北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)綜合題

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)綜合題（含答案）第一章、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB＝AO，求∠ABD的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO.∵AB＝AO，∴AO＝BO＝AB.∴△ABO是等邊三角形，∴∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，即∠ABD＝60°.14．如圖，已知矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求證：BE＝CF.證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AC＝BD，則BO＝CO.∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∠BOE＝∠COF，∴△BEO≌△CFO.∴BE＝CF.15．如圖，正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CE＝CF.求證：△BCE≌△DCF.證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°.在△BCE與△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DC，,∠BCE＝∠DCF，,CE＝CF，))∴△BCE≌△DCF.16．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中點(diǎn)，EF平分∠BED，求證：EF⊥BD.證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴△ABC和△ADC都是直角三角形，且有公共斜邊AC.又∵E是公共斜邊AC的中點(diǎn)，∴BE＝DE＝eq\f(1,2)AC.又∵EF平分∠BED，∴EF⊥BD.17．如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：DF＝BE.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠CDF.∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠CFD＝∠CEB＝90°，在△CEB和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEB＝∠CFD，,∠CBE＝∠CDF，,CB＝CD，))∴△CEB≌△CFD(AAS)，∴DF＝BE.四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18．(荊州中考)如圖，在矩形ABCD中，連接對(duì)角線(xiàn)AC，BD，將△ABC沿BC方向平移，使點(diǎn)B移到點(diǎn)C，得到△DCE.(1)求證：△ACD≌△EDC；(2)請(qǐng)?zhí)骄俊鰾DE的形狀，并說(shuō)明理由．(1)證明：∵△DCE是由△ABC平移而得到的，∴△DCE≌△ABC.∵△ACD≌△CAB，∴△ACD≌△EDC；(2)解：△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝DE，AC＝DB，∴DE＝DB，∴△BDE是等腰三角形．19．如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF與BC相交于點(diǎn)G.(1)求證：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的度數(shù)．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°.∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.在△AEB和△CFB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBF，,BE＝BF，))∴△AEB≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.(2)解：∠EGC＝80°.20．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足為點(diǎn)O.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2eq\r(5)，求四邊形ABCD的面積．(1)證明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD.又∵AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝DO(等腰三角形“三線(xiàn)合一”)．在△AOD和△COB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOD＝∠COB，,OB＝OD，,∠ADO＝∠CBO.))∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝CO.又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(5).在Rt△CDO中，OC＝eq\r(CD2－OD2)＝eq\r(32－（\r(5)）2)＝2，∴AC＝4.∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(5)＝4eq\r(5).五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線(xiàn)AC上(點(diǎn)E在F左側(cè))，BE∥DF.(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝2eq\r(13)，當(dāng)四邊形BEDF為矩形時(shí)，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．(1)證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD.由BE∥DF得∠BEO＝∠DFO.又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO.∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．(2)解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝2eq\r(13)，∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO中，BO＝5.又∵四邊形BEDF是矩形，∴OE＝OB＝5，∴點(diǎn)E在OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AE＝2.22．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線(xiàn)BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連接AG.(1)寫(xiě)出線(xiàn)段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠AGF＝105°，求線(xiàn)段BG的長(zhǎng)．解：(1)關(guān)系：AG2＝GE2＋GF2.理由：連接CG.∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)A，C關(guān)于對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，∵點(diǎn)G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四邊形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2；(2)作AM⊥BG于M，依題意知：∠AGM＝60°，∠GAM＝30°.設(shè)GM＝x，則AM＝BM＝eq\r(3)x.在Rt△ABM中，∵AM2＋BM2＝AB2，∴(eq\r(3)x)2＋(eq\r(3)x)2＝1，∴x＝eq\f(\r(6),6)，∴BG＝x＋eq\r(3)x＝eq\f(\r(6),6)＋eq\r(3)×eq\f(\r(6),6)＝eq\f(\r(6)＋3\r(2),6).六、(本大題共12分)23．如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使AE＝AC；延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使BF＝BC.連接AD，AF，DF，EF.延長(zhǎng)DB交EF于點(diǎn)N.(1)求證：AD＝AF；(2)求證：BD＝EF；(3)試判斷四邊形ABNE的形狀，并說(shuō)明理由．(1)證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD.在△ABF和△ACD中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.(2)證明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°.∴∠EAF＝∠BAD.∵AB＝AC，AC＝AE，∴AB＝AE.在△AEF和△ABD中，AE＝AB，∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，∴△AEF≌△ABD.∴BD＝EF.(3)解：四邊形ABNE是正方形．理由：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABN＝90°.由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∴四邊形ABNE是矩形．又∵AE＝AB，∴矩形ABNE是正方形．第二章、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13．解方程：(1)(2017·蘭州)2x2－4x－1＝0；解：原方程可化為(x－1)2＝eq\f(3,2)，∴x1＝1＋eq\f(\r(6),2)，x2＝1－eq\f(\r(6),2)；(2)(山西中考)2(x－3)2＝x2－9.解：2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)(2x－6－x－3)＝0，(x－3)(x－9)＝0，x－3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9.14．定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運(yùn)算，例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根據(jù)以上知識(shí)解決問(wèn)題：若2☆a的值小于0，請(qǐng)判斷方程2x2－bx＋a＝0的根的情況．解：∵2☆a的值小于0，∴22a＋a＝5a＜0，解得a＜0.在方程2x2－bx＋a＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a＞0，∴方程2x2－bx＋a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．15.已知關(guān)于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.(1)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．解：(1)依題意有Δ＝22－4(a－2)＞0，解得a＜3；(2)依題意得1＋2＋a－2＝0，解得a＝－1，∴原方程為x2＋2x－3＝0.∴x＝eq\f(－2±\r(4－4×1×（－3）),2×1)＝eq\f(－2±\r(16),2)，即x1＝1，x2＝－3，∴a＝－1，方程的另一根為－3.16．一個(gè)直角三角形的斜邊為4eq\r(5)cm，兩條直角邊的長(zhǎng)相差4cm，求這個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)．解：設(shè)其中一條較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為xcm，則另一條直角邊長(zhǎng)為(x－4)cm.根據(jù)題意，得x2＋(x－4)2＝(4eq\r(5))2，解得x1＝－4(舍去)，x2＝8.∴x－4＝4.∴兩條直角邊的長(zhǎng)分別為4cm，8cm.17．某商場(chǎng)今年2月份的營(yíng)業(yè)額為400萬(wàn)元，3月份的營(yíng)業(yè)額比2月份增加10%，5月份的營(yíng)業(yè)額達(dá)到633.6萬(wàn)元，求3月份到5月份的營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率．解：3月份到5月份月增長(zhǎng)是經(jīng)過(guò)2次增長(zhǎng)，平均月增長(zhǎng)率是每次增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同．設(shè)平均月增長(zhǎng)率為x，則5月份的營(yíng)業(yè)額是：3月份的營(yíng)業(yè)額×(1＋x)2，因此，應(yīng)先求3月份的營(yíng)業(yè)額．顯然，3月份的營(yíng)業(yè)額是2月份的營(yíng)業(yè)額×(1＋10%)＝400(1＋10%)＝440，故依題意，得440(1＋x)2＝633.6，(1＋x)2＝1.44，兩邊直接開(kāi)平方，得1＋x＝±1.2，所以x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合題意，舍去)．故3月份到5月份的營(yíng)業(yè)額的月平均增長(zhǎng)率為20%.四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18．某玩具廠(chǎng)生產(chǎn)一種玩具，按照控制固定成本降價(jià)促銷(xiāo)的原則，使生產(chǎn)的玩具能夠及時(shí)售出，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每個(gè)玩具按480元銷(xiāo)售時(shí)，每天可銷(xiāo)售160個(gè)；若銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元，每天可多售出2個(gè)．已知每個(gè)玩具的固定成本為360元，問(wèn)這種玩具的銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，廠(chǎng)家每天可獲利潤(rùn)20000元？解：設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x，則：(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000，∴x2－920x＋211600＝0，解得x1＝x2＝460.答：這種玩具的銷(xiāo)售單價(jià)為460元時(shí)，廠(chǎng)家每天可獲利潤(rùn)20000元．19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿(mǎn)足xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝31＋|x1x2|，求實(shí)數(shù)m的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝[－(2m＋3)]2－4(m2＋2)＝12m＋1，∵方程有實(shí)數(shù)根，∴12m＋1≥0，解得m≥－eq\f(1,12).(2)∵x1，x2是方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2＞0.∵xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝31＋x1x2，∴(x1＋2)2－2x1x2＝31＋x1x2，∴(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，∴m2＋12m－28＝0，解得m1＝2，m2＝－14.∵m≥－eq\f(1,12)，∴m＝2.20.中秋節(jié)前夕，旺客隆超市采購(gòu)了一批土特產(chǎn)，根據(jù)以往銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天的售價(jià)與銷(xiāo)售量之間有如下表的關(guān)系：每天的售價(jià)(元/kg)38373635…20每天的銷(xiāo)售量(kg)50525456…86設(shè)當(dāng)每天的售價(jià)從38元/kg下調(diào)到x元/kg時(shí)，銷(xiāo)售量為ykg.已知y是x的一次函數(shù)．(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果這種土特產(chǎn)的成本價(jià)是20元/kg，為使某一天的利潤(rùn)為780元，那么這一天的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)為多少元？(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售總金額－成本)解：(1)∵y與x是一次函數(shù)關(guān)系．∴設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx＋b(k≠0)．根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝86，,35k＋b＝56，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝126.))所以，所求的函數(shù)表達(dá)式是y＝－2x＋126.(2)設(shè)這一天的銷(xiāo)售價(jià)為x元/kg,根據(jù)題意，得(x－20)(－2x＋126)＝780.整理，得x2－83x＋1650＝0，解得x1＝33，x2＝50.答：這一天的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)為33元/kg或50元/kg.五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21．已知關(guān)于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)．(1)如果x＝－1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x＝－1是方程的根，∴將x＝－1代入得(a＋c)×(－1)2－2b＋a－c＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．22．某單位于“三·八”婦女節(jié)期間組織女職工到溫泉“星星竹?！庇^(guān)光旅游．下面是領(lǐng)隊(duì)與旅行社導(dǎo)游收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的一段對(duì)話(huà)：領(lǐng)隊(duì)：組團(tuán)去“星星竹海”旅游每人收費(fèi)是多少？導(dǎo)游：如果人數(shù)不超過(guò)25人，人均旅游費(fèi)用為100元．領(lǐng)隊(duì)：超過(guò)25人怎樣優(yōu)惠呢？導(dǎo)游：如果超過(guò)25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低2元，但人均旅游費(fèi)用不得低于70元．該單位按旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)組團(tuán)瀏覽“星星竹?！苯Y(jié)束后，共支付給旅行社2700元．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求該單位這次到“星星竹?！庇^(guān)光旅游的共有多少人？解：設(shè)該單位這次參加旅游的共有x人，∵100×25＜2700，∴x＞25.依題意，得[100－2(x－25)]x＝2700，整理，得x2－75x＋1350＝0.解得x1＝30，x2＝45.當(dāng)x＝30時(shí)，100－2(x－25)＝90＞70，符合題意．當(dāng)x＝45時(shí)，100－2(x－25)＝60＜70，不符合題意，舍去．∴x＝30.答：該單位這次參加旅游的共有30人．六、(本大題共12分)23．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)．如果P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)：(1)經(jīng)過(guò)幾秒后△PBQ的面積等于4cm2?(2)當(dāng)△PBQ的面積等于4cm2時(shí)，△PBQ是什么形狀的三角形？解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB.∴S△PBQ＝eq\f(1,2)·PB·QE.設(shè)經(jīng)過(guò)ts后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝6－t，QB＝2t，QE＝t.根據(jù)題意，eq\f(1,2)·(6－t)·t＝4.t2－6t＋8＝0，t1＝2，t2＝4.當(dāng)t＝4時(shí)，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，所以t＝2.答：經(jīng)過(guò)2s后△PBQ的面積等于4cm2.(2)∵△PBQ的面積等于4cm2時(shí)，t＝2，∴PB＝6－t＝6－2＝4，QB＝2t＝4，∴QB＝PB，∴△PBQ是等腰三角形．三、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13．從3名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2017年南京青奧會(huì)志愿者．求下列事件的概率：(1)抽取1名，恰好是女生；(2)抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．解：(1)抽取1名，恰好是女生的概率是eq\f(2,5)；(2)分別用男1、男2、男3、女1、女2表示這五位同學(xué)，從中任意抽取2名，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(男1，男2)，(男1，男3)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男2，男3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男3，女1)，(男3，女2)，(女1，女2)，共10種，它們出現(xiàn)的可能性相同，所有結(jié)果中，滿(mǎn)足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生(記為事件A)的結(jié)果共6種，所以P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).14．從－2，1，3這三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)寫(xiě)出該點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)；(2)求該點(diǎn)在第一象限的概率．解：(1)列表如下：∴該點(diǎn)可能的坐標(biāo)為(－2，1)，(－2，3)，(1，－2)，(1，3)，(3，－2)，(3，1)．(2)由(1)可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中點(diǎn)在第一象限的結(jié)果有2種，∴該點(diǎn)在第一象限的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).15．兒童節(jié)期間，某公園游戲場(chǎng)舉行一場(chǎng)活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則是：在一個(gè)裝有8個(gè)紅球和若干個(gè)白球(每個(gè)球除顏色外，其他都相同)的袋中，隨機(jī)摸一個(gè)球，如果是紅球就得到一個(gè)世博會(huì)吉祥物海寶玩具．已知參加這種游戲的兒童有40000人，公園游戲場(chǎng)發(fā)放海寶玩具8000個(gè)．(每人只參加一次)(1)求參加此次活動(dòng)得到海寶玩具的頻率；(2)請(qǐng)你估計(jì)袋中白球的數(shù)量接近多少？解：(1)參加此次活動(dòng)得到海寶玩具的頻率為eq\f(8000,40000)＝eq\f(1,5).(2)設(shè)袋中共有x個(gè)球，則摸到紅球的概率P(摸到紅球)＝eq\f(8,x).∴eq\f(8,x)＝eq\f(1,5)，解得x＝40，∴白球接近40－8＝32個(gè)．16．某人的錢(qián)包內(nèi)有10元、20元和50元的紙幣各1張．從中隨機(jī)取出2張紙幣．(1)求取出紙幣的總額是30元的概率；(2)求取出紙幣的總額可購(gòu)買(mǎi)一件51元的商品的概率．解：某人從錢(qián)包內(nèi)隨機(jī)取出2張紙幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有3種，即(10，20)，(10，50)，(20，50)，并且它們出現(xiàn)的可能性相等．(1)取出紙幣的總額是30元(記為事件A)的結(jié)果有1種，即(10，20)，∴P(A)＝eq\f(1,3).(2)取出紙幣的總額可購(gòu)買(mǎi)一件51元的商品(記為事件B)的結(jié)果有2種，即(10，50)，(20，50)，∴P(B)＝eq\f(2,3).17．近幾年“密室逃脫俱樂(lè)部”風(fēng)靡全球．下圖是俱樂(lè)部的通路俯視圖，小明進(jìn)入入口后，任選一條通道．(1)他進(jìn)A密室或B密室的可能性哪個(gè)大？請(qǐng)說(shuō)明理由(利用樹(shù)狀圖或列表來(lái)求解)；(2)求小明從中間通道進(jìn)入A密室的概率．解：(1)畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：∴由圖可知，小明進(jìn)入游戲區(qū)后一共有6種不同的可能路線(xiàn)．∵小明是任選一條道路，∴走各種路線(xiàn)的可能性認(rèn)為是相等的，而其中進(jìn)入A密室有2種可能，進(jìn)入B密室有4種可能，∴進(jìn)入B密室可能性較大；(2)由(1)可知小明從中間通道進(jìn)入A密室的概率為eq\f(1,6).四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18．如圖所示，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)被3等分，指針落在每個(gè)扇形內(nèi)的機(jī)會(huì)均等．(1)現(xiàn)隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，停止后，指針指向2的概率為eq\f(1,3).(2)小明和小華利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲，若隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字，若兩數(shù)之積為偶數(shù)，則小明勝；否則小華勝．你認(rèn)為游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？如果不公平，請(qǐng)你修改游戲規(guī)則，使游戲公平．解：(1)eq\f(1,3).(2)列表得，第一次第二次1231(1，1)(2，1)(3，1)2(1，2)(2，2)(3，2)3(1，3)(2，3)(3，3)共有9種等可能的結(jié)果，其中，兩數(shù)之積為偶數(shù)的有5種，兩數(shù)之積為奇數(shù)的有4種，∴P(小明獲勝)＝eq\f(5,9)，P(小華獲勝)＝eq\f(4,9)，∵eq\f(5,9)＞eq\f(4,9)，∴該游戲不公平．修改規(guī)則：若積為2(或2的倍數(shù))小明勝，若積為3(或3的倍數(shù))小華勝等，若積為1或2和3的公倍數(shù)，則為平局．19．在“植樹(shù)節(jié)”期間，小王、小李兩人想通過(guò)摸球的方式來(lái)決定誰(shuí)去參加學(xué)校植樹(shù)活動(dòng)，規(guī)則如下：在兩個(gè)盒子內(nèi)分別裝入標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四個(gè)和標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三個(gè)完全相同的小球，分別從兩個(gè)盒子中各摸出一個(gè)球，如果所摸出的球上數(shù)字之和小于6，那么小王去，否則就是小李去．(1)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出小王去的概率；(2)小李說(shuō)：“這種規(guī)則不公平”，你認(rèn)同他的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)畫(huà)樹(shù)狀圖：由上圖可知，一共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出的球上的數(shù)字之和小于6的結(jié)果有9種，∴P(小王去)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)；(2)我認(rèn)同小李的說(shuō)法，理由如下：∵P(小王去)＝eq\f(3,4)，P(小李去)＝eq\f(1,4)，eq\f(3,4)≠eq\f(1,4)，∴這種規(guī)則不公平．20．如圖，在方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及D，E，F(xiàn)，G，H五個(gè)點(diǎn)分別位于小正方形的頂點(diǎn)上．(1)現(xiàn)以D，E，F(xiàn)，G，H中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，在所畫(huà)的三角形中與△ABC不全等但面積相等的三角形是__△DFG(或△DHF)__．(只需要填一個(gè)三角形)(2)先從D，E兩個(gè)點(diǎn)中任意取一個(gè)點(diǎn)，再?gòu)腇，G，H三個(gè)點(diǎn)中任意取兩個(gè)不同的點(diǎn)，以所取的這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，求所畫(huà)三角形與△ABC面積相等的概率(用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求解)．解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖.由樹(shù)狀圖可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中與△ABC面積相等的有3種，即△DHF，△DGF，△EGF，∴所畫(huà)三角形與△ABC面積相等的概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21．一個(gè)不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中紅球有1個(gè)，若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，這個(gè)球是白球的概率為eq\f(2,3).(1)求袋子中白球的個(gè)數(shù)(請(qǐng)通過(guò)列式或列方程解答)；(2)隨機(jī)摸出一個(gè)球后，放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率(請(qǐng)結(jié)合樹(shù)狀圖或列表解答)．解：(1)設(shè)袋子中白球有x個(gè)，根據(jù)題意得eq\f(x,x＋1)＝eq\f(2,3)，解得x＝2，經(jīng)驗(yàn)證，x＝2是原分式方程的解，∴袋子中白球有2個(gè)；(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到相同顏色的小球有5種情況，∴兩次都摸到相同顏色的小球的概率為eq\f(5,9).22.4件同型號(hào)的產(chǎn)品中，有1件不合格品和3件合格品．(1)從這4件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè)，求抽到的是不合格品的概率；(2)從這4件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行檢測(cè)，求抽到的都是合格品的概率；(3)在這4件產(chǎn)品中加入x件合格品后，進(jìn)行如下試驗(yàn)：隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè)，然后放回，多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95，則可以推算出x的值大約是多少？解：(1)P(不合格品)＝eq\f(1,1＋3)＝eq\f(1,4).(2)設(shè)1件不合格品為A，3件合格品分別為B1，B2，B3.任意抽取2件產(chǎn)品，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共有6種，它們出現(xiàn)的可能性相同．所有的結(jié)果中，滿(mǎn)足抽取2件，都是合格品的結(jié)果有3種．∴P(都是合格品)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(3)∵抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95，∴抽到合格品的概率為0.95.根據(jù)題意得eq\f(3＋x,1＋3＋x)＝0.95，解這個(gè)方程得x＝16.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝16是原方程的解且符合題意．答：可以推算x的值大約是16.六、(本大題共12分)23．為了解某校落實(shí)新課改精神的情況，現(xiàn)以該校九年級(jí)二班的同學(xué)參加課外活動(dòng)的情況為樣本，對(duì)其參加“球類(lèi)”“繪畫(huà)類(lèi)”“舞蹈類(lèi)”“音樂(lè)類(lèi)”“棋類(lèi)”活動(dòng)的情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．(1)參加音樂(lè)類(lèi)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_7__人，參加球類(lèi)活動(dòng)的人數(shù)的百分比為_(kāi)_30%__；(2)請(qǐng)把圖②(條形統(tǒng)計(jì)圖)補(bǔ)充完整；(3)該校學(xué)生共600人，則參加棋類(lèi)活動(dòng)的人數(shù)約為_(kāi)_105__；(4)該班參加舞蹈類(lèi)活動(dòng)的4位同學(xué)中，有1位男生(用E表示)和3位女生(分別用F，G，H表示)，現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取2名同學(xué)組成舞伴，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求恰好選中一男一女的概率．解：(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖略．(4)畫(huà)樹(shù)狀圖：由圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的2人恰好是一男一女的情況有6種，所以選出的2人恰好是一男一女的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).第三章、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13．已知a，b，c是△ABC的三邊，eq\f(a＋4,3)＝eq\f(b＋3,2)＝eq\f(c＋8,4)，且a＋b＋c＝12，試判斷△ABC的形狀．解：設(shè)eq\f(a＋4,3)＝eq\f(b＋3,2)＝eq\f(c＋8,4)＝k(k≠0)，則a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，∵a＋b＋c＝12，∴3k－4＋2k－3＋4k－8＝12，解得k＝3.∴a＝3k－4＝5，b＝2k－3＝3，c＝4k－8＝4.∵b2＋c2＝9＋16＝25，a2＝25，∴△ABC為直角三角形．14.如圖，AB＝25，BC＝40，AC＝20，AE＝12，AD＝15，DE＝24.(1)判斷△ABC與△AED是否相似；(2)若∠BAC＝100°，∠EAC＝70°，求∠CAD的度數(shù)．解：(1)∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(5,3)，eq\f(BC,DE)＝eq\f(5,3)，eq\f(AC,AE)＝eq\f(5,3)，∴△ABC∽△ADE.(2)∵△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝100°.又∵∠EAC＝70°，∴∠CAD＝30°.15．如圖，已知直線(xiàn)l1，l2，l3分別交直線(xiàn)l4于點(diǎn)A，B，C，交直線(xiàn)l5于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且l1∥l2∥l3.(1)若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)；(2)若DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(1,2)EF＝6；(2)∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，∴BC＝eq\f(3,2)AB＝eq\f(3,2)×6＝9，∴AC＝AB＋BC＝6＋9＝15.16．已知兩個(gè)相似多邊形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)分別是15cm和12cm.(1)若它們的周長(zhǎng)相差24cm，求這兩個(gè)多邊形的周長(zhǎng)；(2)若它們的面積差270cm2，求這兩個(gè)多邊形的面積．解：(1)設(shè)較小多邊形的周長(zhǎng)為xcm，則較大多邊形的周長(zhǎng)為(x＋24)cm，由題意得eq\f(x＋24,x)＝eq\f(15,12)，解得x＝96，∴x＋24＝120.所以較小多邊形的周長(zhǎng)為96cm，較大多邊形的周長(zhǎng)為120cm；(2)設(shè)較小多邊形的面積為xcm2，則較大多邊形的面積為(x＋270)cm2，由題意得eq\f(x＋270,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,12)))eq\s\up12(2)，解得x＝480，∴x＋270＝750.所以較小多邊形的面積為480cm2，較大多邊形的面積為750cm2.17.下圖小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△A1B1C1是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫(huà)出位似中心O；(2)求△ABC與△A1B1C1的相似比．解：(1)如圖所示；(2)A1B1＝eq\r(13)，AB＝2eq\r(13)，則△ABC與△A1B1C1的相似比為2.四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18．已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)．求證：(1)△ADQ∽△QCP；(2)AQ⊥PQ.證明：(1)設(shè)PC＝a，Q是CD的中點(diǎn)．∵BP＝3PC，∴AD＝4a，QC＝DQ＝2a.∵eq\f(AD,QC)＝eq\f(4a,2a)＝2，eq\f(DQ,PC)＝eq\f(2a,a)＝2.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP；(2)∵△ADQ∽△QCP，∴∠1＝∠2，∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AQP＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－90°＝90°，∴AQ⊥PQ.19．如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4eq\r(2)，點(diǎn)P為線(xiàn)段BE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線(xiàn)段BE與CD相交于點(diǎn)F.(1)求證：eq\f(PC,CD)＝eq\f(CE,CB)；(2)連接BD，請(qǐng)你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．(1)證明：△BCE和△CDP均為等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴eq\f(PC,CD)＝eq\f(CE,CB).(2)解：AC∥BD，理由如下：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，又∵eq\f(PC,CD)＝eq\f(CE,CB)，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD.20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B.射線(xiàn)AG分別交線(xiàn)段DE，BC于點(diǎn)F，G，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG).(1)求證：△ADF∽△ACG；(2)若eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，求eq\f(AF,FG)的值．(1)證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C，又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG)，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AG)，又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AF,AG)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AF,FG)＝1.五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21．如圖所示，在高5m的房頂上A處望一幢樓的底部D，視線(xiàn)過(guò)小樹(shù)的頂端E，又從房底部B處望樓頂C，視線(xiàn)也正好過(guò)小樹(shù)頂端E，測(cè)得小樹(shù)的高度為4m，則你能算出樓CD的高嗎？把你的計(jì)算過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．解：由EF∥AB∥CD，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(EF,AB)＝\f(FD,BD)①，,\f(EF,DC)＝\f(BF,BD)②，))∴由①＋②，得eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,DC)＝eq\f(FD,BD)＋eq\f(BF,BD)＝1，∴eq\f(4,5)＋eq\f(4,DC)＝1，∴DC＝20m.22．如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，垂足為H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求證：(1)CG＝BH；(2)FC2＝BF·GF.證明：(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠BCG＝90°，∠BAH＋∠ABH＝90°，∴∠BAH＝∠CBG，∠ABH＝∠BCG，AB＝BC，∴△ABH≌△BCG，∴CG＝BH.(2)∵∠BFC＝∠CFG，∠BCF＝∠CGF＝90°，∴△CFG∽△BFC，∴eq\f(FC,BF)＝eq\f(GF,FC)，即FC2＝BF·GF.六、(本大題共12分)23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D為邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合)，過(guò)D作DO⊥AB，垂足為O，點(diǎn)B′在邊AB上，且與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)DO對(duì)稱(chēng)，連接DB′，AD.(1)求證：△DOB∽△ACB；(2)若AD平分∠CAB，求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)△AB′D為等腰三角形，求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)．(1)證明：∵DO⊥AB，∴∠DOB＝∠DOA＝90°，∴∠DOB＝∠ACB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△DOB∽△ACB.(2)解：∵∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC＝DO，在Rt△ACD和Rt△AOD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,DC＝DO，))∴Rt△ACD≌△Rt△AOD(HL)，∴AC＝AO＝6，設(shè)BD＝x，則DC＝DO＝8－x，OB＝AB－AO＝4，在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得DO2＋OB2＝BD2，即(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴BD的長(zhǎng)為5.(3)解：∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)DO對(duì)稱(chēng)，∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O，BD＝B′D，∵∠B為銳角，∴∠OB′D也為銳角，∴∠AB′D為鈍角，∴當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，AB′＝DB′，∵△DOB∽△ACB，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，設(shè)BD＝5x，則AB′＝DB′＝5x，BO＝B′O＝4x，∵AB′＋B′O＋BO＝AB，∴5x＋4x＋4x＝10，解得x＝eq\f(10,13)，∴BD＝eq\f(50,13).第四章、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13．畫(huà)出如圖所示物體的三視圖．解：如圖：14．如圖，這是一個(gè)由若干個(gè)同樣大小的小立方體搭成的幾何體從上面看到的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)你分別畫(huà)出這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖．解：如圖：15．根據(jù)下列物體的三視圖，指出該物體的形狀．解：①三棱柱；②四棱錐；③圓臺(tái)．16．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為多少？(單位：mm)解：V＝5×5×5－1×1×5＝120mm2.答：該幾何體的體積是120mm2.17．如圖是某幾何體的三視圖．(單位：cm)(1)寫(xiě)出這個(gè)幾何體的名稱(chēng)；(2)求出這個(gè)幾何體的表面積和體積．解：(1)圓柱；(2)表面積：π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)×2＋π×6×10＝78πcm2，體積：π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)×10＝90πcm3.四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18．(1)一木桿按如圖①所示的方式直立在地面上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出它在陽(yáng)光下的影子(用線(xiàn)段CD表示)；(2)圖②是兩根木桿及它們?cè)跓艄庀碌挠白樱?qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出光源的位置(用點(diǎn)P表示)，并在圖中畫(huà)出E處的人在此光源下的影子(用線(xiàn)段EF表示)．解：(1)如圖①，CD是木桿在陽(yáng)光下的影子；(2)如圖②，點(diǎn)P是光源的位置，EF就是人在光源P下的影子．19．如圖，在房子外的屋檐E處裝有一臺(tái)監(jiān)視器，房子前面有一面落地的廣告牌．(1)監(jiān)視器的盲區(qū)(視線(xiàn)看不到的地方叫盲區(qū))在哪一部分？(2)已知房子上的監(jiān)視器離地面高12m，廣告牌高6m，廣告牌距離房子5m，求盲區(qū)在地面上的長(zhǎng)度．解：(1)把墻看作如圖的線(xiàn)段，則圖中ABC所圍成的部分就是監(jiān)控不到的區(qū)域；(2)由題意結(jié)合圖形可得BC為盲區(qū)，設(shè)BC＝x，則CD＝x＋5，∴eq\f(x,x＋5)＝eq\f(6,12)，解得x＝5.答：盲區(qū)在地面上的長(zhǎng)度是5m.20.如圖，在一間黑屋子里用一盞白熾燈照一個(gè)球．(1)球在地面上的陰影是什么形狀？(2)當(dāng)球沿垂直方向下落時(shí)，陰影的大小會(huì)怎樣變化？(3)若白熾燈到球心的距離是1m，到地面的距離是3m，球的半徑是0.2m，求此時(shí)球在地面上留下的陰影的面積．解：(1)圓；(2)變??；(3)如圖①所示，所求陰影面積即為以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的⊙B的面積．抽象圖形如圖②所示．AO＝1m，AB＝3m，OD＝0.2m．由題意易知△AOD∽△ACB，∴eq\f(OD,BC)＝eq\f(AO,AC)，∴AC＝5BC.∵AC2＝BC2＋AB2，∴(5BC)2＝BC2＋9，解得BC2＝eq\f(3,8).∵⊙B的面積為π(BC)2.∴此時(shí)球在地面上留下的陰影的面積為eq\f(3,8)πm2.五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分)21．一圓柱形器皿在點(diǎn)光源P下的投影如圖所示，已知AD為該器皿底面圓的直徑，且AD＝3，CD為該器皿的高，CD＝4，CP′＝1，點(diǎn)D在點(diǎn)P下的投影剛好位于器皿底與器皿壁的交界處，即點(diǎn)B處，點(diǎn)A在點(diǎn)P下的投影為A′，求點(diǎn)A′到CD的距離．解：根據(jù)題意，知△APD∽△A′PB，△APE∽△A′PP′，△PDE∽△PBP′，∴eq\f(AD,A′B)＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(DE,BP′).又∵DE＝CP′＝1，AD＝BC＝3，將各線(xiàn)段長(zhǎng)度代入，得eq\f(3,A′B)＝eq\f(1,4)，解得A′B＝12，∴點(diǎn)A′到CD的距離為A′B＋BC＝12＋3＝15.22.如圖，S為一個(gè)點(diǎn)光源，照射在底面半徑和高都為2m的圓錐上，在地面上形成的影子為EB，且∠SBA＝30°.(以下計(jì)算結(jié)果都保留根號(hào))(1)求影子EB的長(zhǎng)；(2)若∠SAC＝60°，求光源S離地面的高度．解：(1)由已知CH＝HE＝2m，∠SBA＝30°，則BH＝2eq\r(3)m，BE＝BH－HE＝(2eq\r(3)－2)m;(2)作CD⊥SA，SF⊥AB，垂足分別為D，F(xiàn)，易知BC＝4，由CH＝AH＝2，則AC＝2eq\r(2)，在Rt△ACD中，∠SAC＝60°，則CD＝eq\r(6)，∠SAB＝60°＋45°＝105°，由∠SBA＝30°，則∠ASB＝45°，則SD＝CD＝eq\r(6)，∴SC＝eq\r(6＋6)＝2eq\r(3)m，SB＝(2eq\r(3)＋4)m.在Rt△SBF中，∠SBF＝30°，則SF＝eq\f(1,2)SB＝(eq\r(3)＋2)m.六、(本大題共12分)23．小明在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他行至P處時(shí)，發(fā)現(xiàn)他在路燈B下的影長(zhǎng)為2m，身后影子的頂部剛好在路燈A的底部；接著他又走了6.5m至Q處發(fā)現(xiàn)身前影子頂部剛好在路燈B的底部．(已知小明身高是1.8m，路燈B高9m)如圖所示．(1)標(biāo)出小明站在P處時(shí)在路燈B下的影子；(2)計(jì)算小明站在Q處時(shí)在路燈A下的影子的長(zhǎng)度；(3)計(jì)算路燈A的高度．解：(1)線(xiàn)段AP即為小明在路燈B下的影子．(2)如圖．∵EP⊥AB，DB⊥AB，∴∠EPA＝∠DBA＝90°.又∵∠EAP＝∠DAB，∴Rt△AEP∽R(shí)t△ADB，∴eq\f(EP,BD)＝eq\f(AP,AB).設(shè)小明在路燈A下的影長(zhǎng)QB為xm，則eq\f(1.8,9)＝eq\f(2,2＋6.5＋x)，解得x＝1.5m.(3)∵Rt△FQB∽R(shí)t△CAB，∴eq\f(FQ,CA)＝eq\f(QB,AB).設(shè)CA＝y(tǒng)m，則eq\f(1.8,y)＝eq\f(1.5,1.5＋6.5＋2)，∴y＝12.∴路燈A的高度為12m.第六章、(本大題共5小題，每小題6分，共30分)13．已知函數(shù)y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函數(shù)，求m的值．解：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2＋3m－3＝－1，,2m2＋m－1≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)或m＝－2，,m≠\f(1,2)且m≠－1，))∴m＝－2.14．已知函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，4)．(1)求k的值，并在下面的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象；(2)當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)的值小于0?解：(1)把(－3，4)代入y＝eq\f(k,x)，得k＝－3×4＝－12，∴y＝－eq\f(12,x)，作圖如圖所示；(2)由圖象可以看出，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的值小于0.15．已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)．(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；(2)判斷點(diǎn)B(－1，6)，C(3，2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)－3＜x＜－1時(shí)，求y的取值范圍．解：(1)y＝eq\f(6,x)；(2)點(diǎn)B不在函數(shù)圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，理由略；(3)當(dāng)－3＜x＜－1時(shí)，－6＜y＜－2.16．湖州市菱湖鎮(zhèn)某養(yǎng)魚(yú)專(zhuān)業(yè)戶(hù)準(zhǔn)備挖一個(gè)面積為2000平方米的長(zhǎng)方形魚(yú)塘．(1)求魚(yú)塘的長(zhǎng)y(米)關(guān)于寬x(米)的函數(shù)表達(dá)式；(2)由于受場(chǎng)地的限制，魚(yú)塘的寬最多只能挖20米．當(dāng)魚(yú)塘的寬是20米時(shí)，魚(yú)塘的長(zhǎng)為多少米？解：(1)由長(zhǎng)方形面積為2000平方米，得xy＝2000，即y＝eq\f(2000,x).(2)當(dāng)x＝20時(shí)，y＝eq\f(2000,20)＝100.答：當(dāng)魚(yú)塘的寬是20米時(shí)，魚(yú)塘的長(zhǎng)為100米．17．已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)和一次函數(shù)y＝x－6.(1)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(2，m)，求m和k的值．(2)當(dāng)k滿(mǎn)足什么條件時(shí)，兩函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)？解：(1)m＝－4，k＝－8；(2)eq\f(k,x)＝x－6，x2－6x－k＝0，當(dāng)此一元二次方程根的判別式小于0時(shí)，兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，Δ＝(－6)2－4×(－k)＝36＋4k＜0，k＜－9，當(dāng)k＜－9時(shí)，兩函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)．四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)18．如圖，一次函數(shù)y＝－x＋2的圖象與反比例函數(shù)y＝－eq\f(3,x)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，且C，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝－\f(3,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))∴A(－1，3)，B(3，－1)；(2)由y＝－x＋2＝0得x＝2，∴D(2，0)，C(－2，0)，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×4×1＝8.19．如圖，函數(shù)y1＝－x＋4的圖象與函數(shù)y2＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象交于A(m，1)，B(1，n)兩點(diǎn)．(1)求k，m，n的值；(2)利用圖象寫(xiě)出當(dāng)x≥1時(shí)，y1和y2的大小關(guān)系．解：(1)把點(diǎn)A(m，1)代入y1＝－x＋4，得m＝3，則A(3，1)，∴k＝3×1＝3.把點(diǎn)B(1，n)代入y2＝eq\f(k,x)，得出n＝3.(2)如圖，由圖象可知：①當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y1＞y2；②當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，y1＝y(tǒng)2；③當(dāng)x＞3時(shí)，y1＜y2.20．已知平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖)，直線(xiàn)y＝eq\f(1,2)x＋b經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A(2，t)在這條直線(xiàn)上，連接OA，△AOB的面積等于1.(1)求b的值；(2)如果反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k是常量，k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．解：(1)過(guò)A點(diǎn)作AC⊥y