第五講 小學數(shù)學的教學過程

第四講小學數(shù)學教學過程按照學習的內(nèi)容劃分，小學數(shù)學學習可分為數(shù)學知識的學習、數(shù)學技能的學習和數(shù)學問題解決的學習。

數(shù)學知識的學習，主要包括數(shù)學概念和數(shù)學規(guī)則(公式、定理、法則等)的學習。數(shù)學概念：是客觀事物的數(shù)量關系和空間形式方面的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學規(guī)則，是兩個或者兩個以上數(shù)學概念之間固有關系的敘述。一、數(shù)學概念的學習過程（一）數(shù)學概念及其表現(xiàn)形式

1.數(shù)學概念：是客觀事物的數(shù)量關系和空間形式方面的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。具有普遍性和抽象性。例如：三角形是由三條線段圍成的平面圖形。它是不同位置、不同大小、不同類別的三角形的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。

數(shù)學概念具有抽象的特征，而小學生的認識特點帶有具體形象性，如何使抽象的概念適合小學生認識的具體形象性？2.數(shù)學概念的表現(xiàn)形式①

用畫圖的形式表現(xiàn)概念在小學中、低年級，為了使學生具體的認識數(shù)學概念，一些概念往往用物體、畫圖的形式來表現(xiàn)。像右邊這樣的數(shù)叫做“小數(shù)”。“

.”叫做小數(shù)點。彩筆3.50元橡皮擦0.20元鉛筆0.15元書包45元文具盒18元日記本3元②

用描述的方法借助具體事例說明概念例3二年級上冊③

用逐步滲透的方法來揭示概念平行四邊形一年級下冊三年級上冊四年級上冊用定義的形式來揭示概念的本質(zhì)屬性（a）“屬加種差”定義法，其公式為：種差+最鄰近的屬概念=被定義的概念(類)

兩組對邊平行的四邊形叫平行四邊形。（b）發(fā)生定義法(也稱構造性定義法)

圓的定義：在一個平面內(nèi)，一條線段固定一個端點，另一個端點繞其旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形叫做圓。固定的端點叫做圓心；連結圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。(c)約定式定義為了使乘法定于“求幾個相同加數(shù)的和的漸變運算叫做乘法”中的“幾”等于1或0時有意義，我們規(guī)定“a*1=1，a*0=0”概念學習是學生對事物的本質(zhì)屬性進行抽象概括的過程，數(shù)學概念的學習一般有兩種基本形式：一是概念形成，二是概念同化。2.數(shù)學概念學習的基本形式（1）概念形成①概念形成的含義在課堂教學條件下，從一定的具體例子出發(fā)，從學生實際經(jīng)驗的肯定例證中，以歸納方式抽象概括出事物的本質(zhì)屬性。例5：認識長方形1、同學們，今天老師給大家?guī)砹艘晃恍屡笥?，大家鼓掌歡迎！

2、這個圖形是什么形狀的？你們知道嗎？生活中的圖形生活中的圖形生活中的圖形生活中的圖形生活中的圖形國旗的面是什么形狀的？數(shù)學課本、練習本的面是什么形狀的？彩紙橫著放是什么形狀的，豎著放、斜著放呢？

以上這些物品的面，不管大，還是小，它們的形狀都可以用這樣一個圖形表示。數(shù)一數(shù)長方形有幾條邊，再數(shù)一數(shù)桌上的長方形紙有幾條邊，用彩筆逐一勾出四條邊。長方形長方形對邊相等長方形四個角都是直角辨一辨生活中的圖形2.概念形成的一般過程分析比較辨別一類事物的具體例子抽象出各個例子的共同屬性概括共同的本質(zhì)屬性作為新概念的內(nèi)涵根據(jù)新概念的內(nèi)涵明確新概念的外延明確新概念與原有的認知結構中有關概念間的關系，擴大或改組原有的認知結構例6循環(huán)小數(shù)概念形成的過程1）豎式計算：（1）32÷6（2）2.7÷11

注意：在除的過程中，如遇到什么問題，請仔細觀察商的小數(shù)部分和余數(shù)有什么特點？想一想，這樣的商可以怎樣表示？把你的發(fā)現(xiàn)與同學交流一下。32÷6=5.336)3230201820182222余數(shù)重復出現(xiàn)2，335.33……商會重復出現(xiàn)3。2.7÷11=0.2454511)2.722504460555044605554545

5

6

56

5余數(shù)重復出現(xiàn)5和6，商會重復出現(xiàn)4和5。0.24545……2）5.330.24545…………

一個小數(shù)，從小數(shù)部分的某一位起，一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷地重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。寫作：5.3...寫作:0.2453）4）做一做，明確循環(huán)小數(shù)的外延判斷下面哪幾個是循環(huán)小數(shù)，為什么？①0.999……②2323.1③6.416416……④3.21212

⑤3.1415926……⑥0.547745……⑦1.6025⑧5.02727……

觀察練習中的小數(shù)，你能根據(jù)一定的標準把它們分成兩類嗎？和同學商量一下。小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)，叫有限小數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)，叫無限小數(shù)。①0.999……③6.416416……⑤3.1415926……⑥0.547745……⑧5.02727……②2323.1④3.21212

⑦1.6025循環(huán)小數(shù)是無限小數(shù)中的一種。5）明確循環(huán)小數(shù)與原有的認知結構中有咸小數(shù)的區(qū)別練一練

先指出下面各數(shù)中哪些是有限小數(shù)，哪些是無限小數(shù)；再指出無限小數(shù)中哪些是循環(huán)小數(shù)。0.66661.5353……3.14159……3.16040.192920.32727……..有限小數(shù)有：0.66660.19292

無限小數(shù)有：1.5353……3.14159……3.16040.32727……..其中循環(huán)小數(shù)有：1.5353……3.16040.32727……..③

概念形成的條件內(nèi)部條件（學生自身的條件）：學生必須辨別概念的正反例證。正例可突出有關特征，反例能有效地排除無關特征的干擾。外部條件（情景條件）：學生必須從外界獲得反饋信息。教師必須對學生所提出的概念特征的假設做出肯定或否定的反應。（2）概念同化概念同化，利用學習者認知結構中原有的概念，找出兩者的聯(lián)系，通過比較新舊概念的差異，進而使學習者獲得概念的過程。②概念同化的一般過程找出原有的認知結構中的有關概念，研究它的分類把新概念從原有概念中分化出來，并給出定義，根據(jù)新概念的內(nèi)涵明確新概念的外延明確新概念與原有的認知結構中有關概念間的關系，擴大或改組原有的認知結構例7三角形的認識東二小學周蕾直角鈍角銳角直角鈍角銳角銳角三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形鈍角三角形直角三角形123123123123123123直角三角形猜一猜紙片下是什么三角形？鈍角三角形鈍角三角形直角三角形銳角三角形判斷：（3）任何一個三角形至少有2個銳角（）（1）有1個角是鈍角的三角形一定是鈍角三角形。（）（2）有1個角是銳角的三角形一定是銳角三角形。（）（4）有2個角是銳角的三角形不一定是銳角三角形。（）③概念同化的條件內(nèi)部條件：學生認知結構中有同化新概念的有關知識。舊知識越鞏固，越清晰，則新概念的同化越容易。外部條件：必須把原有的有關概念精確分化。練習1.自然數(shù)概念的學習。2.偶數(shù)、奇數(shù)，質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念的學習。3。數(shù)學概念學習應注意的問題（1）注意選擇學習新概念的感性材料和經(jīng)驗。材料或經(jīng)驗的數(shù)量要足夠。材料要典型。要選用那些能反映概念本質(zhì)屬性的典型材料說明概念。材料的表現(xiàn)形式：既要有“標準式”，又要提供變式。例8材料的典型性圓的認識正方形長方形三角形平行四邊形梯形圓例：認識圓go折一折·O圓心

半徑r

直徑d·（2）注意概念教學的階段性和連貫性（3）幫助學生形成概念系統(tǒng)銳角三角形直角三角形鈍角三角形三角形（按角分）不等邊三角形等腰三角形三角形（按邊分）只有兩邊相等的等腰三角形等邊三角形①用分類的方法表示概念外延間的關系②用增加內(nèi)涵的方法表示概念之間的屬種關系四邊形平行四邊形長方形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形兩組對邊分別平行有一個角是直角鄰邊相等鄰邊相等有一個角是直角

一組對邊平行另一組對邊不平行兩腰相等

有一個角是直角有一個角是直角且鄰邊相等直角三角形銳角三角形鈍角三角形三角形按角分③用集合圖表示概念外延間的關系類型線段射線直線端點有2個端點延伸方向可不可度量可度量有1個端點向一個方向無限延伸不可度量無端點向兩個方向無限延伸不可度量不向任何一方延伸③用集合圖表示概念外延間的關系（4）注意在概念教學中培養(yǎng)學生的思維能力在概念教學的過程中，要組織學生在觀察的基礎上進行分析、綜合、比較、抽象、概括，獲得概念，進而依據(jù)概念進行判斷、推理，把培養(yǎng)學生思維能力的工作貫穿始終。直徑：例9：半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段。通過圓心并且兩端都在圓上的線段。在同一個圓中，半徑有無數(shù)條，且每條半徑都相等.在同一個圓中，且每條直徑都相等.直徑有無數(shù)條，oCDGHMNBFE圖中哪些是半徑？哪些是直徑？哪些不是，為什么？指出下列線段哪些是半徑，哪些是直徑。為什么車輪要做成圓的，車軸應裝在哪里？例10質(zhì)數(shù)和合數(shù)1、由1—20的各自然數(shù)中，奇數(shù)有哪些？偶數(shù)有哪些？奇數(shù)

偶數(shù)

2、想一想：自然數(shù)分成偶數(shù)和奇數(shù),是按什么標準分的?自然數(shù)分成偶數(shù)和奇數(shù)是按能否被2整除來分的。1357911131517192468101214161820復習寫出下面每個數(shù)的所有的約數(shù)：1的約數(shù)：（）2的約數(shù)：（）3的約數(shù)：（）4的約數(shù)：（）5的約數(shù)：（）6的約數(shù)：（）7的約數(shù)：（）8的約數(shù)：（）9的約數(shù)：（）10的約數(shù)：（）11的約數(shù)：（）12的約數(shù)：（）1、2、3、4、6、121、111、2、5、101、71、2、4、81、3、911、31、21、2、3、61、51、2、4有一個約數(shù)的：1有二個約數(shù)的：2、3、5、7、11有兩個以上約數(shù)的：4、9、6、8、10、12思考:按照每個數(shù)的約數(shù)的多少，可以分為哪幾種情況？有二個約數(shù)的：

2、3、5、7、11……有兩個以上約數(shù)的：

4、9、6、8、10、12……質(zhì)數(shù)合數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)只有兩個約數(shù)的數(shù)有兩個以上約數(shù)的數(shù)有一個約數(shù)的：1二、數(shù)學規(guī)則的學習過程（1）數(shù)學規(guī)則，是兩個或者兩個以上數(shù)學概念之間固有關系的敘述，通常以經(jīng)過嚴格論證的數(shù)學命題的形式呈現(xiàn)。在小學數(shù)學學習中，數(shù)學規(guī)則的學習主要是運算性質(zhì)、運算法則和公式的學習。下位學習：原有命題在概括水平上高于新命題。例：Aa1a4a2a3（原有的一般概念）新學的觀念（原有的具體觀念）（2）數(shù)學規(guī)則的分類上位學習：新命題在概括水平上高于原命題。例：Aa1a2a3新學的觀念原有的具體觀念新的學習為a1、a2、a3的總括并列學習：新命題與原命題是并列關系。例：xuyvw（原有的一般觀念）新學的觀念（原有的具體觀念）x與y的相互作用，通過x的部分質(zhì)變來理解y。2.數(shù)學規(guī)則學習的基本形式

數(shù)學規(guī)則學習的關鍵是獲得數(shù)學概念之間關系的理解，而數(shù)學概念之間各種關系的獲得又依賴于新命題與原有認知結構中有關知識的聯(lián)系。（1）例——規(guī)法先呈現(xiàn)規(guī)則的若干肯定例證，然后從例證中概括出一般結論，從而獲得規(guī)則的方法。小學數(shù)學學習中，大多數(shù)規(guī)則的學習都采用這種形式，是一種上位學習。例11商不變的性質(zhì)倉庫路小學劉建民猴王分桃每3只小猴分6個桃子吧！

不夠！不夠！好吧！給你們60個桃子，30只小猴分著吃吧。真拿你們沒辦法，

給你們600個桃子，

不過得300個小猴分。

這下你們該滿意了吧！不夠，不夠！真拿你們沒辦法，

給你們600個桃子，

不過得300個小猴分。

這下你們該滿意了吧！夠了，夠了！6個桃，平均分給3個猴子。

60個桃，平均分給30個猴子。

600個桃，平均分給300個猴子。

平均每個小猴子分幾個桃子？

6÷3＝2（個）

60÷30＝2（個）

600÷300＝2（個）

6÷3=（個）

60÷30=（個）

600÷300=（個）

222被除數(shù)變變不變除數(shù)商

被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或者除以相同的數(shù)（零除外）它們的商不變。這叫做商不變的性質(zhì)。

在“猴王分桃”的故事中，現(xiàn)在你知道猴王是運用什么規(guī)律教育幫助貪吃的小猴子肥肥的嗎？

商不變的性質(zhì)

（2）規(guī)——例法先推導出要學習的規(guī)則，然后用實例說明規(guī)則的方法。一般屬于下位學習。梯形面積公式5A冊計算在方格紙上的梯形面積例12這是一個梯形，它有一對平行的邊。上面的邊稱為上底。下面的邊稱為下底。上底和下底之間的垂直距離稱為高。利用兩個相同的梯形可以拼砌成一個平行四邊形。平行四邊形的面積=梯形的面積×2梯形的面積=

(上底+下底)

梯形的面積=

(上底+

下底)

×

高÷2上底下底高高底×高

÷2÷2==上底+

下底平行四邊形的面積÷2底×高計算下列梯形的面積。25cm1.42cm35cm上底=cm，下底=cm，高=cm。面積︰(+)×÷2

=(cm2)上底=cm，下底=cm，高=cm。面積==(cm2)2.10cm14cm8cm253542253542126081410110(8+14)×10÷2上底=cm，下底=cm，高=cm。面積==(cm2)上底=cm，下底=cm，高=cm。625面積==(cm2)456(6+2)×5÷2(4+5)×6÷220271cm1cm3.數(shù)學規(guī)則學習應注意的問題（1）學習新規(guī)則要與已掌握的知識聯(lián)系，把新規(guī)則納入到原有的認知結構。大象的重量

轉(zhuǎn)化成石塊的重量秤出石塊的重量答案曹沖稱象為防“非典”，我們學?？倓仗幚罾蠋熢诹?）班消毒用了小時，在六（2）班消毒用了小時。李老師一共用了多少小時？1、先獨立進行嘗試計算。2、再小組合作交流、匯總計算方法。3、最后小組討論“轉(zhuǎn)化”方案。+=+=+=+=例13：異分母分數(shù)加法計算例題：為防“非典”，我們學校總務處李老師在六（1）班消毒用了小時，在六（2）班消毒用了小時。李老師在六（1）班比六（2）班多化了多少小時？想：分母不同，不能直接相減怎么辦？

用你喜歡的計算方法任選幾題進行計算。+––+異分母分數(shù)加減法異分母分數(shù)加減法通分轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)加減法按照同分母分數(shù)加減法的方法進行計算答案異分母分數(shù)加減法的計算方法：

異分母分數(shù)相加減，先（），然后按照（）加減法的方法進行計算。通分同分母分數(shù)分數(shù)加減法的驗算方法與整數(shù)加減法的驗算方法相同。練習一：看圖填空。+=+=（）（）（）（）（）++=練習二：下面的計算對嗎？把不對的改正過來。（1）+=

（2）–=××=+===（2）弄清新規(guī)則的形成過程筆算。14×2=45×6=225×3=你能說說一個因數(shù)是一位數(shù)的乘法法則嗎？1、從個位起，用一位數(shù)依次乘多位數(shù)的每一位數(shù)；2、哪一位乘的積滿幾十，就向前一位進幾。例14：兩位數(shù)乘以兩位數(shù)3、每盒彩色筆24枝，3盒一共有多少枝？24×3=72（枝）答：3盒一共有72枝。4、10盒一共有多少枝？24×10=240（枝）答：有240枝。如果我們買了13盒筆，每盒24枝，那么一共有多少枝筆呢？想一想：怎樣列式？你能把24乘13變成已學過的計算嗎？2、10盒的枝數(shù)：24×10=240（枝）

24×102403、13盒的枝數(shù)：把兩次乘的數(shù)加起來。72+240=321（枝）

72+240312你能把上面的計算寫成一個豎式嗎？1、3盒的數(shù)：24×3=72（枝）

24×372練一練：

25×13=32525×137525325個位的3×25的積十位的1×25的積（13×25）的積鞏固練習：先計算，再寫出計算步驟。42×23=4223×1、先用個位上的（）乘42，得（）。2、用十位上的（）乘42，得（）。3、把（）與（）加起來得（）。3126284012684096625×10=？12510×50200250

5×1020×10250+2510×250簡化25×10=？1250果汁糖20

盒，每盒32粒，共有果汁糖多少粒？232×20=3220×640共有果汁糖

640粒。64012×13=？31213×120

3615612×1012×3156+56×11=？45611×560

5661656×1056×1616+橙41

袋，每袋12個，共有橙多少個？512×41=共有橙492個。4921241×480

12492+（3）通過規(guī)則的系統(tǒng)化，完善學生的認知結構小結：兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算：1、先用第二個因數(shù)的個位去乘第一個因數(shù)，得數(shù)末尾和第一個因數(shù)的個位對齊。2、再用第二個因數(shù)的十位去乘第一個因數(shù)，得數(shù)末位和第一個因數(shù)的十位對齊。3、然后把兩次乘得的積加起來。練習小學數(shù)學規(guī)則學習有哪些形式？舉例說明。3.4數(shù)學技能的學習過程P851.數(shù)學技能的含義及作用技能是指順利完成某種任務的一種操作性活動方式或心智活動方式。它是一種接近自動化的、復雜而較為完善的動作系統(tǒng)，是通過有目的、有計劃的練習而形成的。數(shù)學技能通常表現(xiàn)為完成某種數(shù)學活動是一系列動作的協(xié)調(diào)和活動方式的自動化，這種協(xié)調(diào)的電子和自動化的或多方式是在已有的數(shù)學經(jīng)驗基礎上經(jīng)過反復練習而形成的。數(shù)學技能與數(shù)學知識和數(shù)學能力既有密切聯(lián)系，又有本質(zhì)區(qū)別。一、數(shù)學技能及其分類（1）數(shù)學心智技能。一種借助于內(nèi)部言語進行的認知活動，以思維為其主要成分。如口算技能、筆算、解方程技能等。（2）數(shù)學操作技能，一種通過外部活動或操作去完成的技能，由各個局部動作按一定的程序連貫而成的外部操作活動方式。如作圖技能、測量技能、使用計算工具(算盤、數(shù)學用表、計算器、計算機等)的技能。2.數(shù)學技能的分類二、數(shù)學心智技能的學習過程小學數(shù)學技能學習中，最主要的是數(shù)學心智技能的學習。心智技能的形成過程是一個從外部的物質(zhì)活動到內(nèi)部心智活動的轉(zhuǎn)化過程，即內(nèi)化的過程。(一)認知階段了解并記住與技能有關的知識，了解活動的過程和結果。(二)示范、模仿階段學生在教師的示范下，把在頭腦中已初步建立起來的活動程序已外顯的操作方式付諸執(zhí)行，以獲得數(shù)學技能。(三)有意識的言語階段學生進行數(shù)學活動時，不用模仿就能自己進行言語表述，往往是邊說邊做，在這一過程中，學生對于活動方式是明確意識到的。(四)無意識的內(nèi)部言語階段學生不自覺地運用運算法則進行運算，運算過程的進行和運算法則的運用完全自如了。例15小數(shù)的乘法(三)小數(shù)乘小數(shù)準備題:6×3=18

因數(shù)6和3都擴大10倍，積就擴大100(10×10)倍。（６×１０）×（３×１０）（６×１００）×（３×１０）因數(shù)６擴大１００倍，因數(shù)３擴大１０倍積就擴大（）倍。（６×１０）×（３×１０００）因數(shù)６擴大１０倍，因數(shù)３擴大１０００倍，積就擴大（）倍例４：認知階段

51.2×0.8-----------------40.96

51.2×0.8=40.96擴大10倍512擴大10倍×8------------縮小100倍