第一章優(yōu)選法-盧一平

大連理工大學材料學院鑄造工程研究中心315室Tel:84709400實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理盧一平E-mail：luyiping@課程設(shè)置的意義-前沿

顧名思義，“實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理”課程是關(guān)于實驗前的設(shè)計理論、知識、方法、技能，以及實驗后對實驗數(shù)據(jù)進行科學處理的理論、知識方法與技能的課程。開設(shè)本課程的意義：材料學科的特點-必要性材料學科的畢業(yè)生去向：絕大多數(shù)學生生畢業(yè)后去大型科技企業(yè)，研究所、大學等科研學術(shù)機構(gòu)，繼續(xù)從事科研技術(shù)研發(fā)方面的工作。

材料學科特點：需要常常做實驗，確定最佳的技術(shù)工藝條件，獲得最佳的產(chǎn)品配方及對產(chǎn)品性能進行優(yōu)化。幾乎所有專業(yè)都開設(shè)了實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理這門課，是必修課可見其重要性課程度的性質(zhì)：試驗設(shè)計方法是一項通用技術(shù)，是當代科技和工程技術(shù)人員必須掌握的技術(shù)方法。課程的任務(wù)：讓學生熟悉并掌握近代最常用、最有效的幾種優(yōu)化試驗設(shè)計方法的基本原理及其應(yīng)用。什么叫做（優(yōu)化）試驗設(shè)計方法？把數(shù)學上優(yōu)化理論、技術(shù)應(yīng)用于試驗設(shè)計中，科學的安排試驗、處理試驗結(jié)果的方法。采用科學的方法去安排試驗，處理試驗結(jié)果，以最少的人力和物力消費，在最短的時間內(nèi)取得更多、更好的生產(chǎn)和科研成果的最有效的技術(shù)方法。優(yōu)化試驗設(shè)計方法起源上世紀30年代，由于農(nóng)業(yè)試驗的需要，費歇(R.A.Fisher)在試驗設(shè)計和統(tǒng)計分析方面做出了一系列先驅(qū)工作，從此試驗設(shè)計成為統(tǒng)計科學的一個分支。上世紀40年代，在二次世界大戰(zhàn)期間，美國軍方大量應(yīng)用試驗設(shè)計方法。隨后F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box對試驗設(shè)計都作出了杰出的貢獻，使該分支在理論上日趨完善，在應(yīng)用上日趨廣泛。50年代，日本統(tǒng)計學家田口玄一將試驗設(shè)計中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計表格化，在方法解說方面深入淺出為試驗設(shè)計的更廣泛使用作出了眾所周知的貢獻。我國優(yōu)化試驗設(shè)計方法60末期代，華羅庚教授在我國倡導與普及的“優(yōu)選法”，如黃金分割法、分數(shù)法和斐波那契數(shù)列法等。數(shù)理統(tǒng)計學者在工業(yè)部門中普及“正交設(shè)計”法。70年代中期，優(yōu)選法在全國各行各業(yè)取得明顯成效。1978年，七機部由于導彈設(shè)計的要求，提出了一個五因素的試驗，希望每個因素的水平數(shù)要多于10，而試驗總數(shù)又不超過50，顯然優(yōu)選法和正交設(shè)計都不能用，隨后，方開泰教授（中國科學院應(yīng)用數(shù)學研究所）和王元院士提出“均勻設(shè)計”法，這一方法在導彈設(shè)計中取得了成效。優(yōu)化試驗設(shè)計試驗設(shè)計在科學研究中的地位與意義：試驗設(shè)計方法是一項通用技術(shù)，是當代科技和工程技術(shù)人員必須掌握的技術(shù)方法?？茖W地安排實驗，以最少的人力和物力消費，在最短的時間內(nèi)取得更多、更好的生產(chǎn)和科研成果。簡稱為：多、快、好、省。可應(yīng)用于：提高試驗效率、優(yōu)化產(chǎn)品設(shè)計、改進工藝技術(shù)、強化質(zhì)量管理。試驗設(shè)計在工業(yè)生產(chǎn)和工程設(shè)計及科學研究中能發(fā)揮重要的作用，例如：提高產(chǎn)量減少質(zhì)量的波動，提高產(chǎn)品質(zhì)量水準大大縮短新產(chǎn)品試驗周期降低成本延長產(chǎn)品壽命多用在化工、電子、材料、建工、建材、石油、冶金、機械、交通、電力……第一部分優(yōu)選法

典型事例1：長征3號火箭定型試驗，新研制的火箭，要檢測其安全性穩(wěn)定性。通過高超設(shè)計的實驗方案及數(shù)據(jù)處理技術(shù)，不及蘇聯(lián)及美國一半的試驗次數(shù)就完成了定型試驗，大大節(jié)省了財力、物力和時間。在材料研究過程中，廣泛使用實驗手段去探求和掌握研究對象的規(guī)律，材料工藝開發(fā)過程更是這樣。面對大量的實驗工作報，除了有關(guān)的專業(yè)知識和文獻信息之外，還必須有一套科學的實驗設(shè)計方法，才能花費盡量少的力氣，獲取最多的信息。經(jīng)過設(shè)計的實驗，效果大大提高，與不經(jīng)過設(shè)計的實驗相比，情況大不相同。典型事例2：高熵多主元合金的研發(fā)與制備。例如：Al100Co100Cr100Cu100Fe100Ni100合金系的成分優(yōu)化與設(shè)計。0~100之間，怎么設(shè)計與處理？典型-案類1.1單因素問題的優(yōu)選法優(yōu)選法：根據(jù)生產(chǎn)和科研中的不同問題，利用數(shù)學原理，合理地安排試驗點，減少試驗次數(shù)，以求迅速地找到最佳點的一類科學方法。如果只考慮改變對目標影響最大的某個因素，而其他因素保持不變，就是單因素問題的優(yōu)選方法。適用于：試驗指標與因素間不能用數(shù)學形式表達(數(shù)據(jù)發(fā)散無數(shù)學規(guī)律）表達式很復雜（未知數(shù)的N次方大于3以上）1.1.1黃金分割法黃金分割點是誰發(fā)現(xiàn)的？，它是古希臘著名哲學家、數(shù)學家畢達哥拉斯。黃金分割法的應(yīng)用領(lǐng)域有哪些？繪畫、雕塑、音樂、建筑、藝術(shù)、管理、工程設(shè)計等領(lǐng)域都有應(yīng)用。請舉例。1.1.1黃金分割法基本命題試驗指標f(x)是定義區(qū)間(a，b)的單峰函數(shù)用盡量少的試驗次數(shù)，來確定f(x)的最大值的近似位置

x1x2abx3x4abxx變量取值是任意的若x1<x2<x，有f(x1)<f(x2)<f(x)，若x<x3<x4，有f(x4)<f(x3)<f(x)，則f(x)最大則稱：f(x)為[a,b]上的單鋒函數(shù)，反之稱為單谷函數(shù)，單峰單谷函數(shù)統(tǒng)稱單極值函數(shù)。峰值點稱為極值點，最大值點和最小值點稱為最優(yōu)點黃金分割法，亦稱0.618法，0.618是：

在一般情況下，通過預(yù)實驗或其它先驗信息，確定了實驗范圍[a，b]，可以用黃金分割法設(shè)計實驗，安排實驗點位置。黃金分割法，是把第一個實驗點安排在實驗范圍距左端點a為區(qū)間全長的0.618處。第一個實驗點X1=a＋（b－a）×0.618第二個實驗點X2=b－（b－a）×0.618或X2=大+?。校ㄖ兄敢呀?jīng)做過的試驗點）

比較試驗結(jié)果y1=f(x1)和y2=f(x2)的大小。如果f(x1)大，就去掉(a，x2)部分，留下的范圍里形成新的含優(yōu)區(qū)間(x2，b)繼續(xù)試驗。

例：要熔煉某種鋼，為了提高其強度而加入某種微量元素，含優(yōu)區(qū)間為[1000,2000]。為了尋求最大值點，分別在x1點和x2點做二次試驗，其中：x1=a＋(b－a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克x2=b－(b－a)×0.618=2000－(2000-1000)×0.618=1382克然后把加入量1618g和1382g的實驗結(jié)果進行比較，如果x2點的強度大于x1點的強度，則把x1~b部分去掉，在余下的空間里又形成了一個縮小的含優(yōu)空間[a,x1]。繼續(xù)試驗再求下一個試驗點x3。x3=x1－(x1－a)×0.618=1618－(1618-1000)×0.618=1236克再比較x3和x2點的強度，若x2點的強度大于x3點的強度，則把a~x3部分去掉，在余下的[x3,x1]區(qū)間繼續(xù)求另一個對稱點x4=1472克？。再對x2和x4進行比較，如此不斷縮小含優(yōu)區(qū)間，直到獲得滿意的結(jié)果。x2x1abx3x18法的數(shù)學依據(jù)和來源2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。美國J.基弗在1953年首先提出0.618法。中國的數(shù)學家華羅庚推廣了優(yōu)選法在工廠和企業(yè)的大規(guī)模應(yīng)用。為什么選0.618，又為什么是對稱取點？假設(shè)第一個試驗點取在含優(yōu)區(qū)間[a,b]內(nèi)的x1點位置是合適的，則x1在[a,b]內(nèi)應(yīng)有合適的比例位置：(1-1)為了知道x1的好壞，根據(jù)對等原則必須再選對稱的選一個點x2x2-a=b-x1(1-2)假定x2比x1好，余下的含優(yōu)區(qū)間為[a,x1],則應(yīng)滿足：(1-3)(1-4)聯(lián)立(1-2)和(1-3)式子，即滿足聯(lián)立方程：解方程(1-4)，有：因為x1是[a,b]內(nèi)的點，x2是[a,x1]內(nèi)的點，所以可知0<1.1.3分數(shù)法

1202年，意大利數(shù)學家斐波那契（Fibonacci）出版了他的「珠算原理」。他在書中提出了一個關(guān)于兔子繁殖的問題：

如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在他出生后的第三個月里，又能開始生一對小兔，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，50個月后會有多少對兔子？在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟

了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對小兔子。再過一個多月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：

時間（月）初生兔子（對）成熟兔子（對)兔子總數(shù)（對）22

有一些實驗的試驗點只能取整數(shù)，不可能是0.618的倍數(shù)，也有的實驗預(yù)先規(guī)定了實驗的總次數(shù)，這個時候運用分數(shù)法比0.618法更方便。這個數(shù)值稱為黃金分割比，它正好是方程式x2+x-1=0的一個根利用這個數(shù)列，建立起的分數(shù)實驗數(shù)據(jù)如表2所示分數(shù)法的具體使用例子1：卡那霉素發(fā)酵液生物測定，當培養(yǎng)溫度為37±1度時，培養(yǎng)時間在16小時以上，為縮短培養(yǎng)時間，決定優(yōu)選培養(yǎng)溫度，試驗范圍定在29<T≤50度，精確度要求±1度。由給出的條件可知，測量溫度應(yīng)以整數(shù)溫度為宜，因此用分數(shù)法安排實驗。中間試驗點共有20個，見圖3先選第1個試驗點13/21即42度處,第2個試驗點選在與第一個試驗點對稱的8/13試驗點即37度處，如第1個試驗點比第2個試驗點用時少，則去掉8號以下的溫度區(qū)間，然后在8號至21號新含優(yōu)區(qū)間內(nèi)找1點的對稱點為16號3點，經(jīng)比較1點培養(yǎng)時間比3點短，去掉16號以上的溫度區(qū)間，再找1點的對稱點位4點，經(jīng)過比較試驗，1點好于4點，把含優(yōu)區(qū)間縮小至11號至16號區(qū)間，再找到1號的對稱區(qū)間5號點，經(jīng)過試驗確定試驗溫度42-43度較好，只需要8-9小時培養(yǎng)時間。分數(shù)法的具體使用例子2：選擇一個電阻，調(diào)試電器設(shè)備的線路。調(diào)試著手里只有幾種阻值不等的電阻，阻值分別為0.5,1.0，1.3,2.0，3.0,5.0,5.5（千歐）等七種，要求優(yōu)選一個合適的電阻。首先把這些電阻由小到大順序排列并編號如下圖4。阻值(KΩ)0.51.01.32.03.05.05.5排列012345678為了使試驗點適于分數(shù)法的某一分數(shù)值，我們在該排列兩端增加虛點，（0）,（8），這樣第一個試驗點就可以選在（5）這個點了，第二個試驗點選在（5）的對稱點（3）這個點，如此下去就可以找到較好得點。問題1？如果是9個實驗數(shù)據(jù)咋辦？問題2？如果是19個實驗數(shù)據(jù)咋辦？1.1.4均分法、對分法、0.618法、分數(shù)法的精確度從一次試驗的結(jié)果就可以判斷效果的好壞并把存優(yōu)范圍縮小。如檢查導線何處斷路，管道何處堵塞或斷裂，蒸饅頭放多少堿既不酸又不黃都屬于這種情況。在這種情況下可采用對分法。

對分法每做一次試驗可以把存優(yōu)范圍縮短一半，n次試驗后范圍縮短為原來因素范圍的(0.5)n，比黃金分割法要快。但并不是所有的問題都能采用對分法。

有人證明了，在不能采用對分法的情況下，黃金分割法是最好的對分法：案例1查找輸電線路故障這種操作比較簡單，選試點的方法是單一的選取中點。這一類試驗問題的特點是有已知的試驗標準，且能根據(jù)一次試驗的結(jié)果確定下次試驗的選擇方向。均分法：均分法是把含優(yōu)區(qū)間均勻分成若干等分，并在每一份上進行試驗，同時對各分點的實驗結(jié)果進行比較，選出極限值。n均分法0.618法分數(shù)法平分法Ln=n+1Ln=1/(0.618)nLn=Fn+1Ln=2n121.61822894755256141584398716384202115127177111048576四種方法的搜索精度對比，可見均分法搜索效率最低，平分法(對分法）最高1.2分批試驗法前面1.1介紹的幾種優(yōu)選法都屬于序貫試驗法，是根據(jù)前面的試驗結(jié)果再安排后面的試驗，其優(yōu)點是總試驗次數(shù)很少。但是，在有些情況下做完一個試驗要較長時間才能得到試驗結(jié)果，這樣采用序貫試驗法要很長時間才能最終完成試驗。另外，在有些試驗中，做一個實驗的費用和做幾個試驗的費用相差無幾，此時我們也希望同時做幾個試驗以節(jié)省費用。有時為了提高試驗結(jié)果的可比性，也要求在同一條件下同時完成若干個試驗。在上述這些情況下，就要采用分批試驗法。分批試驗法可分為均分分批試驗法和比例分割分批試驗法兩種。1.2.1均分分批試驗法

分批試驗法就是每批試驗均勻地安排在試驗范圍內(nèi)。例如，每批做四個試驗，我們可以將試驗范圍均勻地分為五份，在其四個分點想x1,x2,x3,x4處做四個試驗。然后同時比較四個試驗結(jié)果，如果x3好，則去掉小于x2和大于x4的部分。然后在留下的x2–x4范圍內(nèi)再均分六等分，在未做過試驗的四個分點上再做四個試驗，這樣進行下去，就可獲得最佳點。用這個方法第一批試驗后范圍縮小為2/5，以后每批試驗后都縮小為前次范圍的1/3。見圖。

圖每批做四個試驗的均分分批法示意圖

對于一批做偶數(shù)個試驗的情況，均可仿照上述方法安排試驗。假設(shè)做2n個試驗（n為任意整數(shù)），則可將試驗范圍均分為2n+1份，在2n個分點x1,x2,…,x2n上做2n個試驗，如果xi最好，則保留（xi-1-xi+1）部分作為新的試驗范圍，將其均分為2n+2份，在未做過試驗的2n個分點上在做試驗，這樣繼續(xù)下去，就能找到最佳點。用這個方法，第一批試驗后范圍縮小為2/(2n+1)，以后每批試驗都是將2n個試驗點均勻地安排在前一批試驗好點的兩旁，試驗后范圍縮小為前批試驗范圍的1/(n+1)。1.2.2比例分割分批試驗法

這種方法是將試驗點按比例地安排在試驗范圍內(nèi)。當每批做偶數(shù)個試驗時，我們可采用