所以α＋＝90°.反思與感悟(1)兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合兩向量的夾角，按“作二證三算”步驟求.特別地a與b的角為θ，與λbλ、是零常數(shù)的夾角為θ，λ時(shí)＝－θ；λλ時(shí)θ＝→→→→→跟蹤訓(xùn)練已A為O上三點(diǎn)O(＋B與的夾角答案90°→1→→解析由AO＝(AB＋知，O，三點(diǎn)共線，且是段的點(diǎn)，故線段是→→O的徑，從而＝，因此B與A的夾角為90°.類型三平面向量基本定理的應(yīng)

→→例如所，在ABCD中E，F(xiàn)分是BCDC邊的中點(diǎn)，B＝aAD＝，試以→→，為基底表D，BF.解

∵四邊形是行四邊形，F(xiàn)分是BCDC上的中點(diǎn)，→→→→→→∴＝＝，BA＝＝2，→→→→1→1∴BE＝＝，＝BA＝－AB＝－→→→→→→→∴＝＋＋BE＝－＋AB＋BE＝－b＋a＝－，2→→→→→1＝＋＝＋CF＝b引申探究→→→→若本例中其他條件不變，DEa＝，試以ab為底表B，AD.解取CF的點(diǎn)，連接.∵E、G分別為，的點(diǎn)，→→∴＝＝，2→→→1∴DGDE＋EGa＋.→3→又DG＝DC＝AB，→→42∴AB＝DG(ab＝＋.3→→→→→1→→1→又ADBC＋FC＝BFDC＋，→→14∴＝＝b＋(＋)34＝a＋3反思與感悟?qū)⒐簿€的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性運(yùn)算及法則對(duì)所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基

底表示向量的唯一性求.→→跟蹤訓(xùn)練如所，在中OAa＝b，，分是邊，上的點(diǎn)，→→→→→且＝，ONb，設(shè)AN與M交于點(diǎn)，用基底，表示O.2→→→→→→解＝OMMP＝＋.→→→→設(shè)＝，＝nNA則→→→1→→→OPOM＋mMB＋m(－)1＝am(b－)＝(1－)＋m，3→→→1→→→OPON＝OB＋ON11＝＋(a－)(1－nb＋na.2∵a，不共線，∴

即

＝，m＝.→∴＝＋.5下關(guān)基底的說法正確的()①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定①B.②①D.②③答案解析零量與任意向量共線，零向量不能作為基底中的向量，故②錯(cuò)，①③正.→→在角角形ABC中∠BAC＝30°，則AC與BA的夾角等于()

1212112121212C.120°

B.60°D.150°答案D→→解析由量夾角定義知，ACA的夾角為150°.已向e不線實(shí)數(shù)xy滿足(2－3)＋－4ye＝＋e則x＝，y＝答案－－12解析

∵向量e，不線，∴解→→→→如所，在正方形中，設(shè)＝，AD＝，當(dāng)以，基底時(shí)，AC→表示為_，以，為底時(shí)可表示________.答案＋2ac→→→→解析由行四邊形法則可知，AC＋AD＝a，以a，為基底時(shí)將D移，使點(diǎn)與點(diǎn)A重，再由三角形法則和平行四邊形法則即可得.→已在形中AB∥DC且＝2，，F(xiàn)分是DC，AB的點(diǎn)，AD，→→→→＝b，試用ab為基底表示D，.解

連接FD，∥，＝2CDE，分是DCAB的點(diǎn)，∴DC∴四邊形DCBF為行四邊.→→依題意＝1＝AB＝，→→→→＝FD＝AD－AF

4111411121211212121111212→→＝－AB＝a，→→→→→→→＝DF－DE＝FD－DE－－DC1＝－－－×＝－a.對(duì)底理解基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征①基底兩個(gè)不共線向量②基底的選擇是不唯一.面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條.零向量與任意向量共線，故不能作為基.準(zhǔn)理平面向量基本定理平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解平內(nèi)任一向量都可沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一.平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解課時(shí)作業(yè)一、選擇題設(shè)e，e是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中不能作為基底的()e＋和e－B.3－4e和－C.e＋2e和2e＋和e＋e答案B解析B中6e－＝2(3－)∴(6－∥(3e－e，∴3－和6e－不作為基底.若量a與b的角為，則向量－a與b夾角是()答案A

D.150°

112121212112121212121112121212112121212121212121212如所，用向量e，e表向量－為()－4－2eC.e－3e答案解析如，由向量的減法得

－2e－4eD.3－→→－AB.由向量的加法A＝－.設(shè)量和是一平面內(nèi)所有向量的一組基底若3e＋(10e＝(4－＋x，則實(shí)數(shù)y的為)A.3C.－答案B解析因3e＋(10－y)e＝y(tǒng)－e＋2e，所以(3－y＋7)e＋(10－2x)＝0，又因?yàn)楹褪且黄矫鎯?nèi)所有向量的一組底解得故0，選→→→→→若O＝a，OP＝，P＝PP(≠－，O等于()a＋C.a＋答案D

λa－λbλa1λ＋解析

→→∵＝PP，

121212121212→→→→→→→∴－＝OP－)，∴(1＋)＝OPOP，→1→λ→1λ∴＝＋＝a＋1＋＋＋→→→→若D點(diǎn)在三角形的邊上且＝4＝＋sAC，則3r＋的為()84C.5答案解析

→→→→∵CD＝＝rABsAC→4→→→∴＝＝(－AC→→＝rAB＋，4∴r＝，＝－8∴3r＋＝－＝.5在行邊形AC與BD交于點(diǎn)O是段OD中點(diǎn)的長(zhǎng)線與交→→→于點(diǎn).A＝a，BD＝，則F于)1a＋2C.a＋b答案→→→→解析如，F(xiàn)CD，AEμAF，

ab2a3→→→11則CD＝OD－＝－a，2→→→11故A＋＝(1λa＋λ.→→1→→11∵AFAE(AO＋OE＝＋)μμμ2＝

＋b，24

412111124121111231－λ，μ∴由平面向量基本定理，得＝，，∴，

→1∴＝a＋，故選3二、填空題已，不共線，＝＋2e，b＝2e＋e，要使，能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的值范圍為______________.答案

(－∞，4)∪，＋∞)解析若作為平面內(nèi)的一組基，則與不線ae＋，b＋，≠，即得λ≠4.若＝＝－＝rr>0)，則與b的角_答案60°→→→解析作O＝，＝，B＝ab，AOB為與b的角，由a＝＝ab知AOB為等邊三角形，所以＝→→→10.如圖，在平行四邊形ABCD中E和F分是邊和中點(diǎn)，若AC＝AE＋，其中，∈R，＋＝________.答案

→→→1→解析設(shè)ABa，AD＝，AE＝＋，＝＋b→又AC＋，→2→→4∴＝(AE＋AF，即λ＝＝，λ＋＝三、解答題判斷下列命題的正誤，并說明理由：

1212112111212112111211211121221若ae＋＝e＋、b、c、∈R，＝c，＝d若和e是示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用＋e－表示出解

(1)錯(cuò)，當(dāng)e與e共線時(shí)，結(jié)論不一定成立.正確，假設(shè)＋與－共，則存在實(shí)數(shù)，使＋＝－)，即(1λ)＝(1＋)因?yàn)椋c＋不同時(shí)為0所以與共，這與，不線矛.所以e＋e與－e不共線，即它們可以作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可以用＋、e－表示出→→→→→→→12.如圖面有三個(gè)OAOC其中O與的夾角為與O的夾角為，→→→→→→且OA＝＝1＝3，若OC＝OA＋μOB(λ，∈)，＋的解

→→→如圖OAOB所射線為邊為角線作行四邊形ODCECODOE→在OCD中＝2，∠COD＝，∠＝90°，→→→→∴OD＝4，CD＝，故OD＝OA→→OE2，即λ＝，＝，＋＝6.→→DC→→13.在梯形ABCD∥CDMN別是BC的點(diǎn)，且＝.AD＝ABe，AB2→→→以e，為底表示向量，，MN解

方法一如所示，

212212212→k＋212212212→k＋→DC∵AB＝，且＝，2→→∴＝＝k.→→→→又＋BCCD＋＝0，→→→→→→→∴＝－－CD－DA－AB＋AD＝＋k－e.→→→→又＋BA＋＝0，→→→→且N＝－BC，AMAD，2→→→→1→→→∴＝－AMBA－＝－AD＋AB2＝

k＋1e.2方法二如所示，過CCE，交于點(diǎn)E，交于F→同方法一可得DC＝k.→