第5章 傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)-濾波、調(diào)制與抽樣

重點：1.無失真?zhèn)鬏?.理想濾波器第5章傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)——濾波、調(diào)制與抽樣5.2利用系統(tǒng)函數(shù)H(jω)求響應(yīng)拉氏變換傅氏變換S=jω

（有條件）H(s)E(s)R(s)R(s)=E(s)H(s)h(t)激勵e(t)響應(yīng)r(t)r(t)=e(t)*h(t)H(jω)E(jω)R(jω)R(jω)=E(jω)H(jω)在時域中其中：H(j)=FT[h(t)]稱頻域系統(tǒng)函數(shù)則h(t)=IFT[H(j)]稱時域沖激響應(yīng)也稱系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。稱為幅頻特性，稱相頻特性。激勵的頻譜響應(yīng)的頻譜一、周期性信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在頻域中設(shè)激勵f(t)=ejt式中為h(t)的傅里葉變換，則系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為可見，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)是等于激勵ejt

乘以加權(quán)函數(shù)H(j)，此加權(quán)函數(shù)H(j)即為頻域系統(tǒng)函數(shù)，亦即為h(t)的傅里葉變換。！正弦周期激勵f(t)=Acos(ω0t)求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)y(t)所以設(shè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為例

若輸入信號求系統(tǒng)響應(yīng)因此系統(tǒng)響應(yīng)為因為故響應(yīng)y2(t)=0對于作用于系統(tǒng)時，用疊加定理：作用于系統(tǒng)時解例

正弦波通過RC電路求系統(tǒng)響應(yīng)y(t)

幅頻特性相頻特性系統(tǒng)函數(shù)為解帶寬B=1/RC

設(shè)B=1000rad/s

即τ=RC=0.001b=[01000];a=[11000];%生成向量b，a[h,w]=freqs(b,a,0:5000);%求系統(tǒng)頻響特性h1=abs(h);%求幅頻響應(yīng)h2=angle(h)*180/pi;%求相頻響應(yīng)subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel('角頻率w(rad/s)');ylabel('幅值H(jw)');subplot(212);plot(w,h2);gridxlabel('角頻率w(rad/s)');ylabel('相位(度)');畫RC電路頻響特性波形圖MATLAB源程序為：程序運行結(jié)果如圖所示。用MATLAB畫出的幅頻和相頻特性圖截止頻率當(dāng)rad/s時所以，系統(tǒng)響應(yīng)為

當(dāng)rad/s時用MATLAB畫出的輸入和輸出波形某線性非時變系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(j)|和相頻響應(yīng)()如圖所示。若激勵,求該系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。()-220-|H(j)|2-220解例該信號通過系統(tǒng)后，其響應(yīng)的頻譜為：傅里葉反變換即可得：因為當(dāng)|ω|≥2時，|H(jω)|=0；所以|ω|≥2激勵的F(jω)中的各項沖激頻譜[如δ(ω+2)+δ(ω-2)]被系統(tǒng)|H(jω)|濾掉。非正弦周期信號激勵時的響應(yīng)由于這類計算通常比較煩瑣，因此最適合用Matlab來計算。輸出信號的頻譜為輸出信號的響應(yīng)為例輸入信號的頻譜為RC電路，若輸入信號為周期矩形脈沖波如下圖所示。求系統(tǒng)響應(yīng)。解其中，T1=2，基波頻率ω1=2π/T1=π，τ=1因此，有RC電路的頻率響應(yīng)為ω1T1RC電路的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)響應(yīng)為輸出信號的頻譜為因此RC電路輸出的幅度頻譜RC電路輸出的時域波形

頻域分析方法的求解步驟為：1、先求出輸入信號的頻譜F(j)和頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j)2、由于y(t)=h(t)f(t)，利用連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換的時域卷積性質(zhì)，有

Y(j)=H(j)F(j)3、將Y(j)進行傅里葉反變換就得到y(tǒng)(t)二、非周期信號通過線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)補充RC電路，若輸入信號為矩形脈沖波如圖所示。求系統(tǒng)響應(yīng)。矩形脈沖波輸入信號的頻譜為解RC電路的系統(tǒng)函數(shù)為因此，輸出頻譜為因為令1/RC=a，可得用Matlab畫出的輸出信號的頻譜如圖所示圖中畫出了帶寬的兩種情況RC電路輸出的幅度頻譜RC電路輸出的時域波形由于RC電路的低通特性，高頻分量有較大的衰減，故輸出波形不能迅速變化。輸出波形不再是矩形脈沖信號，而是以指數(shù)規(guī)律逐漸上升和下降。當(dāng)帶寬增加時，允許更多的高頻分量通過，輸出波形的上升與下降時間縮短，和輸入信號波形相比，失真減小。結(jié)論在如圖所示系統(tǒng)中，f(t)為已知激勵

，。例求零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。即有：H(j)=F[h(t)]=-jsgn()故得：Y(j)=H(j)F(j)=[-jsgn()][-jsgn()]F(j)=-sgn()sgn()F(j)=-F(j)所以：y(t)=-f(t)可見此系統(tǒng)為一反相器。根據(jù)對偶性設(shè)f(t)F(j)解h(t)h(t)f(t)y(t)為起始頻率，，1．h=freqs(b,a,w)式中對應(yīng)于式(3-159)中的向量，對應(yīng)于式（3-159）中的向量使用形式如為終止頻率，為頻率取樣間隔。向量返回在頻率向量上的系統(tǒng)函數(shù)樣值。，w為頻率取值范圍，2．[h,w]=freqs(b,a)該調(diào)用格式將計算默認頻率范圍內(nèi)200個頻率點的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量h，200個頻率點記錄在w中。三、MATLAB仿真實現(xiàn)4．freqs(b,a)該調(diào)用格式并不返回系統(tǒng)函數(shù)樣值，而是以對數(shù)坐標(biāo)的方式繪出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。3．[h,w]=freqs(b,a,n)該調(diào)用格式將計算默認頻率范圍內(nèi)200個頻率點的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量，個頻率點記錄在w中。試用MATLAB的freqs()函數(shù)求解該系統(tǒng)頻率響應(yīng)并繪圖。，，右圖是常見的用RLC元件構(gòu)成的某系統(tǒng)電路。設(shè)例

RLC二階低通濾波器電路圖根據(jù)原理圖，容易寫出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：式中，將R、L、C的值代入的表達式，得：解b=[001];a=[0.080.41];%生成向量b，a[h,w]=freqs(b,a,100);%求系統(tǒng)頻響特性h1=abs(h);%求幅頻響應(yīng)h2=angle(h);%求相頻響應(yīng)subplot(211);plot(w,h1);gridxlabel('角頻率(w)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅頻特性');subplot(212);plot(w,h2*180/pi);gridxlabel('角頻率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相頻特性');MATLAB源程序為：程序運行結(jié)果如圖所示。RLC二階低通濾波器的幅頻特性及相頻特性5.3無失真?zhèn)鬏敻拍顭o失真?zhèn)鬏斨篙敵鲂盘柵c輸入信號只是大小和出現(xiàn)的時間不同，而其波形形狀相同。x(t)t系統(tǒng)y(t)tt01K即：y(t)=K

x(t-t0)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)為：

1．幅頻特性在整個頻率范圍內(nèi)為一常數(shù)，即系統(tǒng)的帶寬為無窮大；2．相頻特性在整個頻率范圍內(nèi)為一通過原點的直線，其斜率為。可看出,無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)在頻域應(yīng)滿足的條件為：失真分類若系統(tǒng)輸出響應(yīng)中出現(xiàn)有輸入激勵信號中所沒有的新頻率分量，則稱之為非線性失真。非線性失真線性失真僅讓信號的幅度和相位發(fā)生了失真。在線性失真中響應(yīng)信號中不會出現(xiàn)激勵信號中所沒有的新頻率成分。

線性失真（1）幅度失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，引起幅度失真。（2）相位失真：系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，造成各頻率分量在時間軸上的相對位置變化，引起相位失真。線性信號失真的原因：

5.4理想低通濾波器理想濾波器指信號的部分頻率分量可無失真的完全通過，而另一部分頻率分量則完全通不過。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)即將頻率低于的信號無失真的傳送，而將頻率高于的信號完全阻止。

濾波器的截止頻率理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為使信號通過的頻率范圍。通帶阻止信號通過的頻率范圍。

阻帶|H(jω)|t通帶阻帶1.理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為0理想低通濾波器由圖可見，沖激信號經(jīng)過理想低通濾波器后，波形發(fā)生了嚴重的失真，這是由于沖激信號的頻譜為白色譜，即它的頻帶寬度為無限寬。即只有沖激函數(shù)的低頻分量通過了濾波器，故導(dǎo)致波形發(fā)生了嚴重的失真。！欲使h(t)不失真，理想低通濾波器的帶寬必須為無限寬，即應(yīng)滿足無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件。理想低通濾波器為一非因果系統(tǒng)，實際中是不可實現(xiàn)的，但在分析和設(shè)計濾波器時仍具有理論指導(dǎo)意義。2.理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為0階躍響應(yīng)的上升時間與理想低通濾波器的截止頻率ωc【帶寬B=ωc/2π（Hz）】成反比；階躍信號通過理想低通濾波器后，上升沿變緩，帶寬越寬，上升時間越短，上升沿變化越陡峭。

！1Otr(t)trt0tO階躍響應(yīng)波形為

理想低通濾波器補充：模擬濾波器一、巴特沃思低通濾波器的幅頻特性1.巴特沃思低通濾波器幅頻特性（最平響應(yīng)特性濾波器）指對于低通濾波器在時，其幅頻特性,幅頻特性曲線的各階導(dǎo)數(shù)為零，即在原點曲線是最平坦的，并不是指在整個通帶內(nèi)是平的，沒有波動。指對于低通濾波器在時，其幅頻特性,幅頻特性曲線的各階導(dǎo)數(shù)為零，即在原點曲線是最平坦的，并不是指在整個通帶內(nèi)是平的，沒有波動。巴特沃思低通濾波器的幅頻特性的平方為濾波器的半功率點

ω1ωco0.5n=2n=5n=4|Ha(jω)|當(dāng)N取值越大，幅頻特性在通帶內(nèi)就越平坦，過渡帶就越陡峭，衰減得就越快，其特性越接近理想的低通濾波器，濾波器的實現(xiàn)也就越復(fù)雜。

不同階次的巴特沃思低通濾波器的幅頻特性：

濾波器的階數(shù)！2.巴特沃思低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)和極點分布由于系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，則系統(tǒng)函數(shù)滿足：由上式可求出的2N個極點，即 因為

，k=1，2，3，…，2N

N=3，4時，極點在s平面的分布情況：徑為的圓周上，且以原點為對稱中心，成對出現(xiàn)，其中有N個為的極點，另外N個為的極點。的2N個極點以

為間隔，均勻地分布在半由的極點，就可寫出的表達式。如當(dāng)N=2時，為根據(jù)確定K=，因此二階巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

令，對進行頻率歸一化處理得：3.巴特沃思低通濾波器的設(shè)計理想濾波器從通帶到阻帶的變換是階躍性的，即理想濾波器的過渡帶為零。實際濾波器的幅頻特性和理想濾波器是有一定偏差的，允許的最大偏差稱之為容限。典型的低通濾波器的幅頻特性：通帶截止頻率阻帶下限頻率

要設(shè)計一個模擬濾波器，實際上就是要找一個系統(tǒng)函數(shù)來逼近理想濾波器，使之滿足技術(shù)指標(biāo)和容限圖。低通濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)一般有：

（1）通帶截止頻率（2）通帶最大衰減（3）阻帶下限頻率（4）阻帶最小衰減頻率歸一化選定某一頻率為基準(zhǔn)頻率，將實際頻率除以基準(zhǔn)頻率，所得的比值稱為歸一化頻率。

因各濾波器的工作頻率不同，為設(shè)計簡便，常將實際頻率進行歸一化。

！技術(shù)指標(biāo)為fp＝2KHz，Ap＝3dB，fs＝4KHz，As≥30dB。設(shè)計一巴特沃思低通濾波器。（3）由N＝5，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為（1）歸一化頻率：

（2）根據(jù)，As≥30dB，查圖可知，5階系統(tǒng)滿足阻帶衰減要求，即N＝5例解（4）以代入上式化簡得二、切貝雪夫低通濾波器切貝雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻特性的平方為式中，為決定等波動起伏幅度的常數(shù)；N為濾波器的階數(shù)；為N階切貝雪夫多項式。（1）定義切貝雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻特性（2）切貝雪夫多項式滿足的遞推關(guān)系（當(dāng)時）

1～4階切貝雪夫多項式的曲線如下圖：（3）不同階次切貝雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻特性曲線N=3和N=5N=4和N=6由圖可以看出：（1）當(dāng)時，在1與之間等幅波動，越小，波動幅度越小；（2）在過渡帶和阻帶即時，幅頻特性曲線單調(diào)下降，且N和的值越大，衰減得越快；（3）N為奇數(shù)時，N為偶數(shù)時；（4）無論N為何值，當(dāng)時，。！2.切貝雪夫低通濾波器的傳遞函數(shù)和極點分布令

得極點為

式中

其傳遞函數(shù)為令

代入上式得：

設(shè)

短軸長軸

結(jié)論切貝雪夫低通濾波器的極點，是一組分布在

以為長軸，以為短軸的橢橢圓上的點。

歸一化系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式取位于左半平面的N個極點，即可得到系統(tǒng)函數(shù)為：設(shè)

，對進行歸一化，得

式中

根據(jù)通帶波紋ε和階數(shù)N，的系數(shù)已被制成表格以供設(shè)計濾波器時查閱。！3．切貝雪夫低通濾波器的設(shè)計解:

設(shè)計一個切貝雪夫型模擬低通濾波器。通帶邊界頻率，通帶波動衰減，在阻帶的最小衰減，求其階數(shù)N和系統(tǒng)函數(shù)。例取由通帶波紋衰減和N=6，查表得：其歸一化傳遞函數(shù)為

令，可得所求濾波器的傳遞函數(shù)為式中4．利用MATLAB設(shè)計切貝雪夫模擬低通濾波器阻帶邊界頻率通帶衰減參數(shù)阻帶衰減參數(shù)模擬濾波器通帶邊界頻率（1）[n,wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s‘)最小階數(shù)截止頻率（2）[z,p,k]=cheblap(n)

切貝雪夫低通濾波器原型設(shè)計函數(shù)，p，z，k分別為濾波器的極點，零點和增益，n為濾波器的階數(shù)。（3）[b,a]=cheby1(n,Rp,wn,’s’)

切貝雪夫通濾波器設(shè)計函數(shù)，Rp，n，Wn分別濾波器的通帶波紋，最小階數(shù)和截止頻率，’s’表示模擬濾波器，a，b分別為濾波器的傳遞函數(shù)分子和分母多項式向量。

wp=2,Rp=1,ws=4,Rs=30;[n,wn