第四章有限元法

第四章有限元法及應(yīng)用

FEM(TheFiniteElementMethod)andApplication1教學(xué)目標(biāo)：理解有限元的特點、基本作用及分類；掌握有限元法的基本概念和有限元法的求解步驟。重點、難點：重點是有限元法的基本概念以及有限元法的求解步驟；難點是單元剛度矩陣和總體剛度矩陣的求解。2主要內(nèi)容

有限元法的基本概念(概述)

有限元法的分類有限元法的求解步驟（重點）常用有限元軟件簡介3第一節(jié)概述為什么需要有限元？隨著生產(chǎn)的發(fā)展，不斷要求設(shè)計高質(zhì)量、高水平的大型、復(fù)雜和精密的機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)。在實踐中人們也逐漸認(rèn)識到要達(dá)到正確的、高水平的設(shè)計，就必須預(yù)先通過有效的計算手段確切的了解即將誕生的機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)在未來工作時的應(yīng)力、應(yīng)變及位移等情況，從多種可能的方案中去選擇合乎要求的方案。4但是，傳統(tǒng)的一些方法往往難于完成對工程實際問題的有效分析。如彈性力學(xué)的經(jīng)典理論對于幾何上復(fù)雜、不規(guī)則邊界、有裂縫或厚度突變以及幾何非線性、材料非線性等問題往往解決很困難；優(yōu)化設(shè)計、可靠性設(shè)計等也難或根本無法解決。5蓄水后大壩的位移與應(yīng)變情況、地震時大壩的位移與應(yīng)變情況等三峽大壩的受力情況

6航天飛機(jī)飛行中的受熱分析溫度場分布

7導(dǎo)彈、飛機(jī)飛行的流體動力學(xué)分析流場分布

8磁場分布

分析衛(wèi)星、飛船在軌運(yùn)行時磁場的影響

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傳統(tǒng)方法在處理這類問題時，往往要對一個實際的物理系統(tǒng)作出多種假設(shè)，比如形狀假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)、物體的各項同性假設(shè)，然后通過經(jīng)典理論方法得出問題的解析解，這種解析解從形式上看，可以得出關(guān)于實際問題的連續(xù)解。比如用方程描述三峽大壩某一點的位移和應(yīng)變，但這樣的解析解往往和實際情況有比較大的偏差。這對于精度要求不高的領(lǐng)域是可以的，但對于有些領(lǐng)域，就不能滿足實際的需要了。

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同時，實際中常常要遇到一些幾何上復(fù)雜、不規(guī)則邊界、有裂縫或厚度突變以及幾何非線性、材料非線性的物理系統(tǒng)，對這些系統(tǒng)經(jīng)典理論解決起來相當(dāng)困難，有時甚至無法解決，也就是無法求得解析解。因此，尋求離散數(shù)值分析法就成了必由之路。常用的數(shù)值分析法有兩種：差分法和有限元法。

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差分法是在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)方法建立的微分方程中的微分dx、dy、dz變成差分Δx，Δy，Δz，從而把微分方程變成代數(shù)方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系統(tǒng)中各個離散點的物理量，用差分離散解代替連續(xù)解。這種方法要求能建立微分方程，并能給出邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此，對于一些不規(guī)則的幾何形狀和不規(guī)則的特殊邊界條件難以應(yīng)用。12一、有限元法的基本概念1.什么是有限元法

我們實際要處理的對象都是連續(xù)體，在傳統(tǒng)設(shè)計思維和方法中，是通過一些理想化的假定后，建立一組偏微分方程及其相應(yīng)的邊界條件，從而求出在連續(xù)體上任一點上未知量的值。因為點是無限多的，存在無限自由度的問題，很難直接求解這種偏微分方程用來解決實際工程問題，因此需要采用近似方法來處理。

13其中最主要的是離散化方法，把問題歸結(jié)為只求有限個離散點的數(shù)值，把無限自由度問題變成有限個自由度。什么是有限元法？？

把一個連續(xù)體分割成有限個單元，即把一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個通過節(jié)點相連的單元組成的整體，先進(jìn)行單元分析，然后再把這些單元組合起來代表原來的結(jié)構(gòu)，以得到復(fù)雜問題的近似數(shù)值解。這種方法稱為有限元法（TheFiniteElementMethod）。

14有限元法是一種以計算機(jī)為手段，通過離散化將研究對象變換成一個與原始結(jié)構(gòu)近似的數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)過一系列規(guī)范化的步驟以求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移等參數(shù)的數(shù)值計算方法。所謂離散化就是將一個連續(xù)體分割成若干個通過節(jié)點相連的單元，這樣一個有無限個自由度的結(jié)構(gòu)就變換成一個具有有限個自由度的近似結(jié)構(gòu)。

該過程還包括對單元和節(jié)點進(jìn)行編碼以及局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系的確定。15載荷載荷物理系統(tǒng)舉例16172.幾個基本概念1）單元（element）將求解的工程結(jié)構(gòu)看成是由許多小的、彼此用點聯(lián)結(jié)的基本構(gòu)件如桿、梁、板和殼組成的，這些基本構(gòu)件稱為單元。在有限元法中，單元用一組節(jié)點間相互作用的數(shù)值和矩陣（剛度系數(shù)矩陣）來描述。18單元具有以下特征：每一個單元都有確定的方程來描述在一定載荷下的響應(yīng)；模型中所有單元響應(yīng)的“和”給出了設(shè)計的總體響應(yīng)；單元中未知量的個數(shù)是有限的，因此稱為“有限單元”。192）節(jié)點（node）單元與單元之間的聯(lián)結(jié)點，稱為節(jié)點。在有限元法中，節(jié)點就是空間中的坐標(biāo)位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。3）有限元模型（model）

有限元模型真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。由一些形狀簡單的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。

每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。作為一個整體，所有單元的組合就形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

20節(jié)點:

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定相應(yīng)，相互之間存在物理作用。單元:節(jié)點間相互作用的媒介，用一組節(jié)點相互作用的數(shù)值矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。載荷載荷有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。21

對于一個具體的工程結(jié)構(gòu)，單元的劃分越小，求解的結(jié)果就越精確，同時，其計算工作量也就越大。梯子的有限元模型不到100個方程；在ANSYS分析中，一個小的有限元模型可能有幾千個未知量，涉及到的單元剛度系數(shù)幾百萬個。單元劃分的精細(xì)程度，取決于工程實際對計算結(jié)果精確性的要求。224）有限元分析有限元分析就是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。并利用簡單而又相互作用的元素（即單元），用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。有限元分析是一種模擬設(shè)計載荷條件，并且確定在載荷條件下的設(shè)計響應(yīng)的方法。它是用被稱之為“單元”的離散的塊體來模擬設(shè)計的。23

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)力電磁熱24二、有限元法的特點與作用1.有限元法的特點1）把連續(xù)體劃分成有限個單元，把單元間的連接點（節(jié)點）作為離散點；2）不考慮微分方程，而從單元本身特點進(jìn)行研究；

研究未知量在單元內(nèi)部及在單元節(jié)點上值的關(guān)系，從而導(dǎo)出單元節(jié)點響應(yīng)和對應(yīng)的載荷之間的關(guān)系，然后把它們組集起來,以求解一個以各節(jié)點響應(yīng)為未知量的代數(shù)方程組。3）理論基礎(chǔ)簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解；254）具有靈活性和適用性，適應(yīng)性強(qiáng)

它可以把形狀不同、性質(zhì)不同的單元組集起來求解，故特別適用于求解由不同構(gòu)件組合的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用范圍極為廣泛。它不僅能成功地處理如應(yīng)力分析中的非均勻材料、各向異性材料、非線性應(yīng)力應(yīng)變以及復(fù)雜的邊界條件等問題，且隨著其理論基礎(chǔ)和方法的逐步完善，還能成功地用來求解如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)及電磁場領(lǐng)域的許多問題。5）在具體推導(dǎo)運(yùn)算過程中，廣泛采用了矩陣方法。262.有限元法的作用1）減少模型試驗的數(shù)量（計算機(jī)模擬允許對大量的假設(shè)情況進(jìn)行快速而有效的試驗）；2）模擬不適合在原型上試驗的設(shè)計（例如：器官移植、人造膝蓋）；3）節(jié)省費(fèi)用，降低設(shè)計與制造、開發(fā)的成本；4）節(jié)省時間，縮短產(chǎn)品開發(fā)時間和周期；

5）創(chuàng)造出高可靠性、高品質(zhì)的產(chǎn)品。

27三、有限元法的發(fā)展1.有限元法的產(chǎn)生有限元法分析的概念可以追溯到20世紀(jì)40年代。

1943年，柯朗特（Courant）第一次在他的論文中，取定義在三角形域上的分片連續(xù)函數(shù)，利用最小勢能原理研究了圣維南（St.Venant）的扭轉(zhuǎn)問題。然而，此方法發(fā)展很慢，幾乎過了十年才再次有人用這些離散化的概念。281956年Turner,Clough,Martin和Topp等人，在他們的經(jīng)典論文中第一次給出了用三角形單元求得的平面應(yīng)力問題的真正解答，他們利用彈性理論的方程求出了三角形單元的特性，并第一次介紹了今天人們熟知的確定單元特性的直接剛度法，其研究工作隨同當(dāng)時出現(xiàn)的數(shù)值計算機(jī)一起打開了求解復(fù)雜平面彈性問題的新局面。291960年美國的克勞夫(W.Clough)采用此方法進(jìn)行飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析時首次將這種方法起名為“有限單元法”，簡稱“有限元法”。此后有限元法在工程界獲得了廣泛的應(yīng)用。到20世紀(jì)70年代以后，隨著計算機(jī)和軟件技術(shù)的發(fā)展，有限元法也隨之迅速的發(fā)展起來，發(fā)表的論文猶如雨后春筍，學(xué)術(shù)交流頻繁，期刊、專著不斷出現(xiàn)，可以說進(jìn)入了有限元法的鼎盛時期，對有限元法進(jìn)行了全面而深入地研究。302.有限元法的應(yīng)用目前，有限元法廣泛應(yīng)用于固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)、聲學(xué)、生物力學(xué)等各個領(lǐng)域。1）可求解由桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構(gòu)成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動力問題）；2）可求解各類場分布問題的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題；31

當(dāng)前，有限元法已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)分析的有效方法和手段，它幾乎被用于所有連續(xù)介質(zhì)和場的問題。3）可求解水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。32結(jié)構(gòu)分析用于確定變形、應(yīng)變、應(yīng)力及反作用力。靜力分析用于靜態(tài)荷載.可以考慮結(jié)構(gòu)的線性及非線性行為，例如：大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等.超彈密封結(jié)構(gòu)分析33提供標(biāo)準(zhǔn)的隱式動力學(xué)分析以外，還提供了顯式動力學(xué)分析模塊。用于模擬非常大的變形，慣性力占支配地位，并考慮所有的非線性行為.它的顯式方程求解沖擊、碰撞、快速成型等問題，是目前求解這類問題最有效的方法.結(jié)構(gòu)分析（續(xù)）34可進(jìn)行顯示動力分析模擬以慣性力為主的大變形分析。用于模擬沖擊、碰撞、快速成形等。35鋼材軋制過程模擬沖壓成形的模擬36熱分析熱分析用于確定物體中的溫度分布?？赡M三種熱傳遞方式：熱傳導(dǎo)、熱對流、熱輻射。穩(wěn)態(tài)分析忽略時間效應(yīng)瞬態(tài)分析確定以時間為函數(shù)的溫度值等?？赡M相變（熔化及凝固）37電飯煲熱分析仿真：分析電飯煲內(nèi)的米飯在加熱完成后放置6個小時，鍋體及米飯的最終溫度。38電磁分析電磁分析用于計算電磁裝置中的磁場靜態(tài)磁場及低頻電磁場分析模擬由直流電源，低頻交流電或低頻瞬時信號引起的磁場。例如：螺線管制動器、電動機(jī)、變壓器磁場分析中考慮的物理量是：磁通量密度、磁場密度、磁力和磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等。39磁性元件電機(jī)磁場分布40流體分析計算流體動力學(xué)(CFD)用于確定流體中的流動狀態(tài)和溫度。能模擬層流和湍流，可壓縮和不可壓縮流體，以及多組份流。應(yīng)用：航空航天，電子元件封裝，汽車設(shè)計。典型的物理量是：速度，壓力，溫度，對流換熱系數(shù)。41SC/Tetra—大型通用流體分析軟件42例：大型金屬鑄件熱應(yīng)力有限元分析1.熱—應(yīng)力分析理論根據(jù)熱彈性理論，熱傳導(dǎo)方程為：其中，k為傳導(dǎo)系數(shù)，a是擴(kuò)散系數(shù)，T為溫度，ε是應(yīng)變。此即計算熱應(yīng)力分析的基本公式。432.有限元分析此有限元分析過程分為兩部分：首先進(jìn)行瞬態(tài)熱分析，然后把計算結(jié)果中的溫度分布作為熱載荷施加在應(yīng)力分析中進(jìn)行計算。2.1有限元模型此金屬鑄件長2.3米、高2米、厚1.1米，中間有開口，下部分是半圓形結(jié)構(gòu)，材料為鑄鐵，重量28噸左右。有限元模型如圖1，圖2是網(wǎng)格劃分圖，單元采用10節(jié)點的四面體單元。44452.2瞬態(tài)熱分析瞬態(tài)熱分析目的是計算鑄件從300℃恒溫場中突然放置在室溫空氣中不同時刻的溫度變化，并找出溫度梯度最大的時刻及溫度分布，為下一步應(yīng)力計算做準(zhǔn)備。對所有節(jié)點給一個初始300℃溫度。設(shè)置相應(yīng)的導(dǎo)熱系數(shù)、密度、比熱和對流換熱系數(shù)。計算不同時刻的溫度分布，經(jīng)計算在90分鐘時溫度梯度最大。此時的溫度分布如圖3。46472.3熱應(yīng)力分析熱應(yīng)力分析時分析某種溫度分布載荷下結(jié)構(gòu)的變形及應(yīng)力。此分析要設(shè)置相應(yīng)材料的彈性模量和泊松比，以及聯(lián)系熱分析與結(jié)構(gòu)分析的重要參數(shù)熱膨脹系數(shù)。第一步瞬態(tài)熱分析時的溫度分布作為載荷施加在此步的熱應(yīng)力分析中，并對上部邊緣做適當(dāng)?shù)奈灰萍s束。熱應(yīng)力的分析結(jié)果見圖4和5。4849一、結(jié)構(gòu)有限元法的分類

結(jié)構(gòu)有限元法可以分為兩類，即線彈性有限元法和非線性有限元法。其中線彈性有限元法是非線性有限元法的基礎(chǔ)，二者不但在分析方法和研究步驟上有類似之處，而且后者常常要引用前者的某些結(jié)果。第二節(jié)有限元法的分類501.線彈性有限元

線彈性有限元是以理想彈性體為研究對象的，所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上。在這類問題中，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，滿足廣義胡克定律；位移與應(yīng)變也是線性關(guān)系，線彈性問題可歸結(jié)為求解線性方程問題，所以只需要較少的計算時間。線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動力學(xué)分析兩方面。512.非線性有限元非線性問題與線彈性問題的區(qū)別：非線性問題的方程是非線性的，一般需要迭代求解；非線性問題不能采用疊加原理；非線性問題不總有一致解，有時甚至沒有解。以上三方面的因素使得非線性問題的求解過程比線彈性問題更加復(fù)雜、費(fèi)用更高和更具有不可預(yù)知性。521）材料非線性問題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的，但應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系，這類問題屬于材料的非線性問題。由于從理論上還不能提供能普遍接受的應(yīng)力與應(yīng)變的函數(shù)關(guān)系，所以，一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗數(shù)據(jù)，有時非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實際中較為重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、粘塑性及蠕變等。

532）幾何非線性問題幾何非線性問題是由于應(yīng)變與位移之間存在非線性關(guān)系引起的。當(dāng)物體的位移較大時，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系。研究這類問題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系。它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題屬于大位移小應(yīng)變問題，橡膠部件形成過程為大應(yīng)變問題。

543）非線性邊界在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時遇到的一些接觸問題，如齒輪傳動、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等，當(dāng)一個結(jié)構(gòu)與另一個結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件。實際的非線性可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。55二、有限單元的類型

根據(jù)研究對象的不同，有限元法中采用的單元形式也不相同。

通常，按照單元結(jié)構(gòu)，可將單元劃分為一維單元（線單元）、二維單元（面單元）和三維單元。JIJKLI一維單元二維單元POMNKJIL三維單元56按照單元結(jié)構(gòu)特點和受力特點，可將單元劃分為：1）桁架桿單元：主要應(yīng)用于受軸向力作用的桿和桿系，如桁架結(jié)構(gòu)；2）剛架桿單元：用于梁及剛架結(jié)構(gòu)分析；3）三角形平面單元：主要用于彈性力學(xué)中平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的有限元分析；4）三棱圓環(huán)單元：用于軸對稱問題的有限元分析；5）等參數(shù)單元：用于一些具有曲線輪廓的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。57第三節(jié)

有限元法的求解方法與步驟58一、有限元法求解的基本步驟1.結(jié)構(gòu)離散化：對整個結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個單元，單元間彼此通過節(jié)點相連；2.求出各單元的剛度矩陣：

是由單元節(jié)點位移量求單元節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為；

3.集成總體剛度矩陣[K]并寫出總體平衡方程：[K]是由整體節(jié)點位移向量求整體節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為，這就是總體平衡方程；

594.引入邊界條件，求出各節(jié)點的位移

節(jié)點的邊界條件有兩種：一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為零，另一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為一給定值。5.求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變

60確定總體剛度矩陣[K]的辦法1）直接利用總體剛度系數(shù)的定義

在求出整體結(jié)構(gòu)中各節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系的基礎(chǔ)上獲得總體剛度矩陣。此方法只在簡單情況下才能采用。2）集成法

將整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣進(jìn)行迭加而得。這里所說的迭加不是簡單的相加，而是將下角標(biāo)相同的剛度系數(shù)相加，然后按總碼的順序?qū)μ柸胱?13）利用節(jié)點間的剛度系數(shù)直接寫出總體剛度矩陣

總體剛度矩陣對角線上的剛度系數(shù)等于在節(jié)點i匯交的幾個單元的剛度系數(shù)之和；非對角線上的剛度系數(shù)等于聯(lián)結(jié)節(jié)點i與節(jié)點j間幾個單元的剛度系數(shù)之和。62二、有限元法分析過程

有限元法分析過程大體可分為：前處理、分析、后處理三大步驟。1.前處理

對實際的連續(xù)體離散化后就建立了有限元分析模型，這一過程是有限元法的前處理過程。在這一階段，要構(gòu)造計算對象的幾何模型，要劃分有限元網(wǎng)格，要生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)，這一步是有限元分析的關(guān)鍵。

632.有限元分析

有限元分析過程主要包括：單元分析、整體分析、載荷移置、引入約束、求解約束方程等過程。這一過程是有限元分析的核心部分，有限元理論主要體現(xiàn)在這一過程中。

結(jié)構(gòu)有限元法包括三類：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。64

有限元位移法以節(jié)點位移作為基本未知量；

有限元力法以節(jié)點力作為未知量；

有限元混合法的一部分基本未知量為節(jié)點位移，另一部分基本未知量為節(jié)點力。有限元位移法計算過程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)，特別適宜于編程求解。一般除板殼問題的有限元應(yīng)用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。

因此，一般不做特別聲明時，有限元法指的是有限元位移法。

653.有限元分析的后處理

有限元分析的后處理主要包括對計算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示三個方面。它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為設(shè)計人員直接需要的信息，如應(yīng)力分布狀態(tài)、結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設(shè)計人員迅速的評價和校核設(shè)計方案。66三、有限元求解實例分析

【例1】一根由兩段組成的階梯軸，一端固定，另一端承受一個軸向載荷F3。這兩段的橫截面積分別為A(1)和A(2)，長度分別為L(1)和L(2)，彈性模量分別為E(1)和E(2)

，如圖所示。求出這兩段的應(yīng)力和應(yīng)變。已知數(shù)據(jù)分別為F3=100N，

671①2②3A(1)E(1)A(2)E(2)L(1)

L(2)

Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3①②21368【解】1.離散化

把這根階梯軸看成是由兩個單元組成的，節(jié)點選在截面積突變處，兩個單元的連接處是一個節(jié)點，該階梯軸的兩端視為另外兩個節(jié)點，所以整個結(jié)構(gòu)共有三個節(jié)點。這根軸是一維結(jié)構(gòu)，并只受軸向載荷，因此各單元內(nèi)只有軸向位移。三個節(jié)點位置的位移量分別記為、、。在整個結(jié)構(gòu)中節(jié)點載荷及節(jié)點位移均用大寫字母標(biāo)記，其角標(biāo)為節(jié)點在總體結(jié)構(gòu)中的編碼，簡稱總碼。

①②21369

下面分析某等截面單元（e）。當(dāng)兩端分別承受兩個軸向力和作用時的位移情況。根據(jù)材料力學(xué)的知識可知，在兩端節(jié)點i、j處的位移量和與軸向力和的關(guān)系式為：2）求單元剛度矩陣70

在分析單元剛度矩陣時，載荷F和位移等參數(shù)的上角標(biāo)為該單元的編碼，下角標(biāo)為該單元內(nèi)節(jié)點的局部編碼。上兩式可寫成：或簡寫為：注意:71式中——為單元剛度矩陣或單元特性矩陣，其階數(shù)等于單元中所包含的節(jié)點數(shù)；——為單元節(jié)點力向量（列陣）；72——為單元節(jié)點位移向量（列陣），也為單元自由度列陣；將單元剛度矩陣改寫成矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式，則73

該矩陣中任意一個元素都稱為單元剛度系數(shù)，它表示：

該單元內(nèi)除節(jié)點j產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i

處所引起的載荷。743.總體剛度矩陣的集成和總體平衡方程的寫出

該階梯軸上三個節(jié)點位移、、和三個節(jié)點軸向力分別組成該整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量和節(jié)點軸向力向量。

兩向量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為或

①②21375

上式中的轉(zhuǎn)移矩陣稱為總體剛度矩陣或總體特性矩陣，其階數(shù)等于總體結(jié)構(gòu)中的節(jié)點總數(shù)。

[K]中的元素稱為總體剛度系數(shù)，它表示在整體結(jié)構(gòu)中除了節(jié)點j

產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i處所引起的載荷。

76

求出總體剛度矩陣是進(jìn)行總體分析的主要任務(wù)，一旦獲得總體剛度矩陣，可以很容易地寫出總體平衡方程。求總體剛度矩陣[K]的方法主要由兩種：一是直接法，即根據(jù)總體剛度系數(shù)的定義求解；另一種方法是集成法，即由各單元剛度矩陣求總體剛度矩陣。

77

根據(jù)剛度系數(shù)的定義，當(dāng)本結(jié)構(gòu)中的節(jié)點2和節(jié)點3位移量均為零時，要使節(jié)點1產(chǎn)生單位位移，在節(jié)點1處所需施加的載荷為，此即為K11；當(dāng)節(jié)點1、3固定，節(jié)點2產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點1處所引起的載荷為，此即為K12；(1)直接法求總體剛度矩陣[K]①②21378

當(dāng)節(jié)點1、2固定，節(jié)點3產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點1處不會引起載荷，因此K13=0；當(dāng)節(jié)點1、3固定，節(jié)點2產(chǎn)生單位位移時，要在節(jié)點2施加的載荷為，此即為K22；還可以按此方法依次寫出其余各總體剛度系數(shù)。①②21379用直接法求總體剛度矩陣[K]

這種方法具有概念清晰的特點，但是在分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)時運(yùn)算極其復(fù)雜，因而限制了它的應(yīng)用。

80(2)用集成法求總體剛度矩陣[K]

這種方法從單元剛度矩陣出發(fā)，根據(jù)迭加原理，利用剛度系數(shù)集成的方法獲得總體剛度矩陣。這樣，首先要寫出各單元的剛度矩陣。局部碼1(1)2(1)1(2)2(2)總碼1223局部碼與總碼對應(yīng)關(guān)系81約定：82集成[K]的步驟為：1)將原單元剛度矩陣中的各系數(shù)總碼進(jìn)行標(biāo)記，則83總體平衡方程為：從上式可以看出，兩種方法獲得的總體剛度矩陣相同。2)將角標(biāo)相同的系數(shù)相加，并按總碼的順序排列，則總體剛度矩陣為844.引入支撐條件，計算節(jié)點位移

上式中的未知量仍不能求出，因為[K]是一個奇異矩陣，必須引入支撐條件。在本例中支撐條件是節(jié)點1的位移為零，即這樣總體平衡方程簡化為：

85

代入已知條件：

可求得：

865.求單元中的應(yīng)力及應(yīng)變單元1中的應(yīng)變：單元2中的應(yīng)變：單元1中的應(yīng)力：單元2中的應(yīng)力：

87一般而言，剛度矩陣具有如下特性：1）對稱性

單元剛度矩陣和總體剛度矩陣都是對稱方陣，即由第j個節(jié)點單位位移引起的第i個節(jié)點載荷和由第i個節(jié)點單位位移引起的第j個節(jié)點載荷是相等的。這是彈性結(jié)構(gòu)一個共同的特點。這種對稱性可減少矩陣存儲運(yùn)算時的內(nèi)存量。

882）奇異性

單元剛度矩陣和總體剛度矩陣都是奇異矩陣，即它們的行列式都等于0，這樣，其逆陣就不存在。因此，對總體剛度矩陣要引入邊界條件進(jìn)行處理之后才能求解。3）稀疏性

總體剛度矩陣是零元素非常多的矩陣。結(jié)構(gòu)越大，零元素越多。大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是非常稀疏的矩陣。

89【例2】在光滑的水平面上有三個小車，他們彼此用四根彈簧相連，其連接方式如圖1-2所示。小車1又通過彈簧k1與墻壁固連。每個小車上的作用力分別為F1、F2、F3。求每個小車的位移。

9091

將每根彈簧都看成是一個單元，共有5個單元，將他們按彈簧的編號進(jìn)行單元編號。三個小車處為三個節(jié)點，編碼如圖。從前面的例子可以看出，對固定節(jié)點若無需求出其約束力時，可不予以考慮。解：(1)結(jié)構(gòu)的離散化92單元1：一端為固定約束，另一端節(jié)點總碼為1，則單元2：兩端節(jié)點總碼分別為1和2，則（2）各單元的剛度矩陣93單元3：兩端節(jié)點總碼也分別為1和2，則單元4：兩端節(jié)點總碼分別為1和3，則單元5：兩端節(jié)點總碼分別為2和3，則95（3）集成總體剛度矩陣96（4）由總體平衡方程求節(jié)點位移式中：97由此可求出三個節(jié)點即三個小車的位移。

98【例3】用有限元法求解某系統(tǒng)的過程中，將系統(tǒng)劃分成3個單元，這3個單元通過3個節(jié)點相連接，節(jié)點局部編碼與總體編碼的對照如下表所示，請寫出該系統(tǒng)的總體剛度矩陣。

局部碼1（1）1（2）2（2）1（3）2（3）總碼11223已知：

99100第四節(jié)

常用有限元軟件簡介101一、通用有限元軟件的共同之處

有限元的高度通用性與實用性導(dǎo)致了有限元通用程序的發(fā)展。四十多年來，有限元通用軟件的發(fā)展在數(shù)量和規(guī)模上是驚人的。這些通用有限元軟件的共同之處可歸結(jié)為以下幾點：

1.功能強(qiáng)大。一般都可以進(jìn)行多種物理場分析，如結(jié)構(gòu)分析、溫度場分析、電磁場分析、流場分析、多場耦合分析等；

102

2.具有豐富的材料庫?？梢蕴幚矶喾N材料，如金屬、土壤、巖石、塑料、橡膠、木材、陶瓷、混凝土、復(fù)合材料等；

3.具有多種自動網(wǎng)格劃分技術(shù)，自動進(jìn)行單元形態(tài)、求解精度檢查及修正；

4.具有強(qiáng)大的后處理及圖像處理功能；

5.具有與多種CAD系統(tǒng)直接連接的接口；

6.具有良好的用戶開發(fā)環(huán)境；

7.具有良好的維護(hù)和培訓(xùn)能力（ＧＵＩ）。103二、幾個著名的通用有限元軟件簡介ANSYSANSYS軟件是美國ANSYS公司的產(chǎn)品，該公司成立于1970年，公司總部位于美國賓夕法尼亞的匹茲堡。ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電磁場、聲場和耦合場分析于一體的大型通用有限元軟件，可廣泛應(yīng)用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機(jī)械制造、能源、汽車、國防軍工、電子、土木工程、造船、生物醫(yī)學(xué)、輕工、地礦、水利、日用家電等一般工業(yè)及科學(xué)研究。104

ANSYS公司在北京、上海、成都相繼成立了辦事處，構(gòu)成了ANSYS在中國完整的市場、銷售及售后服務(wù)體系。它的顯著特點是具有獨一無二的多場耦合分析功能，可處理高速變形和高度非線性問題（如沖擊、爆炸、碰撞、實體變形、板成形），邊界元流體動力學(xué)問題（如水下結(jié)構(gòu)振動、氣彈顫振分析）。1052.MSC.Marc

Marc軟件原為美國MARC公司的產(chǎn)品，該公司創(chuàng)建于1967年，他的創(chuàng)始人是美國著名的布朗大學(xué)教授、有限元分析的先驅(qū)者PedroMarcel。MARC公司致力于非線性有限元技術(shù)的研究、非線性有限元軟件的開發(fā)、銷售和售后服務(wù)。經(jīng)過三十多年的不懈努力，Marc軟件得到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的大力推崇和廣泛應(yīng)用，建立了他在全球非線性有限元軟件行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)地位。1061999年6月，美國MSC公司收購了MARC公司，相應(yīng)地將該軟件更名為MSC.Marc軟件。MSC公司創(chuàng)建于1963年，總部設(shè)在美國的洛杉磯。MSC.Marc軟件具有廣泛的應(yīng)用范圍，已成為解決復(fù)雜的工程問題，完成學(xué)術(shù)研究的高級通用有限元軟件。1073.ADIN