第三章(應(yīng)變分析)

第三章應(yīng)變分析變形的基本概念a)均勻拉伸P→P1

拉長(zhǎng)變細(xì)Q→Q1單元體取的方位不同，變形方式不同，歪斜了b)金屬在有摩擦的平板間壓縮成鼓形P→P1

沿中心線壓扁Q→Q1由于摩擦的作用，壓扁且歪斜了R→R1成鼓形后有明顯的角度偏轉(zhuǎn)c)理想剪切P→P1剪斜了Q→Q1平移到Q1，未變形d)彎曲工序P→P1

縮短且轉(zhuǎn)動(dòng)一角度Q→Q1轉(zhuǎn)動(dòng)一角度，但未變形由以上實(shí)例可以得到以下概念：1、變形正變形（線變形）：線性尺寸伸長(zhǎng)或縮短切變形（角變形）：?jiǎn)卧w發(fā)生畸變純變形2、同一質(zhì)點(diǎn)的不同方位，有不同的變形值點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)3、物體變形時(shí)，單元體一般將同時(shí)發(fā)生平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、正變形和剪變形。除去剛體位移后，才能得到純變形。4、變形就是各點(diǎn)位移不同，致使各點(diǎn)相對(duì)位置發(fā)生變化。5、變形的大小用應(yīng)變表示。物體變形時(shí)，其體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在各方向上都會(huì)有應(yīng)變，與應(yīng)力分析一樣，同樣需引入“點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)”的概念。點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)也是二階對(duì)稱(chēng)張量，故與應(yīng)力張量有許多相似的性質(zhì)。6、研究應(yīng)變問(wèn)題往往從小變形（數(shù)量級(jí)不超過(guò)10-3~10-2的彈-塑性變形）著手。金屬塑性加工是大變形，小變形是大變形的基礎(chǔ)?！?.1

、位移和應(yīng)變一、位移及其分量§3.1

、位移和應(yīng)變二、應(yīng)變及其分量(二)應(yīng)變及其分量真實(shí)應(yīng)變變形體由l0→ln可看作是經(jīng)無(wú)窮多個(gè)中間數(shù)值逐漸變成。應(yīng)用微分的概念——自然應(yīng)變（對(duì)數(shù)應(yīng)變），反映了物體變形的實(shí)際情況，也稱(chēng)真實(shí)應(yīng)變。對(duì)數(shù)應(yīng)變的優(yōu)點(diǎn)：1、表示變形的真實(shí)情況將真實(shí)應(yīng)變用相對(duì)應(yīng)變表示，并按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：只有當(dāng)變形程度很小時(shí)，ε才能近似等于，變形程度愈大，誤差也愈大。對(duì)數(shù)應(yīng)變的優(yōu)點(diǎn)：2、具有可疊加性：總應(yīng)變?yōu)楦麟A段應(yīng)變之和。拉伸拉伸拉伸則：而：顯然對(duì)數(shù)應(yīng)變3、具有可比性：拉伸后再壓縮至原長(zhǎng)，對(duì)數(shù)應(yīng)變相等，僅差一符號(hào)。拉伸壓縮和則：而：§3.1

、位移和應(yīng)變二、應(yīng)變及其分量體積不變條件：對(duì)數(shù)應(yīng)變表示的體積不變條件：塑性變形時(shí)，三個(gè)線應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)，絕對(duì)值最大的應(yīng)變分量永遠(yuǎn)和另外兩個(gè)應(yīng)變分量的符號(hào)相反?！?.2塑性變形時(shí)的體積不變條件§3.3

點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以用過(guò)該點(diǎn)三個(gè)互相正交方向上的九個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。與應(yīng)力狀態(tài)相似，如果當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后在新的坐標(biāo)系中的九個(gè)應(yīng)變分量與原坐標(biāo)系中的九個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系也符合學(xué)數(shù)上張量之定義，即εij為二階對(duì)稱(chēng)張量§3.3

點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量一、主應(yīng)變及應(yīng)變張量不變量過(guò)變形體內(nèi)一點(diǎn)存在有三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主方向（也稱(chēng)應(yīng)變主軸），該方向上線元沒(méi)有切應(yīng)變，只有線應(yīng)變，稱(chēng)為主應(yīng)變。在主軸坐標(biāo)系統(tǒng)中，應(yīng)變張量為對(duì)于各向同性材料，可以認(rèn)為小應(yīng)變主方向與應(yīng)力主方向重合。應(yīng)變張量不變量（多用J表示）應(yīng)變狀態(tài)特征方程二、主切應(yīng)變和最大切應(yīng)變?nèi)籀?>ε2>ε3,則用主應(yīng)變的個(gè)數(shù)和符號(hào)來(lái)表示應(yīng)變狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱(chēng)主應(yīng)變狀態(tài)圖。a)壓縮類(lèi)變形

b)剪切類(lèi)變形(平面變形)c)伸長(zhǎng)類(lèi)變形特征應(yīng)變?yōu)樨?fù)應(yīng)變，另外兩個(gè)應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變。一個(gè)應(yīng)變?yōu)榱?，其他兩個(gè)應(yīng)變大小相等，方向相反。特征應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變，另外兩個(gè)應(yīng)變?yōu)樨?fù)正應(yīng)變。三、主應(yīng)變簡(jiǎn)圖八面體線應(yīng)變八面體切應(yīng)變四、八面體應(yīng)變五、應(yīng)變偏張量和應(yīng)變球張量取八面體切應(yīng)變絕對(duì)值的倍所得之參量稱(chēng)為等效應(yīng)變，也稱(chēng)廣義應(yīng)變或應(yīng)變強(qiáng)度。六、等效應(yīng)變4)等效應(yīng)力在數(shù)值上等于單向均勻拉伸(或壓縮)時(shí)的拉伸(或壓縮)應(yīng)力σ1

，即2)等效應(yīng)力沒(méi)有特定的作用面；等效應(yīng)力的特點(diǎn)1)等效應(yīng)力是一個(gè)不變量；3)等效應(yīng)力可以理解為代表一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中應(yīng)力偏張量的綜合作用。比較：等效應(yīng)變的特點(diǎn)：1)是一個(gè)不變量；2)在塑性變形時(shí)，其數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變。(位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)之間的關(guān)系)§3.4小應(yīng)變幾何方程(位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)之間的關(guān)系)單元體在xoy坐標(biāo)平面上的投影：變形前abcd,變形后為a1b1c1d1設(shè)ac=dx,ac∥ox軸，則ab=dy,ab∥oy軸a點(diǎn)位移分量為u,v,則由前式得出b,c點(diǎn)的位移增量為：§3.4小應(yīng)變幾何方程幾何關(guān)系：棱邊ac在x方向的線應(yīng)變：棱邊ab在y方向的線應(yīng)變：由幾何關(guān)系可得：同理：因：則工程切應(yīng)變：切應(yīng)變：綜合可得：簡(jiǎn)記為即小應(yīng)變幾何方程因：簡(jiǎn)記為即小應(yīng)變幾何方程例：設(shè)一物體在變形過(guò)程中某一極短的時(shí)間內(nèi)的位移場(chǎng)為：

u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3

v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3

w=(10-0.1xyz)×10-3

求：點(diǎn)A（1,1,1）的應(yīng)變分量、應(yīng)變球張量、應(yīng)變偏張量、主應(yīng)變、八面體應(yīng)變、等效應(yīng)變（應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、變形連續(xù)方程、變形協(xié)調(diào)方程）相加可得對(duì)y求兩次偏導(dǎo)得對(duì)x求兩次偏導(dǎo)得§3.5應(yīng)變連續(xù)方程程（應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、變形連續(xù)方程、變形協(xié)調(diào)方程）同理每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的關(guān)系：兩個(gè)線應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則切應(yīng)變分量隨之被確定?！?.5應(yīng)變連續(xù)方程程用同樣的方法不同坐標(biāo)平面內(nèi)，應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的關(guān)系：在三維空間內(nèi)三個(gè)切線應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則線應(yīng)變分量隨之被確定。如果已知一點(diǎn)的位移分量，利用幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足連續(xù)方程。但如果先用其他方法求得應(yīng)變分量，則只有當(dāng)它們滿足應(yīng)變連續(xù)方程，才能用幾何方程求得正確的位移分量。一、速度分量和速度場(chǎng)位移速度：質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的位移。

位移速度是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，故或§3.6應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量位速度分量：位移速度在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影稱(chēng)為位移速度分量，簡(jiǎn)稱(chēng)速度分量。速度場(chǎng)二、位移增量和應(yīng)變?cè)隽课灰圃隽?物體在變形過(guò)程中，在一個(gè)極短的時(shí)間dt內(nèi)，其質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生極小的位移變化量稱(chēng)為位移增量。如圖中的矢量，記為dui應(yīng)變?cè)隽浚鹤冃芜^(guò)程中某極短階段的無(wú)限小應(yīng)變（由圖中矢量求得的應(yīng)變）全量應(yīng)變:在變形的某過(guò)程或過(guò)程的某階段終