曲面與曲線方程

四、二次曲面第四單元向量代數(shù)與空間解析幾何一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面§4.2曲面與曲線方程五、空間曲線的一般方程六、空間曲線的參數(shù)方程七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說(shuō)明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問(wèn)題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例2.

研究方程解:

配方得可見(jiàn)此方程表示一個(gè)球面說(shuō)明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過(guò)配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例4.

求坐標(biāo)面xOz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為三、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在

xOy面上，表示圓C,沿圓周C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過(guò)此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線xOz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xOy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yOz面上的曲線l2.母線四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號(hào))特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到)五、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.六、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

x,y,z表示成參數(shù)

t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.例5.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為例6.求空間曲線:繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:點(diǎn)M1繞

z

軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)過(guò)角度后到點(diǎn)則這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程.例如,

直線繞z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為消去t

和

,得旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面(即球面)方程為又如,

xOz

面上的半圓周說(shuō)明:

一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù),形如七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xOy面上的投影曲線C′為消去x得C在yOz

面上的投影曲線方程消去y得C在zOx面上的投影曲線方程例如,在xOy面上的投影曲線方程為又如,所圍的立體在xOy

面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面在xOy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xOy面上的投影曲線所圍之域.內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓