平穩(wěn)性與功率譜密度

平穩(wěn)性與功率譜密度第一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題平穩(wěn)和非平穩(wěn)的含義是什么？現(xiàn)實(shí)生活中哪些是平穩(wěn)信號(hào)或非平穩(wěn)信號(hào)？嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)（或?qū)捚椒€(wěn)）有什么關(guān)系？嚴(yán)格平穩(wěn)與嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)有什么關(guān)系？2023/2/52第二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日目錄3.1平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性3.2循環(huán)平穩(wěn)性3.3平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)3.4功率譜密度與互功率譜密度3.5白噪聲與熱噪聲3.6應(yīng)用舉例2023/2/53第三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日3.1平穩(wěn)性與聯(lián)合平穩(wěn)性

平穩(wěn)性（Stationarity）:隨機(jī)信號(hào)的主要（或全部）統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于參量t保持不變的特性。包括嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)又稱為狹義平穩(wěn)或強(qiáng)平穩(wěn)，寬平穩(wěn)又稱為廣義平穩(wěn)或弱平穩(wěn)。2023/2/54第四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)的定義2023/2/55第五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)的理解一個(gè)隨機(jī)信號(hào)X(t)，如果它的n維概率密度（或n維分布函數(shù)）不隨時(shí)間起點(diǎn)選擇的不同而改變，則該隨機(jī)信號(hào)為平穩(wěn)的平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，或者說(shuō)平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化2023/2/56第六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日廣義平穩(wěn)信號(hào)的定義2023/2/57第七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日非平穩(wěn)信號(hào)不是廣義平穩(wěn)的信號(hào)統(tǒng)計(jì)量隨時(shí)間變化的信號(hào)（時(shí)變信號(hào)）2023/2/58第八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)舉例接收機(jī)噪聲信號(hào)：如果產(chǎn)生隨機(jī)信號(hào)的主要物理?xiàng)l件在時(shí)間進(jìn)程中不變化，則此信號(hào)認(rèn)為是平穩(wěn)的。例如，一個(gè)工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的接收機(jī)，其內(nèi)部噪聲可以認(rèn)為是隨機(jī)平穩(wěn)信號(hào)。但當(dāng)剛接上電源，該接收機(jī)工作在過(guò)渡狀態(tài)下或環(huán)境溫度未達(dá)到恒定時(shí)，此時(shí)的內(nèi)部噪聲則是非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。語(yǔ)音信號(hào)：語(yǔ)音信號(hào)本身是非平穩(wěn)信號(hào)，但在10-30ms時(shí)段內(nèi)可以看成是短時(shí)平穩(wěn)的，便于用平穩(wěn)信號(hào)的分析方法去處理問(wèn)題。將隨機(jī)信號(hào)劃分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)有重要的實(shí)際意義，若是平穩(wěn)的，可簡(jiǎn)化分析。例如，測(cè)量電阻熱噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，由于是平穩(wěn)的，在任何時(shí)間測(cè)試都可以得到相同的結(jié)果。2023/2/59第九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日語(yǔ)音信號(hào)接收機(jī)噪聲信號(hào)2023/2/510第十頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)的關(guān)系

如果廣義平穩(wěn)信號(hào)是高斯信號(hào)，則也是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。獨(dú)立同分布的信號(hào)必定是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。關(guān)于離散隨機(jī)信號(hào)（或離散序列）的平穩(wěn)性問(wèn)題，只需要將連續(xù)時(shí)間變量t換為離散時(shí)間n即可。嚴(yán)格平穩(wěn)要求全部統(tǒng)計(jì)特性都具有移動(dòng)不變性，而廣義平穩(wěn)只要求一、二階矩特性具有移動(dòng)不變性。2023/2/511第十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)的性質(zhì)（1）X(t)的一階分布、密度函數(shù)和均值都與時(shí)間無(wú)關(guān)

F(x;t)=F(x;t+u)=F(x)

f(x;t)=f(x;t+u)=f(x)E[X(t)]=m(t)=m(t+u)=常數(shù)（2）X(t)的二維分布和密度函數(shù)與兩個(gè)時(shí)刻(t1,t2)的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，只與它們的相對(duì)差τ=t1-t2有關(guān)

F(x1,x2;t1,t2)=F(x1,x2;t1+u,t2+u)=F(x1,x2;τ,0)=F(x1,x2;τ)

f(x1,x2;t1,t2)=f(x1,x2;t1+u,t2+u)=f(x1,x2;τ,0)=f(x1,x2;τ)R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(τ,0)=R(τ)只關(guān)注兩個(gè)參量(t1,t2)的相對(duì)差，而絕對(duì)位置可以任意移動(dòng)，其中τ=t1-t2為核心變量，有文獻(xiàn)稱為時(shí)滯。2023/2/512第十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日一階密度函數(shù)平穩(wěn)性示例相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)性示例2023/2/513第十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日證明：如果高斯信號(hào)X(t)是廣義平穩(wěn)的，則其均值為常數(shù)m，協(xié)方差滿足平移不變性，即C(s,t)=C(s+τ,t+τ)。高斯信號(hào)的特征函數(shù)為對(duì)于任何τ

，有故該信號(hào)是嚴(yán)格平穩(wěn)的。定理3.1廣義平穩(wěn)的高斯信號(hào)必定是嚴(yán)格平穩(wěn)的。2023/2/514第十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：由獨(dú)立性，有上式與各個(gè)參量ti本身無(wú)關(guān)，也與這組參量的平移無(wú)關(guān)，故U(t)是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)。2023/2/515第十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：根據(jù)各個(gè)信號(hào)的均值、相關(guān)函數(shù)及概率特性，容易得出：(1)伯努利信號(hào)是嚴(yán)格平穩(wěn)信號(hào)，也是廣義平穩(wěn)信號(hào)；(2)隨機(jī)正弦信號(hào)（該例條件下）是廣義平穩(wěn)信號(hào)；(3)半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)與泊松信號(hào)是非平穩(wěn)的。例3.2試說(shuō)明2.2節(jié)各例的平穩(wěn)性。2023/2/516第十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/517第十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：Y(t)的均值和相關(guān)函數(shù)分別為：由于Y(t)的均值為零，相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān)，故Y(t)是廣義平穩(wěn)的。2023/2/518第十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例1設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=At，A為均勻分布于[0,1]上的隨機(jī)變量，試問(wèn)X(t)是否平穩(wěn)？解：因?yàn)槠渲衋為隨機(jī)變量A的樣本,可見(jiàn)不是平穩(wěn)的。2023/2/519第十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例2解：因?yàn)樵O(shè)隨機(jī)變量Z(t)=Xcost+Ysint,-∞<t<∞，其中X和Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別以概率2/3和1/3取值-1和2。討論隨機(jī)過(guò)程X(t)的平穩(wěn)性。式中τ=t1-t2，可見(jiàn)Z(t)是廣義平穩(wěn)過(guò)程。2023/2/520第二十頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日又因?yàn)榧碯(t)的三階矩與時(shí)間t有關(guān)，故Z(t)不是嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程。2023/2/521第二十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例3解：X(k)的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)分別為：顯然X(k)為廣義平穩(wěn)。2023/2/522第二十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日又因?yàn)閄(k)在各個(gè)時(shí)刻的分布相同且相互獨(dú)立，故其n維密度函數(shù)為：上式說(shuō)明X(k)的n維概率密度與時(shí)間平移（按整數(shù)間隔平移）無(wú)關(guān)，所以X(t)也是狹義平穩(wěn)的。2023/2/523第二十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日聯(lián)合平穩(wěn)性

2023/2/524第二十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：因?yàn)楣瘦斎肱c輸出信號(hào)是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的，并且正交。注意：如果振蕩不是隨機(jī)相位，則輸出信號(hào)可能不是平穩(wěn)的，輸入與輸出信號(hào)不會(huì)正交，也不會(huì)聯(lián)合廣義平穩(wěn)。2023/2/525第二十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日3.2循環(huán)平穩(wěn)性

2023/2/526第二十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/527第二十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)性與循環(huán)平穩(wěn)性的關(guān)系

嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程可以看作嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程，其循環(huán)周期可以是任意值；嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)其在循環(huán)周期內(nèi)均勻滑動(dòng)后，變?yōu)閲?yán)格平穩(wěn)過(guò)程。2023/2/528第二十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：（1）故X(t)是廣義循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程，但不是廣義平穩(wěn)過(guò)程。例3.5半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸過(guò)程X(t)，討論其循環(huán)平穩(wěn)性。半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)：{X(t)=2Xn-1,(n-1)T≤t≤nT,t≥0},X(t)的均值m(t)=p-q為常數(shù)。其相關(guān)函數(shù)為R(t1+kT,t2+kT)=4pqδ([(t1+kT)/T]-[(t2+kT)/T])+1-4pq=4pqδ([t1/T]-[t2/T])+(k-k)+1-4pq=R(t1,t2)2023/2/529第二十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日（2）由于不同時(shí)隙上的取值彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立并具有相同的分布，該聯(lián)合事件的概率取決于觀察時(shí)刻之間的相對(duì)關(guān)系。任取觀察時(shí)刻組t1,t2,…,tn∈(-∞,∞)和周期T，t1＋T,t2＋T,…,tn＋T∈(-∞,∞)，有故X(t)是嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程。2023/2/530第三十頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日乘法調(diào)制器理想乘法調(diào)制器模型為：實(shí)際乘法調(diào)制器模型為：D與X(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且在[0,2π/w0)上均勻分布2023/2/531第三十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/532第三十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：Y(t)的均值與相關(guān)函數(shù)為：mY(t)的周期是2π/w0，RY(t+τ,t)的周期是π/w0，因此Y(t)是廣義循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)，周期為2π/w0。2023/2/533第三十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日Y(t)經(jīng)過(guò)[0,2π/w0]上均勻的隨機(jī)滑動(dòng)D以后得到Z(t)，Z(t)=Y(t-D)，由定理3.3知道，Z(t)是廣義平穩(wěn)的。2023/2/534第三十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日3.3平穩(wěn)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)

性質(zhì)1若{X(t),t∈T}是實(shí)平穩(wěn)信號(hào)，則相關(guān)函數(shù)滿足：（1）實(shí)偶函數(shù)，即R(τ)=R(-τ)；（2）在原點(diǎn)處非負(fù)并達(dá)到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，則R(τ)是周期為τ1的周期函數(shù)，這時(shí)稱X(t)為周期平穩(wěn)信號(hào)；（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1與τ2是不公約的，則R(τ)為常數(shù)；（5）若R(τ)在原點(diǎn)處連續(xù)，則它處處連續(xù)。2023/2/535第三十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日（1）R(τ)是實(shí)偶函數(shù)，即R(τ)=R(-τ)；證明：奇偶性2023/2/536第三十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日（2）在原點(diǎn)處非負(fù)并達(dá)到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；證明：令τ=t1-t2,由柯西-施瓦茲不等式，非負(fù)性2023/2/537第三十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，則R(τ)是周期為τ1的周期函數(shù)，這時(shí)稱X(t)為周期平穩(wěn)信號(hào)；證明：令Z=X(t+τ+τ1)-X(t+τ),W=X(t)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，得到周期性當(dāng)R(τ1)=R(0)時(shí)，有R(τ+τ1)=R(τ)。因此R(τ)以τ1為周期。2023/2/538第三十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1與τ2是不公約的，則R(τ)為常數(shù)；證明：R(τ)既以τ1為周期，又以τ2為周期，而τ1與τ2是不公約的，因此R(τ)只能是常數(shù)。R(τ)為常數(shù)2023/2/539第三十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)性（5）若R(τ)在原點(diǎn)處連續(xù)，則它處處連續(xù)。證明：令τ1＝Δτ，若R(τ)在原點(diǎn)處連續(xù)，則R(0)有界，并且根據(jù)極限性質(zhì)，2023/2/540第四十頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)曲線02023/2/541第四十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/542第四十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充例4

設(shè)為一實(shí)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。證明若對(duì)應(yīng)于某一個(gè)，有，則必為周期性的。2023/2/543第四十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日證明：

根據(jù)切比雪夫不等式,可得：2023/2/544第四十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)概率的定義有：故有：即：2023/2/545第四十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日于是得到為周期過(guò)程，為周期。并且進(jìn)一步有：因此證明是以為周期的周期函數(shù)。2023/2/546第四十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)2若{X(t),t∈T}是平穩(wěn)信號(hào)，則

C(τ)=R(τ)-m2,σ2=R(0)-m2性質(zhì)3若{X(t),t∈T}與{Y(t),t∈T}是聯(lián)合平穩(wěn)信號(hào)，則

RXY(-τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)-mXmY2023/2/547第四十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日①若信號(hào)X(t)中含有平均分量（均值），則R(τ)將含有固定分量。R(τ)=C(τ)+m2說(shuō)明了這點(diǎn)。②若信號(hào)X(t)含有周期分量，則R(τ)將含有同樣周期的周期分量。周期特性說(shuō)明如下：③若信號(hào)X(t)中不含有任何周期分量，則隨機(jī)變量X(t1)與X(t2)的關(guān)聯(lián)程度會(huì)隨著間距的增大而逐漸減小,直至無(wú)關(guān)?！靶盘?hào)依均方意義（依概率1）呈周期性”的充要條件是“R(τ)是周期函數(shù)”，這種信號(hào)稱為周期平穩(wěn)信號(hào)。2023/2/548第四十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日④使用ρ(τ)與ρXY(τ)表示關(guān)聯(lián)性，|ρ(τ)|≤

ρ(0)=1定義相關(guān)時(shí)間τ0，使得τ≥τ0以后，|ρ(τ)|≤

ρ0，其中ρ0通常定為0.05。有時(shí)用矩形等效形式來(lái)定義相關(guān)時(shí)間。2023/2/549第四十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4實(shí)際應(yīng)用中的非周期平穩(wěn)信號(hào)，一般都滿足

等價(jià)于2023/2/550第五十頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：信號(hào)X(t)常被視為兩個(gè)平穩(wěn)信號(hào)U(t)和V(t)之和，U(t)和V(t)的自相關(guān)函數(shù)分別為：RU(τ)=100e-10|τ|+100,RV(τ)=100cos10τU(t)是X(t)的非周期分量。例3.7工程應(yīng)用中某一平穩(wěn)信號(hào)X(t)的自相關(guān)函數(shù)為：RX(τ)=100e-10|τ|+100cosτ+100。試估計(jì)其均值、均方值和方差。2023/2/551第五十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日V(t)是周期分量，可以認(rèn)為此分量的均值mV=0。故所以X(t)的均值為±10，均方值為300，方差為200。2023/2/552第五十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日

3.4功率譜密度與互功率譜密度

信號(hào)的能量與功率：物理意義：電路中的電流或電壓信號(hào)，在單位電阻（1歐姆）上消耗的能量或功率。2023/2/553第五十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)有兩種類型：（1）能量型信號(hào)：能量有限，功率為0；（2）功率型信號(hào)：功率有限，能量為無(wú)窮?？疾煨盘?hào)的能量或功率沿w軸的密度狀況，即，考慮給定頻率處，單位帶寬上所具有的能量或功率，對(duì)應(yīng)于能量譜密度和功率譜密度。信號(hào)的兩種類型2023/2/554第五十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日能量譜密度和功率譜密度能量型信號(hào)：能量譜密度為|X(jw)|2，物理意義：表示能量沿頻率軸的密度函數(shù)。功率型信號(hào)：功率譜密度為XT(jw)是截?cái)嘈盘?hào)XT(t)的傅立葉變換。2023/2/555第五十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日頻譜密度、能量譜密度及功率譜密度的關(guān)系頻譜密度：頻譜密度簡(jiǎn)稱頻譜，等于信號(hào)的Fourier變換，表示各頻率分量的相對(duì)大小。為了方便比較不同頻點(diǎn)頻譜的相對(duì)大小，引入頻譜密度的概念。能量譜密度：對(duì)于能量有限的信號(hào)，某頻點(diǎn)處的單位頻帶中的信號(hào)能量稱為能量譜密度，它在全頻帶的積分等于信號(hào)能量。能量譜密度為信號(hào)傅里葉變換X(jw)的模的平方。功率譜密度：對(duì)于功率有限的信號(hào)，某頻點(diǎn)處的單位頻帶中信號(hào)的功率稱為功率譜密度，它在全頻帶的積分等于信號(hào)的功率。功率譜密度由信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換求得。2023/2/556第五十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日物理意義：表示功率沿w軸的密度狀況，其總和是總功率。功率的時(shí)域和頻域積分形式2023/2/557第五十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，其功率可先考慮某個(gè)樣本函數(shù)，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)幾乎總是功率型的，因此，只考慮功率與功率譜密度。2023/2/558第五十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日考慮樣本函數(shù)X(t,ξ)，定義樣本功率和樣本功率譜。它們都是隨機(jī)的，顯然如果X(t)是平穩(wěn)信號(hào)，則P=E[X2(t)]=R(0)2023/2/559第五十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日定理3.4維納－辛欽（Wiener-Khintchine）定理平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度S(w)是其自相關(guān)函數(shù)R(τ)的傅里葉變換。2023/2/560第六十頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/561第六十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：X(t)的均值為0，相關(guān)函數(shù)為故X(t)為廣義平穩(wěn)信號(hào)，功率譜為：由功率譜知，它是正的實(shí)偶函數(shù)，信號(hào)的全部功率集中在w0處。例3.8設(shè)正弦信號(hào)X(t)=Acos(w0t+Θ)，求它的功率譜。假設(shè)A與Θ獨(dú)立，Θ在[0,2π)均勻分布，且E[A2]=2σ2。2023/2/562第六十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日與確定信號(hào)不同的是，隨機(jī)信號(hào)的頻域分析主要是考察它的功率譜，而非信號(hào)譜。2023/2/563第六十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日相位的不確定性，使X(t)的傅里葉變換是隨機(jī)的。其統(tǒng)計(jì)平均為0，互相關(guān)函數(shù)為(1/2)cosw0τ,故X(t)是廣義平穩(wěn)的，其功率譜密度為雖損失了相位特性，但有效給出了信號(hào)成分的分布。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的傅里葉變換是隨機(jī)的譜函數(shù)，但是功率譜密度是一個(gè)確定的譜函數(shù)。通過(guò)功率譜可以更加明確地說(shuō)明隨機(jī)信號(hào)各頻率成分的含量。2023/2/564第六十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：首先進(jìn)行分解利用公式均方值為R(0)=7/24。自相關(guān)函數(shù)為：例3.9已知平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率譜S(w)=(w2+4)/(w4+10w2+9)，求其自相關(guān)函數(shù)與均方值。2023/2/565第六十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)1平穩(wěn)信號(hào)的功率譜總是正的實(shí)偶函數(shù)，即SX(-w)=SX(w)>0。分析下面兩式是否是功率譜的表達(dá)式。由于上式可能為虛數(shù)，不是正確的功率譜表達(dá)式。又如，1-e[-(w-1)2]可能為負(fù)數(shù)，也不是偶函數(shù)，因此也不是正確的功率譜表達(dá)式。2023/2/566第六十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日RX(τ)與SX(w)都是實(shí)偶函數(shù)，只需關(guān)心ejwτ的實(shí)部，相關(guān)函數(shù)和功率譜的關(guān)系可以表示為：2023/2/567第六十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日鑒于偶函數(shù)的特點(diǎn)，應(yīng)用中經(jīng)常使用單邊功率譜，表示為：2023/2/568第六十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日互功率譜密度互功率譜通常是復(fù)函數(shù)，反映了兩個(gè)信號(hào)的關(guān)聯(lián)性沿w軸的密度狀況。2023/2/569第六十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日（1)兩種互功率譜的實(shí)部相同，而虛部反號(hào)；（2)實(shí)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為實(shí)函數(shù)，因此，互功率譜的實(shí)部都是偶函數(shù)，虛部都是奇函數(shù)。

性質(zhì)2互功率譜具有對(duì)稱性。2023/2/570第七十頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日解：由于X(t)與Z(t)獨(dú)立，且Z(t)是零均值的，因此它們正交。例3.10討論（加性）單頻干擾。若實(shí)平穩(wěn)信號(hào)X(t)受到加性的獨(dú)立隨機(jī)正弦分量Z(t)=Acos(w0t+Θ)的干擾。已知A,w0為常數(shù)，Θ是在[0,2π)上均勻分布的隨機(jī)變量。求（1）受擾后信號(hào)Y(t)的相關(guān)函數(shù)；（2）信號(hào)X(t)與Y(t)是否聯(lián)合平穩(wěn)？若是，進(jìn)一步求功率譜SY(w)與互功率譜SXY(w)。2023/2/571第七十一頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于Y(t)=X(t)+Z(t),E[Y(t)]=mX正交項(xiàng)使得交叉項(xiàng)為0故X(t)和Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)信號(hào)。2023/2/572第七十二頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日通過(guò)傅里葉變換得到從Y(t)的功率譜中可以看到單頻干擾成分w0。2023/2/573第七十三頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日3.5白噪聲與熱噪聲

2023/2/574第七十四頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日白噪聲通常均值為零，因此C(τ)=R(τ)。相關(guān)系數(shù)為：白噪聲有時(shí)也通俗地稱為“純隨機(jī)的”：（1）無(wú)限帶寬的理想隨機(jī)信號(hào)（2）功率（即方差）為無(wú)窮大（3）而不同時(shí)刻上彼此不相關(guān)2023/2/575第七十五頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日若白噪聲的每個(gè)隨機(jī)變量都服從高斯分布，則稱其為高斯白噪聲（信號(hào)）（WGN,WhiteGaussianNoise）。它是無(wú)關(guān)信號(hào)，也是獨(dú)立信號(hào)，代表信號(hào)“隨機(jī)性”的一種極限。如果平穩(wěn)序列對(duì)所有m滿足或者則該序列是白噪聲序列。高斯白噪聲序列是獨(dú)立序列。2023/2/576第七十六頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.11若N(n)是方差為σ2的零均值高斯白噪聲序列，試求：（1）它的相關(guān)函數(shù)R[n1,n2]與協(xié)方差函數(shù)C[n1,n2]；（2）它的n維概率密度函數(shù)。解：相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)為因?yàn)镹(n)是獨(dú)立同分布的，其n維概率密度函數(shù)為2023/2/577第七十七頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日3.6應(yīng)用舉例

解：由歐拉公式，有當(dāng)且僅當(dāng)ΦΘ(1)=0時(shí)，E[X(t)]=0(常數(shù))。例3.13討論隨機(jī)相位正弦信號(hào)的廣義平穩(wěn)條件。正弦隨機(jī)信號(hào)X(t)=Acos(w0t+Θ)，其中隨機(jī)變量A的均值為mA，方差為σA2，Θ的特征函數(shù)為Φθ(v)，Θ與A統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。討論X(t)的廣義平穩(wěn)性。2023/2/578第七十八頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)且僅當(dāng)ΦΘ(2)=0時(shí)，上式為0。2023/2/579第七十九頁(yè)，共九十二頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)相位正弦信號(hào)廣義平穩(wěn)的充要條件是：此時(shí)當(dāng)有2