第15章 達(dá)朗伯原理

第十五章達(dá)朗伯原理

達(dá)朗伯原理剛體慣性力系的簡化

引言

前面介紹的動力學(xué)普遍定理，為解決質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了一種普遍的方法。達(dá)朗伯原理為解決非自由質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了另一種普遍的方法。這種方法的特點是：用靜力學(xué)研究平衡問題的方法來研究動力學(xué)的不平衡問題，因此這種方法又叫動靜法。由于靜力學(xué)研究平衡問題的方法比較簡單，也容易掌握，因此動靜法在工程中被廣泛使用。15.1達(dá)朗伯原理

一、質(zhì)點的達(dá)朗伯原理

設(shè)質(zhì)量為的質(zhì)點M，沿圖示軌跡運動，在某瞬時作用于質(zhì)點M上的主動力為，約束反力為，其加速度為。

根據(jù)動力學(xué)基本方程有將上式改寫成令于是，假想是一個力，稱之為質(zhì)點的慣性力。的大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與其加速度大小的乘積，方向與其加速度的方向相反。則有即：在質(zhì)點運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點上的主動力、約束反力和假想加在質(zhì)點上的慣性力構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點的達(dá)朗伯原理。15.1達(dá)朗伯原理

例1

球磨機的滾筒以勻角速度繞水平軸O轉(zhuǎn)動，內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料，鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料，如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為，試求鋼球的脫離角。

解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球為研究對象，受力如圖。

鋼球未脫離筒壁前，作圓周運動，其加速度為慣性力的大小為

假想地加上慣性力，由達(dá)朗伯原理15.1達(dá)朗伯原理

例1解得：

這就是鋼球在任一位置時所受的法向反力，顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時，，由此可求出其脫離角為15.1達(dá)朗伯原理

二、質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理

設(shè)非自由質(zhì)點系由個質(zhì)點組成，其中第個質(zhì)點的質(zhì)量為，其加速度為，作用在此質(zhì)點上的外力的合力為，內(nèi)力的合力為。在該質(zhì)點上假想地加上慣性力，則由質(zhì)點的達(dá)朗伯原理，有

對整個質(zhì)點系來講，有個這樣的力系，將這些力系疊加，將構(gòu)成一個任意力系，此任意力系亦為平衡力系。由靜力學(xué)知，任意力系的平衡條件是力系的主矢和對任意點O的主矩分別等于零，即15.1達(dá)朗伯原理

二、質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理

因為質(zhì)點系的內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，并且彼此等值反向，因此有和；而剩下的外力系又可分為作用在質(zhì)點系上的主動力系和外約束反力系。設(shè)、分別為作用在第個質(zhì)點上的主動力的合力和外約束反力的合力，于是的得即：在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于質(zhì)點系上的所有主動力系，約束反力系和假想地加在質(zhì)點系上的慣性力系構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理。15.1達(dá)朗伯原理

例2

重P長的等截面均質(zhì)細(xì)桿AB，其A端鉸接于鉛直軸AC上，并以勻角速度繞該軸轉(zhuǎn)動，如圖。求角速度與角的關(guān)系。

解：以桿AB為研究對象，受力如圖。

桿AB勻速轉(zhuǎn)動，桿上距A點的微元段的加速度的大小為

微元段的質(zhì)量。在該微元段虛加慣性力，的大小為15.1達(dá)朗伯原理

例2

于是整個桿的慣性力的合力的大小為

設(shè)力的作用點到點A的距離為，由合力矩定理，有即

假想地加上慣性力，由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理15.1達(dá)朗伯原理

例2代入的數(shù)值，有故有或15.2剛體慣性力系的簡化

下面用靜力學(xué)力系簡化理論研究剛體運動時慣性力系的簡化結(jié)果。

首先研究慣性力系的主矢。設(shè)剛體內(nèi)任一質(zhì)點的質(zhì)量為，加速度為，剛體的質(zhì)量為M，質(zhì)心的加速度為，則慣性力系的主矢為由質(zhì)心的矢徑表達(dá)式知，將其兩邊對時間求兩階導(dǎo)數(shù)，有于是有此式表明：無論剛體作什么運動，慣性力系的主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反。15.2剛體慣性力系的簡化

對于慣性力系的主矩，一般來說，除與剛體運動形式有關(guān)外，還與簡化中心的位置有關(guān)。下面就剛體平動、定軸轉(zhuǎn)動和平面運動討論慣性力系的簡化結(jié)果。

一、剛體作平動

如圖所示，將慣性力系向剛體的質(zhì)心C簡化，慣性力系的主矩為式中，是質(zhì)心C的矢徑，由于C為簡化中心，顯然，于是有綜上可得結(jié)論：平動剛體的慣性力系，可以簡化為一個通過質(zhì)心的合力，合力的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反。15.2剛體慣性力系的簡化

二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動

如圖所示，具有質(zhì)量對稱面且繞垂直于質(zhì)量對稱面的軸轉(zhuǎn)動的剛體。其上任一點的慣性力的分量的大小為方向如圖所示。該慣性力系對轉(zhuǎn)軸O的主矩為由于通過O點，則有，所以故15.2剛體慣性力系的簡化

綜上可得結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系，可以簡化為通過轉(zhuǎn)軸O的一個慣性力和一個慣性力偶。力的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反；力偶的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。

現(xiàn)在討論以下三種特殊情況：

2、當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動時，，若轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)心，慣性力系簡化為一慣性力，且，同時力的作用線通過轉(zhuǎn)軸O。

1、當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時，，，。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。

3、當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時，，，慣性力系自成平衡力系。

15.2剛體慣性力系的簡化

三、剛體作平面運動

如圖所示，設(shè)剛體作平面運動，取質(zhì)心C為基點，這時可將剛體的作平面運動分解為隨同質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。將隨同質(zhì)心平動部分的慣性力系向質(zhì)心C簡化，得將繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動部分的慣性力系向質(zhì)心C簡化，注意到轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，得

將以上兩式合并，即為剛體作平面運動時，慣性力系向質(zhì)心C簡化的結(jié)果15.2剛體慣性力系的簡化綜上可得結(jié)論：平面運動剛體的慣性力系，可以簡化為通過質(zhì)心C的一個慣性力和一個慣性力偶。力的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反；力偶的矩等于剛體對過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。

在用達(dá)朗伯原理求解剛體動力學(xué)問題時，應(yīng)首先分析剛體的運動形式，正確虛加慣性力和慣性力偶，然后再列平衡方程求解。15.2剛體慣性力系的簡化

例3

如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量，長，A點以鉸鏈連接于小車上。不計摩擦，當(dāng)小車以加速度向左運動時，求D處和鉸A處的約束反力。

解：以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

桿作平動，慣性力的大小為。

假想地加上慣性力，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理于是得15.2剛體慣性力系的簡化

例3代入數(shù)據(jù)，解之得：15.2剛體慣性力系的簡化

例4

均質(zhì)懸臂梁AB長l，重W，B端與重G、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶，借助于細(xì)繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。

解：先以輪和重物為研究對象，受力如圖。

輪的慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化，則

物體C的慣性力的大小為方向如圖所示。

假想地加上慣性力，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理15.2剛體慣性力系的簡化

例4

將，代入，解之得

再以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

假想地加上慣性力，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理15.2剛體慣性力系的簡化

例4

將，及代入，解得15.2剛體慣性力系的簡化

例5

質(zhì)量為，長為的均質(zhì)直桿AB的一端A焊接于半徑為的圓盤邊緣上，如圖。今圓盤以角加速度繞其中心O轉(zhuǎn)動。求圓盤開始轉(zhuǎn)動時，AB桿上焊接點A處的約束反力。

解：以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

桿AB作定軸轉(zhuǎn)動，在開始轉(zhuǎn)動的瞬時，質(zhì)心的加速度為

將慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化，慣性力的大小為15.2剛體慣性力系的簡化

例5

慣性力偶的矩為方向如圖所示。

假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理15.2剛體慣性力系的簡化

例5由幾何關(guān)系將已知數(shù)值代入以上三式，解之得15.2剛體慣性力系的簡化

例6

重P、半徑為r的均質(zhì)圓輪沿傾角為的斜面向下滾動。求輪心C的加速度，并求圓輪不滑動的最小摩擦系數(shù)。

解：以圓輪為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

圓輪作平面運動，輪心作直線運動，則

將慣性力系向質(zhì)心簡化，慣性力和慣性力偶矩的大小為方向如圖所示。15.2剛體慣性力系的簡化

例6

假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理得解之得

由于圓輪沒有滑動，則，即由此得所以，圓輪不滑動時，最小摩擦系數(shù)15.2剛體慣性力系的簡化

例7

均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為2l，一端放在光滑地面上，并用兩軟繩支持，如圖所示。求當(dāng)BD繩切斷的瞬時，B點的加速度AE繩的拉力及地面的反力。

解：以AB桿為研究對象，在BD繩切斷的瞬時，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

桿AB作平面運動，如圖，以B點為基點，則C點的加速度為其中

將慣性力系向質(zhì)心C簡化，得一慣性力，其中，和一慣性力偶，其力偶的矩為15.2剛體慣性力系的簡化

例7方向如圖所示。

假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理即（2）即（1）即（3）15.2剛體慣性力系的簡化

例7

以B為基點，則A點的加速度為其中

將上式投影到本軸上得即（4）聯(lián)立求解（1）——（4）式，得15.2剛體慣性力系的簡化

例8

如圖所示，均質(zhì)桿AB長為l，重為Q，上端B靠在半徑為R的光滑圓弧上（R=l），下端A以鉸鏈和均質(zhì)圓輪中心A相連，圓輪重P，半徑為r，放在粗糙的地面上，由靜止開始滾動而不滑動。若運動開始瞬時桿與水平線所成夾角，求此瞬時A點的加速度。

解：設(shè)系統(tǒng)運動的初瞬時，圓輪中心的加速度為，角加速度為；AB桿的角加速度為，質(zhì)心C的加速度為、。如圖。

輪和桿均作平面運動，將慣性力系分別向質(zhì)心簡化，則慣性力和慣性力偶的矩的大小分別為15.2剛體慣性力系的簡化

例8

先以整體為研究對象，受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理(1)15.2剛體慣性力系的簡化

例8

再以AB為研究對象，受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點系的達(dá)朗伯原理（2）

AB桿作平面運動，先以B點為基點，則A點的加速度為其中其加速度合成矢量圖如圖所示。

將其投影于軸，得（3）15.2剛體慣性力系的簡化

例8

再以A為基點，則C