第五章 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)

數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)模擬信號與數(shù)字信號處理區(qū)別模擬信號處理系統(tǒng)是由R、C、L等無源元件或放大器等有源元件組成，用來直接處理模擬信號。數(shù)字信號處理系統(tǒng)則是利用通用或?qū)Ｓ玫挠嬎銠C，以數(shù)值計算的方法對信號進行加工。當輸入為模擬信號時，還必須通過A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。a.

利用專用計算機；b.直接利用計算機和通用軟件編程實現(xiàn)。一個數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般可表示為有理函數(shù)形式：數(shù)字濾波器的實現(xiàn)方法：5.1為IIR濾波器形式，{}都為0時就是一個FIR濾波器。對于這樣一個系統(tǒng)，也可用差分方程來表示：5.2

即一個輸出序列是其過去點的線性組合加上當前輸入序列與過去點輸入序列的線性組合。除了與當前的輸入有關(guān)，同時還與過去的輸入和過去的輸出有關(guān)，系統(tǒng)是帶有記憶的。

對于上面的算式，可以化成不同的計算形式，如直接計算、分解為多個有理函數(shù)相加、分解為多個有理函數(shù)相乘等等，不同的計算形式也就表現(xiàn)出不同的計算結(jié)構(gòu)，而不同的計算結(jié)構(gòu)可能會帶來不同的效果，或者是實現(xiàn)簡單，編程方便，或者是計算精度較高等等。

另外，數(shù)字信號是通過采樣和轉(zhuǎn)換得到的，而轉(zhuǎn)換的位數(shù)是有限的（一般6、8、10、12、16位），所以存在量化誤差，另外，計算機中的數(shù)的表示也總是有限的，經(jīng)此表示的濾波器的系數(shù)同樣存在量化誤差，在計算過程中因有限字長也會造成誤差。①A/D變換量化效應(yīng)；②系數(shù)的量化效應(yīng)；③數(shù)字運算的有限字長效應(yīng)。量化誤差主要有三種誤差：5.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

一、數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖表示

差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作：①加法，②乘法,③延遲。為了表示簡單，通常用信號流圖來表示其運算結(jié)構(gòu)。對于加法、乘法及延遲這三種基本運算。延時乘常數(shù)相加aaZ-1Z-1結(jié)構(gòu)方框圖信號流程圖只有輸出支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點或源點；⑦只有輸入支路的節(jié)點稱為輸出節(jié)點或阱點；⑧既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點叫做混合節(jié)點。①-⑥通路是指從源點到阱點之間沿著箭頭方向的連續(xù)的一串支路，通路的增益是該通路上各支路增益的乘積。7-1-3-4-8,7-1-2-6-3-4-8回路是指從一個節(jié)點出發(fā)沿著支路箭頭方向到達同一個節(jié)點的閉合通路，它象征著系統(tǒng)中的反饋回路。組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益。3-4-5-6-3式中Tk為從輸入節(jié)點（源點）到輸出節(jié)點（阱點）的第k條前向通路增益；Δ為流圖的特征式Δk是不接觸第k條前向通路的特征式余因子

為所有不同回路增益之和.為每兩個互不接觸回路增益之和

梅遜(Mason)公式例:利用梅遜公式計算圖中的系統(tǒng)函數(shù)

有兩條前向通路：

一個回路，其回路增益為

則系統(tǒng)函數(shù)

例：利用Mason公式計算下圖的系統(tǒng)函數(shù)x(n)z-1b2b1a1a0y(n)z-1a2解：圖中有兩個回路：L1=b1z-1;L2=b2z-2沒有互不接觸的回路：⊿=1-(L1+L2)=1-b1z-1-b2z-2三條前向通路：T1=a0;T2=a1z-1;T3=a2z-2由于三條前向通路均無不接觸的回路：所以：⊿1=⊿2=⊿3=1信號流圖的轉(zhuǎn)置定理：

對于單個輸入、單個輸出的系統(tǒng)，通過反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖相同的系統(tǒng)函數(shù)。信號流圖轉(zhuǎn)置的作用：

①轉(zhuǎn)變運算結(jié)構(gòu)；②驗證計算流圖的系統(tǒng)函數(shù)的正確與否。運算結(jié)構(gòu)對濾波器的實現(xiàn)很重要，尤其對于一些定點運算的處理機，結(jié)構(gòu)的不同將會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等許多重要的性能。對于無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器，它們在結(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點，因此我們在下面將對它們分別加以討論。IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點：(1)單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面上有極點(3)存在反饋環(huán)路，遞歸型結(jié)構(gòu)。同一系統(tǒng)函數(shù)，有各種不同的結(jié)構(gòu)形式。其主要結(jié)構(gòu)有：

(1)直接型直接由IIRDF的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。二、IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

上述結(jié)構(gòu)缺點：①需要2N個延遲器（z-1），太多。②系數(shù)ai、bi對濾波器性能的控制不直接，對極、零點的控制難，一個ai、bi的改變會影響系統(tǒng)的零點或極點分布。③對字長變化敏感（對ai、bi的準確度要求嚴格）。④易不穩(wěn)定，階數(shù)高時，上述影響更大。（2）直接Ⅱ型(典范型)上面直接型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個獨立的網(wǎng)絡(luò)(H1(z)和H2(z)),兩部分串接構(gòu)成總的系統(tǒng)函數(shù)：由系統(tǒng)函數(shù)的不變性（系統(tǒng)是線性的），得

兩條延時鏈中對應(yīng)的延時單元內(nèi)容完全相同,可合并，得：

直接II型優(yōu)缺點：優(yōu)點：延遲線減少一半，為N個，可節(jié)省寄存器或存儲單元。缺點：同直接型。通常在實際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)（一、二階）來實現(xiàn)。例：用直接型I及直接型II型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)。解：因為所以a0=1.5a2=2.1a3=0.4b1=-0.3b2=0.2（3）級聯(lián)型一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點表示，即把它的分子、分母都表達為因子形式

由于系數(shù)、都是實數(shù)，極、零點為實根或共軛復根，所以有

、——實根、——復根且將共軛因子合并為實系數(shù)二階因子，單實根因子看作二階因子的一個特例，則

、——為實系數(shù)。用若干二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成濾波器，二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié)，可用正準型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。

級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點：

優(yōu)點：

①簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)；②極、零點可單獨控制、調(diào)整，調(diào)整、可單獨調(diào)整第對零點，調(diào)整、可單獨調(diào)整第對極點；③各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差；④可流水線操作。缺點：二階節(jié)電平難控制，電平大易導致溢出，電平小則使信噪比減小。

將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式之和，可用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器：將上式中的共軛復根成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，上式表明，可用L個一階網(wǎng)絡(luò)、M個二階網(wǎng)絡(luò)以及一個常數(shù)并聯(lián)組成濾波器H（z），結(jié)構(gòu)如下圖：（4）并聯(lián)型特點：①系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，只需一個二階節(jié)，系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成；②極點位置可單獨調(diào)整；③運算速度快（可并行進行）；④各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。缺點：不能直接調(diào)整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。

[例]已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出其直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。直接型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為級聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為一階、二階實系數(shù)分式之積并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為部分分式之和的形式三、FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)

FIRDF特點：

(1)單位沖激響應(yīng)h(n)是有限個n值處不為零(2)系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，極點在z=0(3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸型結(jié)構(gòu)它的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程一般有如下形式：基本的結(jié)構(gòu)形式有下幾種：（1）直接型（卷積型、橫截型）卷積型：差分方程是信號的卷積形式；橫截型：差分方程是一條輸入x(n)延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)。直接由差分方程可畫出對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：圖直接型的轉(zhuǎn)置：圖

（2）級聯(lián)型當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實系數(shù)因子的形式：

于是可用二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成，每一個二階節(jié)控制一對零點。缺點：①所需要的系數(shù)a比直接型的h(n)多；②乘法運算多于直接型。圖（3）線性相位型FIR的重要特點是可設(shè)計成具有嚴格線性相位的濾波器，此時滿足偶對稱或奇對稱條件。利用h[k]的對稱特性：h[k]=±h[M-k]N為偶數(shù)，

N為奇數(shù)，由上兩式，可得到線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu),如圖。優(yōu)點：線相相位型結(jié)構(gòu)的乘法次數(shù)減為（N偶數(shù)）（N奇數(shù)）

(橫截型結(jié)構(gòu)乘法次數(shù):N次)（4）頻率采樣型第二章討論了有限長序列可以進行頻域采樣?，F(xiàn)是長為的序列，因此也可對系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上作等分采樣，這個采樣值也就是的離散付里葉變換值H(k)。根據(jù)上一章的討論，用頻率采樣表達z函數(shù)的內(nèi)插公式為：H(z)由兩部分級聯(lián)而成，第一部分（部分）

這是一個由節(jié)延時器組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有個等分的零點：其頻響為梳狀濾波器頻響

第二部分（IIR部分）是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)：

此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點：

該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為，是一個諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點正好各自抵消一個梳狀濾波器的零點，從而使這個頻率點的響應(yīng)等于。兩部分級聯(lián)后，就得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu)，

這一結(jié)構(gòu)的最大特點是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應(yīng)，因此，控制濾波器的響應(yīng)很直接。兩個主要的缺點：①所有的系數(shù)和都是復數(shù)，計算復雜。②所有諧振器的極點都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化的影響，有些極點實際上不能與梳狀濾波器的零點相抵消，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。

為了克服這兩個缺點，作兩點修正：1）將所有零點和極點移到半徑為的圓上，略小于1，同時頻率采樣點也移到該圓上，以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時2）共軛根合并，將一對復數(shù)一階子網(wǎng)絡(luò)合并成一個實系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。這些共軛根在圓周上是對稱點即同樣，h(m)因是實數(shù)，其DFT也是圓周共軛對稱的，因此可將第k及第N-k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)其中

這個二端網(wǎng)絡(luò)是一個有限Q值的諧振器，諧振頻率為。除了以上共軛極點外，還有實數(shù)極點，分兩種情況：當N為偶數(shù)時，有二個實數(shù)極點，對應(yīng)H(0)和H(N/2)，有二個一階網(wǎng)絡(luò)：

所以有當為奇數(shù)時，只有一個實數(shù)極點，對應(yīng)H(0)，有一個一階網(wǎng)絡(luò)：

所以有

改進后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如下圖例：設(shè)計一M階實系數(shù)FIR，已知H[0]=1，H[1]=1，畫出其頻率取樣型結(jié)構(gòu)。解：頻率抽樣點數(shù)N=M+1由H[N-1]=H[1]=1，和實系數(shù)頻率取樣型結(jié)構(gòu)流圖優(yōu)點：1.H[m]零點較多時，實現(xiàn)較為簡單。2.可以構(gòu)成濾波器組，實現(xiàn)信號的頻譜分析。格型結(jié)構(gòu)全零點(AZ)濾波器的格型結(jié)構(gòu)全極點