正態(tài)總體的置信區(qū)間

第四節(jié)正態(tài)總體的置信區(qū)間一.單正態(tài)總體N(,2)的情況二.小結(jié)單正態(tài)總體均值(方差已知)的置信區(qū)間;單正態(tài)總體均值(方差未知)的置信區(qū)間;單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間;下面介紹正態(tài)總體的置信區(qū)間，分為下列情形:單正態(tài)總體均值(方差已知)的置信區(qū)間;單正態(tài)總體均值(方差未知)的置信區(qū)間;單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間;雙正態(tài)總體均值差(方差已知)的置信區(qū)間;(1)(2)(3)(4)雙正態(tài)總體均值差(方差未知但相等)的置信區(qū)間.雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間.(5)(6)而本節(jié)主要介紹前三種正態(tài)總體的置信區(qū)間.明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？~N(0,1)選的點(diǎn)估計(jì)為

尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解：

尋找一個(gè)包含待估參數(shù)和樣本的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.1.單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間（1）設(shè)總體X~N(,2),2已知，未知，設(shè)X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，求的置信度為1-的置信區(qū)間。一、單正態(tài)總體N(,2)的情況對(duì)給定的置信水平查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得對(duì)于給定的置信水平(大概率),根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使從中解得則的一個(gè)置信度為1-的置信區(qū)間為說明：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有對(duì)稱性，利用雙側(cè)分位數(shù)來計(jì)算未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間，間長度在所有這類區(qū)間中是最短的.其區(qū)

當(dāng)然希望區(qū)間長度越短越好，但區(qū)間長度短，n必須大，即需耗費(fèi)代價(jià)高，故在實(shí)際問題中，要具體分析，適當(dāng)掌握，不能走極端。注意(1)

區(qū)間長度當(dāng)給定時(shí)，置信區(qū)間的長度與n有關(guān).(2)

置信度為1-的置信區(qū)間并不唯一。若概率密度函數(shù)的圖形是單峰且對(duì)稱,當(dāng)n固定時(shí)，取兩端對(duì)稱的區(qū)間，其長度為最短。結(jié)論例1某旅行社為調(diào)查當(dāng)?shù)芈糜握叩钠骄M(fèi)額,機(jī)訪問了100名旅游者,得知平均消費(fèi)額元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),已知旅游者消費(fèi)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)為95%置信區(qū)間.解對(duì)于給定的置信度查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表將數(shù)據(jù)隨元,差求該旅游者平均消費(fèi)額的置信度代入計(jì)算得的置信度為95%的置信區(qū)間為即在已知情形下,可77.6元至82.4元之間.以95%的置信度認(rèn)為每個(gè)旅游者的平均消費(fèi)額在自己動(dòng)手已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5~6歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;注意如果X服從任意分布,只要n充分大,仍可用作為總體均值的置信區(qū)間這是因?yàn)橛芍行臉O限定理可知,無論X服從什么分布,當(dāng)n充分大時(shí),隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。給定置信度1-,X1,X2,…,Xn是來自N(,2)的樣本,分別是樣本均值和樣本方差2.單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間（2）2為未知用樣本方差來代替2統(tǒng)計(jì)量則的置信度為1-的置信區(qū)間為例2某旅行社隨機(jī)訪問了25名旅游者,得知平均消費(fèi)額元,樣本標(biāo)準(zhǔn)差元,已知旅游者消費(fèi)額服從正態(tài)分布,的置信區(qū)間.解對(duì)于給定的置信度將代入計(jì)算得的置信度為95%的置信區(qū)間為求旅游者平均消費(fèi)的95%即在未知情況下,均消費(fèi)額在75.05元至84.95元之間,這個(gè)估計(jì)的可靠度是95%.估計(jì)每個(gè)旅游者的平均值的置信區(qū)間(1)2為已知,的置信度為1-的置信區(qū)間為(2)2未知,的置信度為1-的置信區(qū)間為若未知,利用樣本方差構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量給定,先查2分布的臨界表求得12,22使得3.單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間給定置信度1-,X1,X2,…,Xn是來自N(,2)的樣本,是樣本方差,從而方差2的置信度為1-的置信區(qū)間為標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為1-的置信區(qū)間為方差的置信區(qū)間例3.有一大批糖果，從中隨機(jī)地取16袋，稱得重量(以克計(jì))如下：

508499503504510497512505493496506502509496

設(shè)袋裝糖果得重量近似地服從正態(tài)分布，求(1)正態(tài)總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。(2)總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解(1)1-=0.95/2=0.025n-1=15t0.025(15)=2.1315s=6.2022則的置信度為0.95的置信區(qū)間為(500.4,507.1).2未知,的置信度為1-的置信區(qū)間為則方差2的置信度為1-的置信區(qū)間為(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=15s=6.2022總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為(4.58,9.60)假定出生嬰兒(男孩)的體重服從正態(tài)分布，隨機(jī)地抽取12名新生嬰兒，測(cè)其體重為

310025203000300036003160356033202880260034002540(1)以0.95的置信度估計(jì)新生男嬰兒的平均體重。

(2)以0.95的置信度對(duì)新生男嬰兒體重的方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。思考解(1)1-＝0.95/2=0.025n-1=11t0.025(11)=2.201s=375.3則的置信度為0.95的置信區(qū)間為(2818,3295).(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=11(n-1)S2=1549467查表得總體方差2的置信區(qū)間為(70752,405620)。

這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì).說明課堂練習(xí)

隨機(jī)地取炮彈10發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差,炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.由解

隨機(jī)地取炮彈10發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差,炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.于是