《數(shù)值計算方法》試題集及答案 2

2(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)22《計算方》期中復習題一、填空題:1知

f(1)f

,則用辛普生辛卜生式計算求得

f(x)dx

，用三點式求得

f

。答案：2.367，0.252、

f(1)f(2)f(3)

，則過這三點的二次插值多項式中x

的系數(shù)為,拉格朗日插值多項式為。答案：

L()

11(x2)(xxx3)(2)223、近似值*

關于真值

有2)有數(shù)字；4、設

f()

可,求方程

()

的牛頓迭代格式是答案

x

n

xn

xfx)nn1)n5、對

f()x，差商f

（1),

f

(06、計算方法主要研究(

截斷)誤差(

舍入）誤差；7用二分法求非線性方程f（在區(qū)間（a，b內(nèi)的根時，二分n后的誤差限為(

n

8已知（1)＝2,(2＝5.9,則二Newton值多項式中2

系數(shù)為0。1511兩點式高斯型求積公式

10

f()d

13f()dx[f()()]23

)數(shù)精度12

為了使計算

y10

34x((x

3

的乘除法次數(shù)盡量地少將該表達式改寫為(3(4)tt

1

，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為1

nnnkjkkkk42nnnkjkkkk42220011999。13用二分法求方程

f(x

(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2在區(qū)間進行一步后根的所在區(qū)間為0.5，1，進行兩步后根的所在區(qū)間為0，0.75。14計算積分

0.5

xdx

,取位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268，辛卜生公式計算求得的近似值為0。4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。15設

f(0)f(1)f(2)46則l(x)

l(x1

，

f()

的二次牛頓插值多項式為()x2

。16求積公式

f(x)d

A

f(x)

的代精度以(

高型)求積式為最，具有n（）次代數(shù)精度17已f（1)=1,f（3）=5，f(5)=-3，用辛普生求公式求

f()d

≈(1218設f（1，f(2）=2，）=0用三點式求

f

（219、如果用二分法求方程x

0

在區(qū)間

[1,2]

內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（10)次20、已知

x()(x

(

(1x

是三次樣條函數(shù),則

=（3)

=(3)

=（121、

l(l(01

l(x)n

是以整數(shù)點

x,0

n

為節(jié)點的Lagrange值基函,則()xlx)x4l()k（1）,k（jn2時k（xx22、區(qū)間條插值函數(shù)(在_____2_____階的連續(xù)導數(shù)。

)。23、改變數(shù)1fx

f(xxx.

（

）的式，計算結果較精確24、若用二分求方程次。

f

在區(qū)間1,2］的根要求精確到第3位數(shù)，則需要對分102

25、設25、設3,Sx,1a=3,，c=1.

(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2是3次樣條函數(shù)，則26、若用復化梯形公式計算

ex

，要求誤差不超

，利用余項公式估計，至少用477個求積節(jié)點。27、若

f(x)x4

，則差商

f[2,,832]

3。28、數(shù)值積分公式

11

f(x)[f()f(0f

的代數(shù)精度為.選擇題1、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為A．2B．5CD．42、舍入誤差是A）產(chǎn)的誤差。

只取有限位數(shù)B．模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C．觀察與測量D數(shù)學模型準確值與實際值3、3。141580是π的有（B)位有數(shù)字的近似值。A．6B．C．D．4、用似示e產(chǎn)的誤差是C)誤差。A．模型B觀測C．截斷D．入5、用1+

3

近似表示

所產(chǎn)生的誤差是D)差。A．舍入B．觀測C．型D．截斷6、-324．7500舍入得到的近似值，它有（C)有效數(shù)字。A．5BC．D．7、設—1)=1,(0)=3，，則拋物插值項式中x系數(shù)為（AA．–0．5B．．5C．D8、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為（C3

(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2A．3B．4C5D．29D）的3位效數(shù)字是0。236×102（A)0.0023549×103（B）2354.82×10－2）。418(D－110單迭代求方程f(x實根,方程f(x)=0表示成的根(A)y=j(x）與軸交點的橫坐標（By=x與y=j（x)交點的橫坐標（C）x軸的點的橫坐標(D）y=x與y=j（x)交點11、拉格朗日插值多項式的余項是B頓插值多項式的余項是（。(A）f（x,x0,x1，x2,…，xn）(x－x1）(x－x2）…（x－xn－1)（x－xn)，(B）

R(xf()P()n

f((n（C)f（x,x0，x1…，xn－x0)－x1－x2…－xn－1）(x－xn),（D）

R(x)f()(x

f((n1)!

(x)12用牛頓切法解方程f(x選初始值滿（A的解數(shù)｛xnn=01,2,…一定收斂到方程f（x)=0的根。(A)f()f0

(B)f()f0

f(x)f0

(D)f(x)0

13、為求方程―x2―1=0在區(qū)間［1.3，1。6]的一個根，把方程改寫成下列式，并建立相應的迭代公式迭代公式不收斂的是(A)（A）

x迭:xx

x（B）

x

x2

迭公式:

x（C)

2,迭公式:2)1/3k（D）

x

,迭:x

xkxk4

bnC(i42k1k；(B)k1kk是以(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)bnC(i42k1k；(B)k1kk是以14、在牛頓—柯特斯求積公式

a

f(xb)i

(n)i

f(x)i

中，當系數(shù)是負時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當()時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）

，）

7

,）

n

，（4）

6

，23、有下列數(shù)表x00.5

1

1。5

2

2.5f(x）-1.75—10。2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（).（1)二次；（2）三次（3）四次；（4五15、取31.732計算(1)，下列方法中哪種最好？（)

16(A）163；（B）43);(C)(3)；（D)(1)。(x)26、已知

x02(x1()2

是三次樣條函數(shù)，則b的值為（（A）6，6；(B)6；（C)8，6；（D）8。16、由下列數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是）x1２2３3if(x)0.58。011i5；（B)4；(C)3；(D）2。17、形如

a

f(x)dxAf(x)fx)f)1223

的高（Gauss)型求積的代數(shù)為(）（A)

9

；(B)

7

；(C)

5

;（D)

3

。18、計算3的迭代格式為）（A）

32k

k

；(C）；(D)

xk

。19用二分法求方程x10

在區(qū)間

[]

10內(nèi)的實根要求差限為則對分次數(shù)至少為)(A)10；（B)12；（C）8；(D)9。20、設

l(x)k0,,)i

為節(jié)點的Lagrange值函數(shù)，則

9k0

(ki

（)（A）x;（B）k；(C)i；(D.33、5節(jié)點的牛頓—柯特斯求積公式，至少具有（)代數(shù)精度（A）5；（B)4；（C）6;（D)3。21、已知

x(x)(x1

02a)b2

是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為（)5

1xx53時，(1xx53時，(A）6,6(B)6；（C)8，6；(D)8，8。35、已知方程x0

在x2附近有根，下列迭代格式中在

x2

不收斂的是)（A)；）；(C)k1k;（D）

xk1

235k3x2k

.22、由下列數(shù)據(jù)f(x)

012341243—5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為)（A)4；(B)2；(C)1；(D)323、5節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為（)(A)8;（B)9;（C）10；（D)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打?，則打′）1、已知觀察值

(x，y)(i，)ii

,用小二乘法求次擬合多項式

(x(x)n

的次數(shù)n以任意取.()2、用

近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。（）3、

()(x)0()(x)1

表示在節(jié)點二次拉格朗日)插值基函數(shù)（1

?

）4、牛頓插值多項式的優(yōu)點在計算時，高一級的插值項式可利用前一次插值的

結果。（

?

)31153

5、矩陣A

15

具有嚴格對角占優(yōu)。()四、計算題:1、求B使求積公式

1f(x)A[f(f[()f()]

的代數(shù)精度盡量高并其代數(shù)精度；利用此公式求

I

（保留四位小數(shù)答案:

f)x,

是精確成立，即6

2(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)22A12

得

A

89求積公式為

1811f()[(f[f()f()]9922

當

f)x

時，公式顯然精確成立；當

f()x

時，左

5

,右=

。所以代數(shù)精度為3.1

1t111dt[][]xt1/212971402、已知1i2f()i分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求

36f()

4554的三次插值多項式

(x)3

，并求

f

的近似值（保留四位小數(shù)答案：

L(2

(x5)(xx5)3)(11)(34)(3

(xx3)((xx3)((41)(45)3)(5差商表為x

i

yi

一階均差

二階均差

三階均差1345

2654

2—1-1

—10

1()N(x)2xx3

14

(xx7

(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2f(2)P(2)5.535、已知x

i

-2—1012f()i

42135求

f()

的二次擬合曲線

p(x

，并求

f

的近似值。答案：解i

x

i

yi

2i

3i

4i

xi

i

i

i0-244-816-8161211-222010000313111342548161020正規(guī)方程組為

015100343415aa150110a0211a1014()

311xx2p1014

(x)xf

p

(0)

6、已知

x

區(qū)間［，0.8］的函數(shù)表0。40.50.60.7xiyi

0.800008

xx0。71736如用二次插值求

sin

(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最小？并求該近似值。答案:解：應選個節(jié)點，使誤差R(2

M33!

(3盡量小，即應使

|(

盡量小最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點

最好，實際計算結果

0.596274

,且

0.638910.5962741(0.638910.5)(0.638910.6)(0.638910.7)

7構造求解方程

x

的根的迭代格式

xx0,1,2,n

討論其收斂性并根求出來，

|xn

。答案：解：令

f()

f(0)0,f(1)10

.且

f

對x)

在0）有一實根。將方程

f)

變形為(2)則當

時1x(210

x

)

，

e|故迭代格式

(2

x

)收斂.取

x0.5

，計算結果列表如下：9

xR32(xR32()x22n

010.035

(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2230。096。089877x

0。5

872

785

325n

40.090

50。090

60.090

70。090525x

993

340

950

008且滿足。所以10、已知下列實驗數(shù)據(jù)

x*525008

。xi（xi

1.3616。844

1.9517.378

2.1618。435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當0<<1時，ff，d有一位整數(shù)。要求近似值有位有數(shù)字,只須誤差

(n)

(f)

.由

()1

b)12

,只要(e1

e112n12

即可解得n

6

所以

n68

，因此至少需將［0,1]68等。12、取節(jié)點0,10.5,x,求函數(shù)f()在間，1］上的二次插值多項式計誤差

x)

,并估10

2(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2解

P()2

((0

(0)(0.5

(x0)(0.5)x0.5)(x

(e

(又

f(x)f

Mfx

故截斷誤差

R(2

(x)|xx|3!

。14、給定方程

f()

1）析該方程存在幾個根2)迭代法求出這些根，精確到5有效數(shù)字3)

說明所用的迭代格式是收斂的。解：1)將方程

(x

0

（1）改寫為

(2）作函數(shù)

f(x)x，()

的圖形）知（2）有唯一根

x

*

(1,2)

。2)方程（）寫為

構造迭代格式

1.50

(0,1,2,)計算結果列表如下：k

123456891。1。1.27401。1.27811.27841.27841.2784x2231329431927969476k3）

(x

，

當

x

時，

)(2),

[1,2]

,且11

x3231xx22(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2x3231xx22|

所以迭代格式

xk

(x)(k

)

對任意

x

均收斂。15、用牛頓（切線求的近似值。取x。7,計算三次，保留五位小數(shù)。0解：

是

f()x

的正根，

f

，牛頓迭代公式為

2x

，

即

x

x32x

(n0,1,2,

)取x=1.7,列表如下：0

1

2

3x

1.73235

1.73205

1.7320516、已知f（-1)=2，(1）=3，(2)=—4，求拉格朗日插值多項式值，取五位小數(shù)。

L()

及(1，5)的近似解：

L()

(x((x(2)(21)(22(x(x2)(x31fL0.041672417、=3,用復合梯形公式求

10

e

的近似值（取四位小數(shù)）并求誤差估計。解：

ed

12

[e

)]1.7342fx),f

x

，

0

時，

|

|R3

e0.02512至少有兩位有效數(shù)字。20分）用最小二乘法求形如的經(jīng)公式擬合以下數(shù)據(jù)：

ii

1919.0

2532。3

3049.0

3873.312

Ay1799800.050102510kxx3xn22，Ay1799800.050102510kxx3xn22，，11解

span{1,}A

1

2

T

解方程組

TATy其中

A

A

4解得：

C

所以

0.9255577

，

0.050102521分）用

n

的復化梯形公式或化Simpson公式）計算時試用余項估計其誤差。用的復梯形公式(或復化Simpson式計算出該積分的近似值。解：

[f]T

b1hf12128h(8)[f)f()f(b)]2k1[1(0.8824969160.41686207)22分方x3在x

附近有根把方程寫成三種不同的等價形）

對應迭代格式nn

x

1x

x1對應迭代格式）xx

對應迭代格式

xn

。判斷迭代格式在

0

的收斂性，選一種收斂格式計算

附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。1(解（1）,

，故收斂;（2)

12x21

1x

，，故斂（3)，

，故發(fā)散。選擇（

0

，

1.35721.330912

,

1.32593

，

1.32494

,x525、數(shù)值積分公式形如0

xf(x))AfCf

試確定參數(shù)

A,C,D

使公式代數(shù)精度盡量高；（2）

f(x)C

4

，推導余項公式

R)()dx(x0

，并估計誤差。13

H()31(dxxdx[0][0h]xdxH()31(dxxdx[0][0h]xdx][0]kkk解：將

f(xx,2

3

分布代入公式得：

1D2030構造Hermite值多項式滿足

3

H()f()3ii(x)f)iii

其中

01則有：

10

xH

3

(x)(x

，

f(4)f()H(x)x(

R)

f()()]0

f

(4)4!

)

x(x

f(4)(f(4)f(4)20144027)已知數(shù)值積分公式為：

fx)[f(0)f()]

[

(0)f

(h)]

,試確定積分公式中的參數(shù)，其數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：

f()

顯然精確成立；f()x

時

[0]2

；f(x

時，

h3h223

；f()

時，

h0

x

3

h4h[03]h412

2

[0h

2

]

；f(x

hh3時，026

；所以，其代數(shù)精確度為328分）已知求

a(a

的迭代公式為:x

k

1()2k

xk0,1,20證明：對一切

k,

,且序列

是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂.證明：

x

k

a1(x)a2xkkkxa故對一切。

k0,1,214

(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)2又

xkxk

1a(1)2x2k

所以

kk

，即序列

是單調(diào)遞減有下界從而代過程收斂。29）數(shù)值求積公式

f(x)[ff(2)]

是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解是。因為

f)

在基點1處的插值多項式為

()

xff(2)

(dx[ff(2)]

.其代數(shù)精度為。30分寫出求方程

在區(qū)間，1]根的收斂的迭代公式,證明其收斂性。（6分)

,n=0，1，2，…

1xsin4

∴對任意的初值

,迭代公式都收斂。31、(12）以100，121,144為插值節(jié)點，用插值法計算115的近似值,并利用余項估計誤差。用Newton值方法：差分表：100121144

101112

0.04761900.0434783

—0.0000941136115

10+0.0476190（115-100)—0。0000941136(115-100)（115-121)=10.7227555f'''

38

5x215

11215x468(完整《數(shù)值計算方法》試題集答(1-6)211215x468

f'''

1368

1002

0.0016332分用復化式計算積分

I

10

x

dx

的近似值要求誤差限為

。S6

12

f1Sf12

fI

10.3931

I或利用余項

f

sinx

7!9!f

(4)

x47

f

(4)

2880n4

f

(4)

12880n

4

，n2，

I

33、(10分）Gauss列主消