復(fù)變函數(shù)與積分變換 山東大學(xué)

第3章復(fù)變函數(shù)的積分§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念和性質(zhì)§3.2柯西積分定理及其應(yīng)用§3.3柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系復(fù)習(xí)、引入第一型曲線積分

設(shè)有光滑曲線

,,.f(x,y)是定義在

L上的連續(xù)函數(shù).則:第二型曲線積分設(shè)L為光滑或按段光滑曲線:

函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在L上連續(xù),則沿L的自然方向有:3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念和性質(zhì)

一、定義------化整為零,取零為整

設(shè)在復(fù)平面C上有一條連接Z0及Z兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線C。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上連續(xù)的函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實(shí)部及虛部。

把曲線C用分點(diǎn)分成n個(gè)更小的弧，在這里分點(diǎn)在曲線C上,按從到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一點(diǎn)，那么下列和式的極限(對(duì)任意分法和的取法都存在且相同),記與實(shí)函數(shù)中第二型線積分類比C的參數(shù)方程線積分dz?復(fù)積分一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分二、積分存在的條件及其計(jì)算方法1)C為連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。3)化為參變量的定積分來計(jì)算。2)可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來計(jì)算。例1計(jì)算其中為以為圓心，為半徑的正向圓周,為整數(shù).三、積分的性質(zhì)例2計(jì)算的值，其中為沿從（0，0）到（1，0）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折線。

解:例3計(jì)算的值，其中為沿

從（0，0）到（1，1）的線段：解:例4計(jì)算其中為從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。解直線的方程可寫成

練習(xí):對(duì)例4中的積分沿下列路徑計(jì)算

(1)當(dāng)C為從原點(diǎn)到(3,0),再?gòu)?3,0)到點(diǎn)(3,4)的折線;(2)當(dāng)C為從原點(diǎn)到(0,3),再?gòu)?0,3)到點(diǎn)(3,4)的折線時(shí),積分的結(jié)果又為何值呢?

觀察例3、例4兩個(gè)線積分的結(jié)果，分析兩種被積函數(shù)的特征，你會(huì)得出怎樣的結(jié)論？3.2柯西積分定理及其應(yīng)用回顧一、柯西積分定理二、解析函數(shù)的原函數(shù)與等價(jià)定理定理一如果函數(shù)在單連域內(nèi)處處解析，那么積分與連結(jié)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路徑無關(guān).定理二如果函數(shù)在單連域B內(nèi)處處解析，那末函數(shù)必為B內(nèi)的解析函數(shù),且，其中F(z)稱為f(z)的原函數(shù).

利用原函數(shù)的這個(gè)關(guān)系，推得與牛頓—萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分的計(jì)算公式。結(jié)論：的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù).此時(shí)實(shí)函數(shù)積分的換元、分部積分法均可推廣使用定理三

如果函數(shù)f(z)在單連域B內(nèi)處處解析,G(z)為的一個(gè)原函數(shù),那么解:

例5計(jì)算

例6計(jì)算

解：例7計(jì)算

解：三、復(fù)合閉路定理—柯西定理在多連域的推廣所圍成的多連通區(qū)域，

(互不包含且互不相交)，定理四：四、閉路變形原理—復(fù)合閉路定理的特例證明：取這說明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理例8試求的值，C為包含0和1在內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。解：閉路變形原理§3.3柯西積分公式若

f(z)在D內(nèi)解析，則分析：一、柯西積分公式(3.3.1)

上述公式稱為柯西積分公式.通過該公式可以把一個(gè)函數(shù)在C內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值表示出來。例9計(jì)算(沿圓周正向)

解由公式(3.3.1)得例10

解：二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)其中為函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含于。

一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各階導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同,關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有:定理:解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的階導(dǎo)數(shù)為:二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)其中為函數(shù)的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全含于。

一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各階導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)完全不同,關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)我們有:定理:解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的階導(dǎo)數(shù)為:例11求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.

高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過積分來求導(dǎo),而在于利用求導(dǎo)計(jì)算積分.§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義1若(稱此為調(diào)和方程或Laplace方程)

定理1：證明：同樣可得且u,v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)注：逆定理顯然不成立，即

對(duì)區(qū)域D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)不一定是解析函數(shù).例如：定義2定理2：在區(qū)域D內(nèi)解析

解析函數(shù)的虛部必為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù)已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用C-R方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。例1已知調(diào)和函數(shù)求一解析函數(shù)解：（法一）由C-R方程于是（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）例2證明：函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)但不是解析函數(shù)。證由于所以故是全平面上的調(diào)和函數(shù)，除原點(diǎn)外在全平面上調(diào)和。但,不滿足C-R條件，所以不是解析函數(shù)。例3證明：若為調(diào)和函數(shù)且不等于常數(shù)，則不是調(diào)和函數(shù)。證因?yàn)闉檎{(diào)和函數(shù)，所以又同理例4求形如的最一般的調(diào)和函數(shù)。并求其共軛調(diào)和函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的解析函數(shù)。令故

即的一般形式的調(diào)和函數(shù)為其中為任意常