第4章：連續(xù)體的振動

Prof.LanheWuShijiazhuangTiedaoUniv.DynamicsofStructures第四章連續(xù)系統(tǒng)的振動具有連續(xù)分布的質(zhì)量和彈簧系統(tǒng)稱作連續(xù)系統(tǒng)或分布質(zhì)量系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)具有無限多個自由度，其動力學(xué)方程為偏微分方程，只對一些簡單情形才能求得精確解。對于復(fù)雜的連續(xù)系統(tǒng)則必須利用各種近似方法簡化為離散系統(tǒng)求解。本章先討論以桿的縱向振動為代表的一類振動以及梁的橫向振動，以掌握連續(xù)系統(tǒng)振動的一般規(guī)律，然后介紹工程中常用的幾種近似方法，包括集中質(zhì)量法、假設(shè)模態(tài)法、模態(tài)綜合法和有限元法。本章材料均為理想線彈性體，即材料為均勻的和各向同性的，且在彈性范圍內(nèi)服從胡克定律§4.1一維波動方程基本假設(shè):考慮圖示均質(zhì)直桿1.所有連續(xù)體均為線性彈性體2.材料均勻連續(xù)且各向同性3.體系的振動變形都是微小變形一.動力學(xué)方程1.桿的縱向振動設(shè)彈性模量為橫截面積為材料密度為桿件長度為假定振動過程中各截面保持平面，并忽略因縱向振動引起的橫向變形考慮微段的平衡一維波動方程而將上式代入動力平衡方程整理得波速2.弦的橫向振動討論兩端固定，以張力拉緊的細(xì)弦的橫向振動設(shè)弦單位長度的質(zhì)量為單位長度弦上橫向的干擾力以變形前弦的方向?yàn)檩S振動過程中弦的張力不變設(shè)橫向撓度對圖示微元體，列出將代入整理得自由振動時上式化為一維波動方程波速3.軸的扭轉(zhuǎn)振動設(shè)截面的二次極矩為材料的密度為剪切模量建立圖示的坐標(biāo)系扭轉(zhuǎn)角該截面處的扭矩為對右圖示的微元體，列出自由振動時化為一維波動方程一維波動方程波速4.桿的剪切振動材料的密度為剪切模量建立圖示的坐標(biāo)系對右圖示的微元體，列出

桿的剪切振動當(dāng)桿的長度接近截面尺寸時，桿的橫向振動主要引起剪切變形假設(shè)振動過程中桿的橫截面始終保持平行，稱作桿的剪切振動截面形狀系數(shù)一維波動方程波速整理得二.固有頻率和模態(tài)函數(shù)以上四種物理背景不同的振動都?xì)w結(jié)為同一數(shù)學(xué)模型，即一維波動方程。以桿的縱向振動為代表，討論此數(shù)學(xué)模型，所得結(jié)果也完全適用于其它振動問題?，F(xiàn)來求解一維波動方程利用分離變量法，令這個假設(shè)的實(shí)質(zhì)是:假設(shè)桿上各點(diǎn)作同步運(yùn)動代入波動方程得

桿上距原點(diǎn)x處的截面縱向振動的振幅各截面振動隨時間的變化規(guī)律等式兩邊是互相無關(guān)的函數(shù)，因些只能等于常數(shù)記

上式可化為如下兩個常微分方程

思考:為什么這個常數(shù)為非正數(shù)?

通解:

振動形態(tài)(模態(tài))常數(shù)

由桿的邊界條件確定

與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即模態(tài)函數(shù)。由于是表示各坐標(biāo)振幅的相對比值，模態(tài)函數(shù)內(nèi)可以包含一個任意常數(shù)由頻率方程確定的固有頻率有無窮多個一一對應(yīng)第i階主振動系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加其中積分常數(shù)和由系統(tǒng)的初始條件確定以下討論幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)1.兩端固定邊界條件為因?qū)⒋肟傻煤鸵驗(yàn)楣薯氂蓄l率方程無窮多個固有頻率模態(tài)函數(shù)由于模態(tài)表示的是各振幅比值,故可令這個常數(shù)等于12.兩端自由邊界條件為因?qū)⒋肟傻煤鸵驗(yàn)楣薯氂蓄l率方程無窮多個固有頻率模態(tài)函數(shù)亦可令這個常數(shù)為1,有3.一端固定另一端自由邊界條件為因?qū)⒋肟傻煤鸵驗(yàn)楣薯氂蓄l率方程無窮多個固有頻率模態(tài)函數(shù)亦可令這個常數(shù)為1,有例:解:設(shè)桿的一端固定，另一端自由且有附加質(zhì)量如圖所示,試求桿縱向振動的固有頻率和模態(tài)邊界條件寫作將邊界條件代入得到及頻率方程化作其中梁的總質(zhì)量利用數(shù)值方法或作圖法可解出此方程，得到頻率相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為因?yàn)閿?shù)學(xué)模型相同，以上在各種邊界條件下導(dǎo)出的固有頻率和模態(tài)函數(shù)也完全適用于弦的橫向振動、桿的扭轉(zhuǎn)振動和梁的剪切振動。關(guān)于這類系統(tǒng)的受迫振動本節(jié)不作討論，因?yàn)榕c下節(jié)梁的彎曲受迫振動的分析和計(jì)算方法基本相同§4.2Euler-Bernoulli梁的彎曲自由振動一.動力學(xué)方程考慮細(xì)直梁的彎曲振動忽略梁的剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動對彎曲的影響Euler-Bernoulli梁設(shè)梁的長度為密度為截面積為彈性模量為截面二次矩單位長度梁上的橫向外力單位長度梁上的外力矩取一微段,其受力圖如右圖利用達(dá)朗伯原理列出微元體沿方向的動力學(xué)平衡方程即再列出微元體力矩方向的平衡方程略去高階微量得到將該式代入前面的式子得到由材料力學(xué)知代入整理得動力學(xué)方程若為等截面梁,則可化為若梁上無分布力矩,則化為此方程含有對坐標(biāo)的四階導(dǎo)數(shù)和對時間的二階導(dǎo)數(shù),故求解時必須考慮四個邊界條件和兩個初始條件二.固有頻率和模態(tài)函數(shù)考慮梁的自由振動,此時梁上無荷載,動力學(xué)方程為仍采用分離變量法，令代入動力學(xué)方程,整理得到該式兩邊分別為時間和坐標(biāo)的孤立函數(shù),兩者互相無關(guān),故只能等于常數(shù),記為導(dǎo)出兩個常微分方程第一個方程的解為第二個方程為變系數(shù)微分方程,一般情況下得不到解析解考慮特殊情況,高梁為等截面梁,則第二個方程化為令該方程的解可以確定梁的模態(tài)函數(shù)和固有頻率設(shè)解的一般形式為代入控制方程，導(dǎo)出本征方程本征根為對應(yīng)于4個線性獨(dú)立的特解因?yàn)橐嗫蓪⒆鳛榛窘庥谑窃匠痰耐ń鉃榉e分常數(shù)及參數(shù)應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定可解出無窮多個固有頻率及模態(tài)函數(shù)構(gòu)成系統(tǒng)的主振動系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的線性疊加其中,積分常數(shù)由初始條件確定常見的約束狀況與邊界條件有以下幾種：固定端即簡支端即自由端即以下若無特殊說明,均假設(shè)梁為等截面梁例:解:求兩端簡支梁的固有頻率和模態(tài)已知梁的邊界條件為代入得由前二式可解得代入后二式有因?yàn)楣视墒娇山獾糜谑堑妙l率方程及而解得得固有頻率將及代入得相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)由于模態(tài)表示各點(diǎn)振幅之間的比值,故可取得模態(tài)函數(shù)其前幾階模態(tài)的形狀如下第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)沒有節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)二個節(jié)點(diǎn)三個節(jié)點(diǎn)例:解:求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)已知梁的邊界條件為代入得以及因?yàn)椴荒苋珵榱?故有展開化簡后，得到頻率方程該方程為超越方程,不能求得精確解,可用作圖法或者數(shù)值法求得其近似解對應(yīng)的各階頻率為相應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為其中其前三階模態(tài)圖如下第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)例:解:求兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)已知梁的邊界條件為利用前面相同的步驟可以導(dǎo)出頻率方程解得相應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為其中例:解:圖示懸臂梁的自由端有彈性支承,試列出其頻率方程固定端的邊界條件化為梁右端的邊界條件為:梁端的剪力和彎矩分別等于直線彈簧的反力和卷簧的反力矩,即:化為由固定端條件解得由彈性支承端條件并考慮上式得因不全為零和導(dǎo)出頻率方程或若全為零和則退化為懸臂梁的頻率方程例:解:固定端的邊界條件為懸臂梁的自由端有附加質(zhì)量,試列出其頻率方程自由端應(yīng)有化為利用與上例相同的方法可提頻率方程其中說明:上述分析沒有考慮梁的剪切變形和梁截面的轉(zhuǎn)動慣性,因而只適用于細(xì)長梁若不滿足此條件,宜用Timoshenko梁模型,剪切變形和梁截面的轉(zhuǎn)動慣性都會使梁的固有頻率減小三.模態(tài)函數(shù)的正交性討論細(xì)長梁，不限于等截面情形,設(shè)它們必滿足對第(1)式,兩邊乘以并沿桿長積分左邊利用分部積分有對于梁的簡單邊界條件,其撓度和剪力中必有一個為零,轉(zhuǎn)角和彎矩中也必有一個為零,因而上式中的前兩項(xiàng)必定等于零,故有代入(3)式得同理,對第(2)式,兩邊乘以并沿桿長積分得(4)式減去(5)式得如果則再代回(4)式得主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性主振型關(guān)于剛度的正交性四.主質(zhì)量和主剛度以上主振型的正交性條件要求當(dāng)時定義第i階主質(zhì)量第i階主剛度由式知與多自由度系統(tǒng)類似，也可以實(shí)現(xiàn)模態(tài)函數(shù)的簡正化記若采用簡正模態(tài)函數(shù),則必有簡正模態(tài)函數(shù)模態(tài)的正交條件可寫為為克羅內(nèi)克符號當(dāng)梁的端部為簡支、固定或自由以外的其它復(fù)雜情形時，則以上對正交性條件的推導(dǎo)和結(jié)論應(yīng)作相應(yīng)的改變。對于一維波動方程描述的桿的縱向振動或軸的扭轉(zhuǎn)振動等情形，也可以導(dǎo)出類似的正交性條件。注:§4.3Euler-Bernoulli梁的受迫振動根據(jù)模態(tài)函數(shù)的正交性，可將多自由度系統(tǒng)的模態(tài)疊加法思想應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)。即將彈性體的振動表示為各階模態(tài)的線性組合，用于計(jì)算系統(tǒng)在激勵作用下的響應(yīng)問題梁的動力學(xué)方程為設(shè)代入動力方程得簡寫為方程兩邊同時乘以,并沿桿長積分利用模態(tài)的正交性,得到無窮多個完全解耦的方程其中第i個正則坐標(biāo)方程第i個廣義力設(shè)梁的初始條件為將此初始位移亦看作是各階模態(tài)的疊加兩式分別乘以并沿桿長積分得此二式即為廣義坐標(biāo)的初始條件系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的響應(yīng)為初始條件確定的自由振動和激勵力產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。由杜哈梅積分公式及單自由度結(jié)構(gòu)自由振動的解得到原來系統(tǒng)物理坐標(biāo)的的響應(yīng)為如果作用的梁上的不是分布力和分布力矩，而是集中力和集中力矩，如圖所示作用力可表示為廣義作用力為例:解:設(shè)等截面簡支梁受到初始位移的激勵，求梁的響應(yīng)我們已知該梁的模態(tài)函數(shù)為計(jì)算其主質(zhì)量其簡正模態(tài)為其中為梁的質(zhì)量梁的固有頻率為由于梁沒有初速度，也沒有干擾力，而只有初位移廣義坐標(biāo)的初位移為廣義坐標(biāo)的響應(yīng)為系統(tǒng)物理坐標(biāo)的響應(yīng)為例:解:設(shè)等截面簡支梁上通過一輛以速度勻速駛過的車，若忽略車輛的慣性，可以看作集中力勻速沿橋梁移動設(shè)梁上橋瞬時梁的初位移和初速度皆為零求梁的響應(yīng)集中力荷載用脈沖函數(shù)表示為簡支梁的固有頻率和簡正模態(tài)函數(shù)為求出與廣義坐標(biāo)相對應(yīng)的廣義力將廣義力和零初始條件代入杜哈梅積分梁的響應(yīng)為其中括號內(nèi)第一項(xiàng)為車輛載荷激起的受迫振動，第二項(xiàng)為伴生自由振動

當(dāng)固有頻率與激勵頻率相等的時候?qū)a(chǎn)生第階共振，對應(yīng)的車速為

這時梁的振幅將隨時間增長，直到車輛離開橋梁當(dāng)后梁作自由振動其廣義坐標(biāo)的初位移和初速度為和其振動的響應(yīng)可參考上例求得,此處略去例:圖示等截面簡支梁中點(diǎn)處受集中力偶求梁的響應(yīng)解:簡支梁的固有頻率和簡正模態(tài)函數(shù)為力偶荷載用脈沖函數(shù)表示為廣義坐標(biāo)的動力學(xué)方程為其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為因此有廣義力§4.4Timoshenko梁的彎曲自由振動一.動力學(xué)方程考慮細(xì)直梁的彎曲振動考慮梁的剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動對彎曲的影響設(shè)梁的長度為密度為截面積為彈性模量為截面二次矩單位長度梁上的橫向外力單位長度梁上的外力矩梁上某一微段變形情況截面法線梁軸線的切線其中梁軸線與水平軸的夾角剪切角梁截面與豎直軸的夾角很明顯有