第十一章非參數(shù)檢驗

第十一章非參數(shù)檢驗假設(shè)檢驗的方法有兩種：參數(shù)檢驗（parametrictest）和非參數(shù)檢驗（non–parametrictest）。各種參數(shù)檢驗的共同特點：是對總體參數(shù)的推論(包括參數(shù)估計與假設(shè)檢驗)，要求樣本所屬的總體呈正態(tài)分布、總體方差齊性等等。參數(shù)檢驗主要適用于等距變量和比率變量的資料。非參數(shù)檢驗:不要求樣本所屬的總體呈正態(tài)分布，一般也不是對總體參數(shù)進(jìn)行檢驗。非參數(shù)檢驗不僅適用于非正態(tài)總體名義變量和次序變量的資料，而且也適用于正態(tài)總體等距變量和比率變量的資料。非參數(shù)檢驗的特點1．一般不需要嚴(yán)格的前提假設(shè)。2．非參數(shù)檢驗特別適用于順序資料或等級變量。3．非參數(shù)檢驗適用于小樣本，且方法簡單。4．非參數(shù)檢驗最大的不足是未能充分利用資料的全部信息,檢驗精度比參數(shù)檢驗要差。5．非參數(shù)方法目前還不能處理“交互作用”。

非參數(shù)假設(shè)檢驗方法兩獨立樣本均值差異的非參數(shù)檢驗秩和檢驗法(Mann-Whitney-U檢驗)兩相關(guān)樣本均值差異的非參數(shù)檢驗符號檢驗法符號秩和檢驗法（WilcoxonSigned–Ranktest）等級方差分析克-瓦氏單向方差分析（完全隨機(jī)設(shè)計方差分析）Friedmantest（重復(fù)測量設(shè)計方差分析）一、兩獨立樣本的非參數(shù)檢驗

秩和檢驗（Mann-Whitney-U檢驗）最早是由Wilcox提出，后經(jīng)Mann-Whitney加以完善。適合于相互獨立的兩個樣本在總體分布不服從正態(tài)分布的前提下，比較其平均值是否存在顯著差異的問題（對應(yīng)于獨立樣本T檢驗）。例：從某班隨機(jī)抽取5名走讀生和6名住校生，測得英語口語成績見下表。問走讀生與住校生英語口語成績是否有顯著差異？

走讀生與住校生英語口語測驗成績走讀生4238354132住校生561960433855基本思想假設(shè)兩組數(shù)據(jù)沒有顯著性差異，那把這些數(shù)據(jù)充分混合再依大小順序重新排列，則這兩組數(shù)據(jù)中哪個數(shù)據(jù)排在第幾的概率應(yīng)該是一樣的。如果相差太大則應(yīng)否定沒有顯著差異的假設(shè)。秩和檢驗1.小樣本情況

n1和n2都小于10，且n1≤n2時，將兩個樣本的數(shù)據(jù)合在一起編秩次（從小到大賦予等級），計算容量小的樣本的秩次和T（等級和）。

走讀生與住校生英語口語測驗成績走讀生4238354132住校生561960433855

學(xué)生英語口語測驗成績秩和檢驗計算表原始分?jǐn)?shù)走讀生4238354132住校生561960433855等級分?jǐn)?shù)走讀生74.5362住校生1011184.59Ｔ＝22.5檢驗步驟①提出假設(shè)②編秩次（將兩樣本數(shù)據(jù)混合在一起）③求秩和（求容量較小的樣本的秩次和，并表示為Ｔ）④查秩和檢驗表14，做出統(tǒng)計決斷：

秩和檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則T與兩側(cè)臨界值比較

顯著性

T1＜Ｔ

＜Ｔ2

不顯著Ｔ

≤

Ｔ1或Ｔ≥Ｔ2顯著Ｔ＝22.5例：從某班隨機(jī)抽取5名走讀生和6名住校生，測得英語口語成績見下表。問走讀生與住校生英語口語成績是否有顯著差異？

走讀生與住校生英語口語測驗成績走讀生4238354132住校生561960433855

學(xué)生英語口語測驗成績秩和檢驗計算表原始分?jǐn)?shù)走讀生4238354132住校生561960433855等級分?jǐn)?shù)走讀生74.5362住校生1011184.59Ｔ＝22.5根據(jù)n1＝5，n2＝6查表當(dāng)顯著性水平為0.05(雙側(cè))時，Ｔ1＝19，T2＝41差異不顯著。2．大樣本情況

當(dāng)n1和n2都大于10，秩和T的分布接近于正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

n1≤n2檢驗統(tǒng)計量計算為小結(jié)秩和檢驗法（Mann-Whitney-U檢驗），針對的是兩獨立樣本。如果樣本的數(shù)據(jù)不能滿足參數(shù)檢驗中獨立樣本t檢驗的要求（正態(tài)總體，方差未知），可以用這種方法進(jìn)行差異檢驗，但檢驗精度比參數(shù)檢驗要差。二、兩相關(guān)樣本的非參數(shù)檢驗兩相關(guān)樣本的數(shù)據(jù)是一一對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)，因此相關(guān)樣本又稱為配對樣本。符號檢驗法符號秩和檢驗又稱為WilcoxonSigned–Ranktest，也簡稱為Wilcoxontest。1．符號檢驗法符號檢驗法（signtest）以每一對數(shù)據(jù)之差的正負(fù)符號的數(shù)目進(jìn)行檢驗。檢驗思想是：如果兩樣本沒有顯著性差異，則兩樣本中每一對數(shù)據(jù)之差所得的正號與負(fù)號的數(shù)目應(yīng)大致相當(dāng)。實際應(yīng)用中，遇到無法用數(shù)字描述的問題，符號檢驗法是一種簡單而有效的檢驗方法。

例1：將三歲幼兒經(jīng)過配對而成的實驗組施以五種顏色命名的教學(xué)，而對照組不施以教學(xué)，后期測驗得分見下表。問進(jìn)行教學(xué)與不進(jìn)行教學(xué)，幼兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？

關(guān)于五種顏色命名得分的測驗結(jié)果序號123456789101112實驗組X1182026142525211214172019對照組X21320241027172181511622⑴．小樣本情況(N≤25)

檢驗步驟①．提出假設(shè)②．觀察每一對數(shù)據(jù)的差數(shù)并記符號③．分別將正號和負(fù)號的個數(shù)記為n+和n-，0不計。④．將n+和n-較小的一個記為r,并計算N＝n+＋n-⑤．確定檢驗形式，查表15并做出統(tǒng)計決斷，若r大于臨界值，則表示兩組差異無統(tǒng)計意義。

單側(cè)符號檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則r與臨界值比較

P值

顯著性

檢驗結(jié)果

r

＞r

0.05

P＞0.05不顯著在0.05顯著性水平保留H0，拒絕H1r0.01＜

r

≤r0.050.05≥P＞0.01顯著＊在0.05顯著性水平拒絕H0，接受H1r

≤

r0.01P≤0.01極其顯著＊＊在0.01顯著性水平拒絕H0，接受H1例1：將三歲幼兒經(jīng)過配對而成的實驗組施以五種顏色命名的教學(xué)，而對照組不施以教學(xué)，后期測驗得分見下表。問進(jìn)行教學(xué)與不進(jìn)行教學(xué)，幼兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？

關(guān)于五種顏色命名得分的測驗結(jié)果序號123456789101112實驗組X1182026142525211214172019對照組X21320241027172181511622

關(guān)于五種顏色命名得分的符號檢驗計算表序號123456789101112實驗組X1182026142525211214172019對照組X21320241027172181511622差數(shù)符號+0++-+0+-++-計算：n+=7，n-=3，因此

N=n++n-=10，r=3查表：

N=10時，r0.05=1，本題r=3，差異不顯著練習(xí)研究者想調(diào)查特殊訓(xùn)練是否可以提高領(lǐng)導(dǎo)力，取了兩組智力相當(dāng)?shù)谋辉囘M(jìn)行匹配，其中一組進(jìn)行特殊訓(xùn)練，一組不進(jìn)行訓(xùn)練，問：受過特殊訓(xùn)練的被試的領(lǐng)導(dǎo)力是否優(yōu)于沒有受過訓(xùn)練的被試。組別實驗組控制組1474024338336424332553029622267251682118914810124115712931355計算：n+=9，n-=3，因此

N=n++n-=12，r=3查表：

N=12時，r0.05=2，本題r=3，差異不顯著⑵．大樣本情況(N＞25)n+與n-服從二項分布，大樣本時，由于二項分布接近于正態(tài)分布，可用Ｚ作為檢驗統(tǒng)計量，采用正態(tài)近似法。附表中的數(shù)據(jù)雖然可滿足N從1到90的情況，但在實際應(yīng)用中，當(dāng)N＞25時常常使用正態(tài)近似法。

在零假設(shè)條件下，二項分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

N＝n+＋n-為了使計算結(jié)果更接近正態(tài)分布，可用校正公式計算：

統(tǒng)計量的計算公式為：

N＝n+＋n-min(n+，n-)例2：32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練后與訓(xùn)練前測驗成績見下表。問三天的集中訓(xùn)練有無顯著效果？

集訓(xùn)前后成績序號前測后測序號前測后測序號前測后測序號前測后測

142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945計算n+＝22，n-＝9，N＝n++n-＝31，r＝92.符號等級檢驗（符號秩和檢驗)

（1）小樣本情況(N≤25)

當(dāng)N≤25時，用查表法進(jìn)行符號等級檢驗:①．提出假設(shè)：②．求差數(shù)的絕對值③．編秩次(賦予每一對數(shù)據(jù)差數(shù)的絕對值等級數(shù))。④．添符號(給每一對數(shù)據(jù)差數(shù)的等級分?jǐn)?shù)添符號)⑤．求等級和（分正、負(fù)求等級和，將小的記為Ｔ）⑥．查符號等級檢驗表16，做出統(tǒng)計決斷，若T大于臨界值，則表示兩組差異無統(tǒng)計意義。

符號等級檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則T與臨界值比較

P值

顯著性

檢驗結(jié)果

Ｔ

＞Ｔ0.05

P＞0.05不顯著在0.05顯著性水平保留H0，拒絕H1Ｔ0.01＜Ｔ≤Ｔ

0.050.05≥P＞0.01顯著＊在0.05顯著性水平拒絕H0，接受H1Ｔ

≤

Ｔ0.01P≤0.01極其顯著＊＊在0.01顯著性水平拒絕H0，接受H1例：將三歲幼兒經(jīng)過配對而成的實驗組施以五種顏色命名的教學(xué)，而對照組不施以教學(xué)，后期測驗得分見下表。問進(jìn)行教學(xué)與不進(jìn)行教學(xué)，幼兒對顏色命名的成績是否有顯著差異？

關(guān)于五種顏色命名得分的測驗結(jié)果序號123456789101112實驗組X1182026142525211214172019對照組X21320241027172181511622關(guān)于五種顏色命名得分的符號檢驗計算表序號123456789101112實驗組X1182026142525211214172019對照組X21320241027172181511622計算：T＋=47.5，T－=7.5，因此

T=7.5查表16：

N=10時(差數(shù)為0不計)，T0.05=8，差異顯著差數(shù)5024280416143等級72.55.52.595.518104添符號+++–++–++–練習(xí)某年級隨機(jī)抽取英語成績相當(dāng)?shù)?名男生和8名女生分別進(jìn)行一段時間的訓(xùn)練，訓(xùn)練后的成績?nèi)缦卤硭荆摲椒▽δ信Ч嗤?？匹配組女生男生1141221310311104121251513610127131181514N=7T＋=23.5，T－=4.5，因此

T=4.5查表16：

N=7時(差數(shù)為0不計)，T0.05=2，差異不顯著（2）．大樣本情況(N＞25)當(dāng)N>25時，等級和的分布接近于正態(tài)分布，因此有例：32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練后與訓(xùn)練前測驗成績見下表。問三天的集中訓(xùn)練有無顯著效果？集訓(xùn)前后成績計算表序號前測后測序號前測后測序號前測后測序號前測后測

142409606417504425203623835104739182526266042353561112151963592751444494112323020453728282352421136561213932293430654601448582248533062687433415545223665631606085140166258245754324945計算Ｔ+＝356.5

Ｔ-＝139.5

因此,Ｔ＝139.5，N＝31符號檢驗、符號等級檢驗法（WilcoxonSigned–Ranktest），針對的是相關(guān)樣本。如果樣本的數(shù)據(jù)不能滿足參數(shù)檢驗中相關(guān)樣本t檢驗的要求，可以用這兩種方法進(jìn)行差異檢驗，但檢驗精度比參數(shù)檢驗要差。小結(jié)三、等級方差分析

方差分析前提條件：“總體正態(tài)”、“方差齊性”、“獨立性”數(shù)據(jù)類型：連續(xù)型測量數(shù)據(jù)等級方差分析克-瓦氏單向等級方差分析弗里德曼雙向等級方差分析

1．克-瓦氏單向等級方差分析又稱為克-瓦氏Ｈ檢驗法（Kruskal–WallisH）用于對多組獨立樣本進(jìn)行分析，對應(yīng)于參數(shù)檢驗法中的完全隨機(jī)設(shè)計方差分析。

例：三個小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著差異？

三個小組圖畫成績計算表序號原始分?jǐn)?shù)甲乙丙162458527760793687882454567657062合計Ｎ＝5＋5＋4＝14基本分析過程：

將多組樣本數(shù)據(jù)合在一起編秩次（從小到大賦予等級）計算各組樣本的等級和Ｒi代入統(tǒng)計量公式計算Ｈ查統(tǒng)計表17做出統(tǒng)計結(jié)論

統(tǒng)計量計算公式為公式中，N為各組頻數(shù)總和，ni為各組樣本容量，

Ri為各組數(shù)據(jù)秩次和。

統(tǒng)計決斷方法

⑴．樣本容量較小或組數(shù)較少情況當(dāng)各組的容量n≤5，樣本組數(shù)k=3，可查Ｈ檢驗表，根據(jù)相應(yīng)的樣本容量找出概率值。（p≤0.05時差異顯著）例：三個小組圖畫成績見下表，問三組成績是否有顯著差異？

三個小組圖畫成績計算表等級分?jǐn)?shù)甲乙丙5.5114104127111323985.5R1=32.5R2=24.5R3=48序號原始分?jǐn)?shù)甲乙丙162458527760793687882454567657062合計Ｎ＝5＋5＋4＝14計算根據(jù)k＝3，n1＝5，n2＝5，n3＝4

查表判斷⑵．樣本容量較大或組數(shù)較多情況

當(dāng)各組容量n＞5，或者樣本組數(shù)k＞3時，查自由度df＝k－1的χ2分布表，進(jìn)行統(tǒng)計決斷。2．弗里德曼雙向等級方差分析

弗里德曼雙向等級方差分析（Friedmantest）用于多組相關(guān)樣本，是重復(fù)測量實驗設(shè)計的非參數(shù)檢驗。基本分析過程：

將每名被試（每一區(qū)組）的K個數(shù)據(jù)從小到大排列