ch3期望效用理論

第三講期望效用理論學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的選擇標(biāo)準(zhǔn)2.VNM期望效用函數(shù)的產(chǎn)生及應(yīng)用3.VNM期望效用函數(shù)的問題及推廣風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)奈特(Knight.F)《風(fēng)險(xiǎn)、不確定性和利潤》中關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)和不確定性的解釋：不確定性是指發(fā)生結(jié)果尚未不知的所有情形，也即那些決策的結(jié)果明顯地依賴于不能由決策者控制的事件，并且僅在做出決策后決策者才知道其決策結(jié)果的一類問題。即知道未來世界的可能狀態(tài)(結(jié)果)，但對于每一種狀態(tài)發(fā)生的概率不清楚。風(fēng)險(xiǎn)是指那些涉及已知概率或可能性形式出現(xiàn)的隨機(jī)問題，但排除了未數(shù)量化的不確定性問題。即對于未來可能發(fā)生的所有事件，以及每一事件發(fā)生的概率有準(zhǔn)確的認(rèn)識。但對于哪一種事件會發(fā)生卻事先一無所知。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)由于對有些事件的客觀概率難以得到，人們在實(shí)際中常常根據(jù)主觀概率或者設(shè)定一個(gè)概率分布來推測未來的結(jié)果發(fā)生的可能性，因此學(xué)術(shù)界常常把具有主觀概率或設(shè)定概率分布的不同結(jié)果的事件和具有客觀概率的不同結(jié)果的事件同時(shí)視為風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)與不確定性有區(qū)別，但在操作上引入主觀概率或設(shè)定概率分布的概念后二者的界線就模糊了，幾乎成為一個(gè)等同概念。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)一個(gè)人面臨不確定結(jié)果做決策時(shí)，可以概念化為一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)概念也會用于決策過程。隨機(jī)變量是能用數(shù)字準(zhǔn)確記錄下隨機(jī)事件的不同結(jié)果的變量，表示隨機(jī)變量取不同值時(shí)的概率的函數(shù)f(x)稱為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。隨機(jī)變量的期望記為E(x)。若x是有n種結(jié)果的離散變量，則E(x)=∑ni=1xif(xi)

；若x是連續(xù)變量則E(x)=∫∞-∞xf(x)dx。，若x是有n種結(jié)果的離散變量，則var(x)=∑ni=1[xi-E(x)]2

f(xi)

；若x是連續(xù)變量，則var(x)=∫∞-∞[xi-E(x)]2f(x)dx。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)概率論知識回顧：若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X

i)=πi，i=1,2,...,n，則隨機(jī)變量X的期望值為E(X)=π1X1+π2X2+???+πnXn隨機(jī)變量X的方差為σ2(X)=π1[X1?E(X)]2+π2[X2?E(X)]2+???+πn[Xn?E(X)]2變量X的標(biāo)準(zhǔn)差為σ(X)=[σ2(X)]1/2風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)考慮三種資產(chǎn)，時(shí)期0的投資成本均為1000元，時(shí)期1的收益取決于狀態(tài)的好壞，好狀態(tài)和壞狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為1/2。時(shí)期0投資成本時(shí)期1投資收益πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)1-100012001050資產(chǎn)2-10001600500資產(chǎn)3-100016001050資產(chǎn)3無論在何種狀態(tài)下收益都大于等于資產(chǎn)1和資產(chǎn)2，資產(chǎn)3狀態(tài)占優(yōu)于(state-by-statedominance)資產(chǎn)1和資產(chǎn)2。理性投資者會選擇資產(chǎn)3而不會選擇資產(chǎn)1和資產(chǎn)。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)如果不存在資產(chǎn)3，投資者在資產(chǎn)1和資產(chǎn)2間該如何選擇？在好狀態(tài)出現(xiàn)時(shí)資產(chǎn)2的收益高于資產(chǎn)1；在壞狀態(tài)出現(xiàn)時(shí)資產(chǎn)2的損失高于資產(chǎn)1。根據(jù)投資收益/損失的絕對量大小，投資者無法在資產(chǎn)1和資產(chǎn)2間做出選擇。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算資產(chǎn)收益率有助于投資決策，三種資產(chǎn)投資收益率比較時(shí)期1投資收益率πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)120%5%資產(chǎn)260%-50%資產(chǎn)360%5%風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)資產(chǎn)1的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差E(R1)=(1/2)20+(1/2)5=12.5σ(R1)=[(1/2)(20?12.5)2+(1/2)(5?12.5)2]1/2=7.5資產(chǎn)2的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差E(R2)=(1/2)60+(1/2)(?50)=5σ(R2)=[(1/2)(60?5)2+(1/2)(?50?5)2]1/2=55資產(chǎn)3的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差E(R3)=(1/2)60+(1/2)5=32.5σ(R3)=[(1/2)(60?32.5)2+(1/2)(5?32.5)2]1/2=27.5風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)三種資產(chǎn)期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差比較時(shí)期1投資收益率E(R)σ(R)πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)120%5%12.57.5資產(chǎn)260%-50%555資產(chǎn)360%5%32.527.5與資產(chǎn)2相比，資產(chǎn)1的期望收益率更高而標(biāo)準(zhǔn)差更小，資產(chǎn)1均值-方差占優(yōu)(mean-variancedominance)于資產(chǎn)2。另外，資產(chǎn)3均值-方差占優(yōu)于資產(chǎn)2。在資產(chǎn)1與資產(chǎn)3間無法根據(jù)期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差做出選擇，不過，資產(chǎn)3狀態(tài)占優(yōu)于資產(chǎn)1。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)考慮另外兩種資產(chǎn)時(shí)期1投資收益率E(R)σ(R)πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)45%3%41資產(chǎn)58%2%53資產(chǎn)4和資產(chǎn)5之間不存在均值-方差占優(yōu)。在這種情形下，WilliamSharpe建議采用夏普比率[Sharperatios=E(R)/σ(R)]比較兩種資產(chǎn)的優(yōu)劣。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)考慮另外兩種資產(chǎn)時(shí)期1投資收益率E(R)σ(R)E/σπg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)45%3%414資產(chǎn)58%2%531.67資產(chǎn)之間不存在均值-方差占優(yōu)時(shí)，夏普比率可用于比較兩種資產(chǎn)的優(yōu)劣。資產(chǎn)4夏普比率高于資產(chǎn)5，資產(chǎn)4優(yōu)于資產(chǎn)5風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)CriteriaforChoiceOverRiskyProspects1.State-by-statedominanceisthemostrobustcriterion,butoftencannotbeapplied.2.Mean-variancedominanceismorewidely-applicable,butcansometimesbemisleadingandcannotalwaysbeapplied.3.TheSharperatiocanalwaysbeapplied,butrequiresaveryspecificassumptionaboutconsumerattitudestowardsrisk.Weneedamorecarefulandcomprehensiveapproachtocomparingrandomcashflows.不確定性下的理性決策原則投資者考慮買進(jìn)兩只當(dāng)期價(jià)格均為100元的股票，如果兩只股票的未來價(jià)格在各個(gè)狀態(tài)下都相同，投資哪只股票對投資者而言是無差異的。時(shí)期0股票價(jià)格時(shí)期1股票價(jià)格pπg(shù)oodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-100120100不確定性下的理性決策原則投資者考慮買進(jìn)兩只當(dāng)期價(jià)格均為100元的股票，如果股票2的未來價(jià)格在各個(gè)狀態(tài)下都高于股票1(狀態(tài)占優(yōu))，投資者通常選擇的是股票2。時(shí)期0股票價(jià)格時(shí)期1股票價(jià)格pπg(shù)oodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-100250105不確定性下的理性決策原則投資者考慮買進(jìn)兩只當(dāng)期價(jià)格均為100元的股票，如果股票2的未來價(jià)格在好狀態(tài)時(shí)高于股票1而在壞狀態(tài)時(shí)低于股票1，投資者應(yīng)該選擇哪只股票？時(shí)期0股票價(jià)格時(shí)期1股票價(jià)格pπg(shù)oodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-10013090如果好狀態(tài)出現(xiàn)的概率大，投資者一般選擇股票2；如果壞狀態(tài)出現(xiàn)的概率大，投資者一般選擇股票1不確定性下的理性決策原則

好狀態(tài)出現(xiàn)概率π的大小影響著股票的期望價(jià)格E(p)=πpg+(1?π)pb期望值最大化標(biāo)準(zhǔn)是不確定性下投資決策的一個(gè)重要原則。期望值標(biāo)準(zhǔn)最先由法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家布萊士·帕斯卡提出。BlaisePascal(France,1623-1662)不確定性下的理性決策原則數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)則是指使用不確定性下各種可能行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動(dòng)方案優(yōu)劣。這一準(zhǔn)則有其合理性，它可以對各種行為方案進(jìn)行準(zhǔn)確的優(yōu)劣比較，同時(shí)這一準(zhǔn)則還是收益最大準(zhǔn)則在不確定情形下的推廣。問題：是否數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是一最優(yōu)的不確定性下的行為決策準(zhǔn)則？不確定性下的理性決策原則考慮一個(gè)投幣游戲，如果第一次出現(xiàn)正面的結(jié)果，可以得到1元；第一次反面，第二次正面得2元；前兩次反面，第三次正面得4元；……；如果前n-1次都是反面，第n次出現(xiàn)正面得2n-1元。問：游戲的參加應(yīng)先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？不確定性下的理性決策原則該游戲的數(shù)學(xué)期望值：E(.)=1×1/2+2×1/4+???+2n-1×1/2n=∞但實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意支付的成本(門票)僅為2-3元。圣彼德堡悖論(SaintPetersburyParadox)：面對無窮的數(shù)學(xué)期望收益的賭博，為何人們只愿意支付有限的價(jià)格？不確定性下的理性決策原則DanielBernoulli(1700-1782)是出生于瑞士名門的著名數(shù)學(xué)家，1725-1733年期間一直在圣彼德堡科學(xué)院研究投幣游戲。其在1738年發(fā)表《對機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險(xiǎn)度量新理論”。貝努利指出人們在投資決策時(shí)不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來行動(dòng)的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財(cái)富有關(guān)。窮人與富人對于財(cái)富增加的邊際效用是不一樣的。不確定性下的理性決策原則人們關(guān)心的是最終財(cái)富的效用而不是財(cái)富的價(jià)值量，而且財(cái)富增加所帶來的邊際效用(貨幣的邊際效用)是遞減的。伯努利選擇的道德期望函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即對投幣游戲的期望值的計(jì)算應(yīng)為對其對數(shù)函數(shù)期望值的計(jì)算：其中α>0為一個(gè)確定值。不確定性下的理性決策原則Crammer(1728)采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對這一問題進(jìn)行了分析。假定u(x)=x1/2，則不確定性下的理性決策原則因此，期望收益最大化準(zhǔn)則在不確定情形下可能導(dǎo)致不可接受的結(jié)果。而貝努利提出的用期望效用標(biāo)準(zhǔn)取代期望收益的方案，可能為不確定情形下的投資選擇問題提供最終的解決方案。根據(jù)期望效用標(biāo)準(zhǔn)，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一樣好；20%的損失也不一定與2倍的10%損失一樣糟。VNM期望效用函數(shù)期望效用理論是不確定性選擇理論中最為重要的價(jià)值判斷標(biāo)準(zhǔn)。期望效用函數(shù)作為對不確定性條件下經(jīng)濟(jì)主體決策者偏好結(jié)構(gòu)的刻畫，具有廣泛的用途。不確定性下的選擇問題是其效用最大化的決定不僅對自己行動(dòng)的選擇，也取決于自然狀態(tài)本身的選擇或隨機(jī)變化。因此不確定下的選擇對象被人們稱為彩票(Lottery)。VNM期望效用函數(shù)簡單彩票(x,y,π)以π的概率提供收益x、以1?π的概率提供收益y。簡單博彩的另外一個(gè)表示方法L(x,π；y,1-π)。probabilityπprobability1?πxyVNM期望效用函數(shù)[x，y

；1]～x說明抽獎(jiǎng)的概念同樣適合于確定性財(cái)富。某一確定的擁有x，相當(dāng)于抽獎(jiǎng)的中簽率為100%，其價(jià)值為x。因此，確定商品空間是未定商品空間的一個(gè)子集。[x，y；

π]～[y，x

；1-π]則表明同樣一張抽獎(jiǎng)有兩種表示形式。消費(fèi)者不介意獎(jiǎng)被描述的次序。VNM期望效用函數(shù)設(shè)想消費(fèi)者參加一次抽獎(jiǎng)(lottery)，所有可能產(chǎn)生的結(jié)果為C，假定C的結(jié)果是有限的，用i=1，???，N來標(biāo)示這些結(jié)果，每一結(jié)果發(fā)生的概率為(pi)i?N。這樣，可將該簡單抽獎(jiǎng)記為：L(C1,???,CN;p1,???,pN),Ci?C，pi

≥0，∑pi=1VNM期望效用函數(shù)比簡單彩票更為復(fù)雜的是復(fù)合彩票(compoundlottery)，其抽獎(jiǎng)結(jié)果是眾多的簡單抽獎(jiǎng)。復(fù)合抽獎(jiǎng)(x,(y,z,τ),π)的結(jié)局是以π的概率提供支付x、以1-π的概率提供抽獎(jiǎng)(y,z,τ).π1?πxyτ1-τzVNM期望效用函數(shù)[

[x，y；p2]，y；p1]～[x，y；p1p2]是復(fù)合抽獎(jiǎng)原理的體現(xiàn)，它說明經(jīng)濟(jì)主體只關(guān)心抽獎(jiǎng)結(jié)果最終的概率分布，而不在乎抽獎(jiǎng)(彩票)的構(gòu)成形式。p11-p1p21-p2yyx

p1p21-p1p2x

yVNM期望效用函數(shù)一個(gè)結(jié)果多于兩種的簡單彩票[x

,y,z

;π,(1?π)τ，(1?π)(1-τ)]可以用一個(gè)只有兩種結(jié)果的復(fù)合彩票[x

,

[y，z；τ]

；π]表示。π1?πxyτ1-τzπxyz(1?π)τ(1?π)(1-τ)VNM期望效用函數(shù)復(fù)合博彩可以表示為：L=pL1+(1-p)L2，其中：L1:(a1,p1;a2,p2;a3,p3)，L2:(a1,q1;a2,q2;a3,q3)由全概率公式，可以得到L=(a1,pp1+(1-p)q1;a2,pp2+(1-p)q2;a3,pp3+(1-p)q3)

任何一個(gè)復(fù)合博彩都可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)簡單博彩。VNM期望效用函數(shù)在不確定性經(jīng)濟(jì)中，偏好關(guān)系建立在不同的概率分布之間。不確定條件下的偏好關(guān)系應(yīng)滿足以下三條行為公理：行為公理1：

理性選擇滿足的選擇完備性、反身性和傳遞性公理。行為公理2：獨(dú)立性公理行為公理3：阿基米德公理VNM期望效用函數(shù)(1)完備性(completeness):?x、y?

C，x

?

y、y?

x

和x

～

y

中有一種關(guān)系成立。完備性假定保證了消者具備選別判斷的能力。(2)自返性(reflexivity):?x

?

C則有x

?

x。自返性保證了消費(fèi)者對同一商品的選好具有明顯的一貫性。(3)傳遞性(transitivity):?x、y、z?

C，x

?

y、y?z則有x

?

z。如果x

?

y、y?z則有x

?

z。傳遞性保證了消費(fèi)者在不同商品之間選好的首尾一貫性。VNM期望效用函數(shù)(4)獨(dú)立性(Independence):對于所有的x，y，z?

C，λ?

(0，1)，x?y意味著λx+(1-λ)z?

λy+(1-λ)z。獨(dú)立性公理的含義是，在兩個(gè)隨機(jī)事件之外，同時(shí)引入一個(gè)額外的不確定的隨機(jī)事件或消費(fèi)計(jì)劃不會改變經(jīng)濟(jì)行為主體原有的偏好。獨(dú)立性公理是不確定性條件下選擇理論的一個(gè)核心公理。它導(dǎo)致不確定條件下選擇理論同確定條件下偏好選擇理論的差別。VNM期望效用函數(shù)(4)如果偏好關(guān)系滿足對任意博彩L1，L2，L3,以及任意的p，0<p<1,如果L1?L2，那么必定有pL1+(1-p)L3?pL2+(1-p)L3，則稱偏好關(guān)系滿足獨(dú)立性公理。利用博彩L1，L2，L3構(gòu)造新博彩y1=pL1+(1-p)L3，y2=pL2+(1-p)L3。如果L1?L2，那么y1?y2在推導(dǎo)不確定條件下的決策理論中，獨(dú)立性公理起到很大作用。然而，理性決策者的偏好關(guān)系是否滿足獨(dú)立性公理，卻一直是一個(gè)有爭議的問題，如阿萊悖論不滿足獨(dú)立性公理。VNM期望效用函數(shù)(5)阿基米德公理(theArchimedeanaxiom):對于所有的x，y，z?

C，如果x?y?z，那么就會存在λ，μ

?

(0，1)，使得λx+

(1-λ)z?y?μx+(1-μ)z。含義：即使x非常好而z非常壞，總可以尋找他們的適當(dāng)組合，比任何一個(gè)中間狀態(tài)的y好或者壞。經(jīng)濟(jì)中不存在無限好或無限差的消費(fèi)計(jì)劃。VNM期望效用函數(shù)定理：在集合C中，如果存在一種理性偏好關(guān)系滿足獨(dú)立性公理和阿基米德公理，那么就存在一個(gè)期望效用函數(shù)U(c)表示該偏好。其中期望效用函數(shù)U(c)對一件抽獎(jiǎng)商品的期望效用表示為對抽獎(jiǎng)結(jié)果的效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。如果一個(gè)隨機(jī)變量c取ci時(shí)對應(yīng)的概率為pi，參與者確定得到的效用為u(ci)，那么該隨機(jī)變量給參與者帶來的效用表示為U(c)=E(u(ci))=∑pi?u(ci)VNM期望效用函數(shù)考慮包括現(xiàn)在和未來兩期的消費(fèi)決策。令u0(c0)表示參與者現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期消費(fèi)的效用函數(shù)，由于不存在不確定性，u0(c0)是一個(gè)確定性的效用函數(shù)。未來的決策是帶概率的不確定性決策，未來消費(fèi)帶來的期望效用函數(shù)為E(u1(ci))=∑pi?u1(ci)。假設(shè)一個(gè)時(shí)期得到的效用不依賴于另一個(gè)時(shí)期的消費(fèi)，消費(fèi)者的決策問題為maxU(c)=u0(c0)+E(u1(ci))=u0(c0)+∑pi?u1(ci)VNM期望效用函數(shù)參與者期望效用函數(shù)為U(c)=u0(c0)+∑pi?u1(ci)，考慮兩個(gè)消費(fèi)計(jì)劃消費(fèi)計(jì)劃A：現(xiàn)在消費(fèi)1單位，未來兩種狀態(tài)下都消費(fèi)1單位；消費(fèi)計(jì)劃B：現(xiàn)在消費(fèi)1單位，未來兩種狀態(tài)是一種狀態(tài)消費(fèi)3單位另一種狀態(tài)消費(fèi)0單位。1111/21/21301/21/2消費(fèi)計(jì)劃A消費(fèi)計(jì)劃BVNM期望效用函數(shù)將vN-M效用函數(shù)U(z)=U(x,y,π)=πu(x)+(1?π)u(y)進(jìn)行仿射變換得到V(z)=αU(z)+β

v(x)=αu(x)+β和

v(y)=αu(y)+βV(x,y,π)=αU(x,y,π)+β

=α[πu(x)+(1?π)u(y)]+πβ+(1?π)β

=π[αu(x)+β]+(1?π)[αu(y)+β]

=πv(x)+(1?π)v(y).

這表明表示同一偏好關(guān)系的vNM效用函數(shù)不是唯一的。VNM期望效用函數(shù)假設(shè)一個(gè)時(shí)期得到的效用不依賴于另一個(gè)時(shí)期的消費(fèi)，消費(fèi)者的決策問題為maxU(c)=u0(c0)+E(u1(ci))=u0(c0)+∑pi?u1(ci)假設(shè)一個(gè)時(shí)期得到的效用依賴于另一個(gè)時(shí)期的消費(fèi)，現(xiàn)在消費(fèi)某種商品過多導(dǎo)致未來消費(fèi)該商品的欲望下降，消費(fèi)者的決策問題可表示為maxU(c)=u0(c0)+

ρE(u1(ci))=u0(c0)+

ρ∑pi?u1(ci)其中ρ為時(shí)間偏好系數(shù)VNM期望效用函數(shù)下面哪一個(gè)效用函數(shù)具有期望效用函數(shù)的性質(zhì)?A.u(c1,c2,π)=a[π?c1+(1-π)?c2]+b(a>0)B.u(c1,c2,π)=π?c1+(1-π)?c22C.u(c1,c2,π)=π?ln(c1)+(1-π)?ln(c2)+25參考答案：如果效用函數(shù)u(c1,c2,π)滿足u(c1,c2,π)=a[π?v(c1)+(1-π)?v(c2)]+b，就可以認(rèn)為u(c1,c2,π)具有期望效用函數(shù)的性質(zhì)。因此A是標(biāo)準(zhǔn)效用函數(shù)的仿射變換、B不具有期望效用函數(shù)性質(zhì)、C是標(biāo)準(zhǔn)的期望效用函數(shù)。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用一：最優(yōu)保險(xiǎn)購買水平假設(shè)擁有初始財(cái)富是m的經(jīng)濟(jì)個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，即u′(m)>0，u′′(m)<0。經(jīng)濟(jì)個(gè)體面臨著兩種自然狀態(tài)，在狀態(tài)1(不發(fā)生災(zāi)害)下的財(cái)富為y1=m，在狀態(tài)2(發(fā)生災(zāi)害)下的財(cái)富為y2=m-L，并且發(fā)生災(zāi)害的概率為p。保險(xiǎn)公司可以為災(zāi)害提供保險(xiǎn)，保費(fèi)率為π。如果投保人預(yù)先交付保費(fèi)πq，那么災(zāi)害發(fā)生時(shí)可以獲得保險(xiǎn)賠款q。因此，如果個(gè)體購買保險(xiǎn)，其期望收益為E(y)=(1-p)y1+py2=(1-p)(m-πq)

+p(m-L-πq+q)VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用投保人的期望效用函數(shù)為E[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)=(1-p)

?u(m-πq)

+p?u(m-L-πq+q)投保人的預(yù)算約束

不購買保險(xiǎn)(m，m-L)

購買保險(xiǎn)(m-πq，m-L-πq+q)預(yù)算約束線為y2=-(1-π)/π?(y1-m)+m-Ly2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用投保人的最優(yōu)決策為maxE[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)s.t.(1-π)?(y1-m)+π?y2=(1-π)?m+π?

(m-L)其中y1=m-πq，y2=m-L-πq+qy2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用最優(yōu)投保水平q*滿足一階條件即由預(yù)算線和一階條件，可以得到最優(yōu)投保水平q*。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用思考1：如果經(jīng)濟(jì)個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)偏好型的(u′′(m)>0)，且保費(fèi)是公平的，那么他的最優(yōu)投保決策是什么？思考2：如果是風(fēng)險(xiǎn)中性的(u′′(m)=0)，且保費(fèi)是公平的，又會出現(xiàn)什么情況？提示：公平保費(fèi)指使保險(xiǎn)公司期望收入為零的保費(fèi)。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)偏好投保人的最優(yōu)決策為maxE[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)s.t.(1-π)?(y1-m)+π?y2=(1-π)?m+π?

(m-L)其中y1=m-πq，y2=m-L-πq+qy2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用max(1-p)u(m-πq)+pu(m-L-πq+q)一階導(dǎo)數(shù)-(1-p)πu′(m-πq)+p(1-π)u′(m-L-πq+q)二階導(dǎo)數(shù)-(1-p)π2u′′(m-πq)+p(1-π)2u′′(m-L-πq+q)>0二階導(dǎo)數(shù)恒大于零就意味者一階導(dǎo)數(shù)是單增的。對于公平保費(fèi)，恒成立π=p

，把此式代入一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，得到：(1-p)p[-u′(m-πq)+u′(m-L-πq+q)]特別的，取q=0時(shí)，上式小于零，這就意味著消費(fèi)者增加投保只會降低其效用，所以消費(fèi)者的最優(yōu)選擇是不投保，即q*=0，VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用對于風(fēng)險(xiǎn)中性者，其效用函數(shù)為u(m)=m，所以他購買保險(xiǎn)的期望效用為：E[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)=(1-p)?(m-πq)+p?(m-L-πq+q)對于公平保費(fèi)，π=p恒成立，把此式代入上式中，得：E[u(y)]=m-pL從而投保人的效用為常數(shù)，這就說明，無論投保人是否購買保險(xiǎn)，以及購買多少，對他而言，是沒有區(qū)別的。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用二：最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資規(guī)模假設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的投資者擁有w萬元的財(cái)富，

即其效用函數(shù)滿足u′(w)>0，u′′(w)<0。他打算在一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資x萬元。這種資產(chǎn)在“好”的結(jié)果下的回報(bào)率是rgood，在“壞”的結(jié)果下的回報(bào)率是rbad，其中rgood>0，rbad<0。因此，投資者的財(cái)富在好和壞的結(jié)果中分別是：wgood=(w-x)+x(1+rgood)=w+xrgood

wbad=(w-x)+x(1+rbad)=w+xrbad假設(shè)好的結(jié)果發(fā)生的概率是π，壞的結(jié)果發(fā)生的概率是(1-

π)。那么投資者的最優(yōu)投資決策是什么？VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用投資x萬元風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望效用為U(x)=πu(w+xrg)+(1-π)u(w+xrb)投資者要選擇使這個(gè)表達(dá)式最大化的x

，對x求導(dǎo)得：U′(x)=πu′(w+xrg)rg+(1-π)u′(w+xrb)rb對于x的二階導(dǎo)數(shù)是：

U′′(x)=πu′′(w+xrg)r2g+(1-π)u′′(w+xrb)r2b如果投資者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者，那他的效用函數(shù)就是凹的，這意味著U′′(x)<

0。因此預(yù)期效用的二階導(dǎo)數(shù)一定為負(fù)，從而預(yù)期效用也是x的凹函數(shù)。特別的，取

x=0時(shí)，有：U′(x)=πu′(w)rg+(1-π)u′(w)rb=u′(w)

[πrg+(1-π)rb]VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用x=0時(shí)，U′(x)=

u′(w)

[πrg+(1-π)rb]當(dāng)πrg+(1-π)rb>0時(shí)，U′(0)>0。當(dāng)投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行一些投資時(shí)，會提高他的效用，所以他的最優(yōu)投資決策必然包含風(fēng)險(xiǎn)投資，在這種情況下，令U′(x)=πu′(w+xrg)rg+(1-π)u′(w+xrb)rb=0即可解得最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資數(shù)量x*。當(dāng)πrg+(1-π)rb<0時(shí)，U′(0)<0。當(dāng)投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行一些投資時(shí)，會降低他的效用，所以他的最優(yōu)投資決策必然不包含風(fēng)險(xiǎn)投資。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用思考：如果對投資者的風(fēng)險(xiǎn)投資按照稅率t征稅，那么該投資者的最優(yōu)投資決策又是什么？VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用如果對投資者的風(fēng)險(xiǎn)投資按照稅率t征稅，那么他的稅后報(bào)酬就是(1-t)rg和(1-t)rb

，因此，決定他最佳風(fēng)險(xiǎn)投資x的一階條件將是：U′(x)=π?

u′(w+x(1-t)rg)?(1-t)rg+(1-π)?u′(w+x(1-t)rb)?

(1-t)rb=0化簡得π?u′(w+x(1-t)rg)rg+(1-π)?u′(w+x(1-t)rb)rb=0用

x*表示沒有稅收，即當(dāng)t=0時(shí)的最大化問題的解，用x表示有稅收時(shí)的最大化問題的解，令x=x*/(1-t)

π?u′(w+[x*/(1-t)]

(1-t)rg)?rg+(1-π)?u′(w+[x*/(1-t)]

(1-t)rb)?rb=π?u′(w+x*rg)?rg+(1-π)?u′(w+x*rb)?rb=0x*是不征稅時(shí)的最優(yōu)解。征稅后，投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資會增加為征稅前的1/(1-t)

倍。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)一步思考：如果對投資者的風(fēng)險(xiǎn)投資在取得收益率rgood時(shí)按照稅率t征稅，在取得收益率rbad時(shí)按照補(bǔ)貼率率s財(cái)政補(bǔ)貼，那么該投資者的最優(yōu)投資決策又是什么？VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用為加快上海具有全球影響力的科技創(chuàng)新中心建設(shè)，促進(jìn)“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”，引導(dǎo)社會資本加大對種子期、初創(chuàng)期科技型企業(yè)投入力度，上海市科學(xué)技術(shù)委員會會同財(cái)政局、發(fā)改委2015年12月制定了《上海市天使投資風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償管理暫行辦法》。風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，是指對投資機(jī)構(gòu)投資種子期、初創(chuàng)期科技型企業(yè)，最終回收的轉(zhuǎn)讓收入與退出前累計(jì)投入該企業(yè)的投資額之間的差額部分，給予以一定比例的財(cái)務(wù)補(bǔ)償。上海市風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)臉?biāo)準(zhǔn)為對投資機(jī)構(gòu)投資種子期科技型企業(yè)項(xiàng)目所發(fā)生的投資損失，可按不超過實(shí)際投資損失的60%給予補(bǔ)償。對投資機(jī)構(gòu)投資初創(chuàng)期科技型企業(yè)項(xiàng)目所發(fā)生的投資損失，可按不超過實(shí)際投資損失的30%給予補(bǔ)償。每個(gè)投資項(xiàng)目的投資損失補(bǔ)償金額不超過300萬，單個(gè)投資機(jī)構(gòu)每年度獲得的投資損失補(bǔ)償金額不超過600萬元。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用補(bǔ)償金套取漏洞方案?先成立風(fēng)投公司A，再找人成立個(gè)兩創(chuàng)業(yè)公司B、C，A給B投資1000萬，除正常開支100萬之外，B用剩下的900萬買下C，實(shí)際錢回到自己手里，三個(gè)月后B經(jīng)營不善倒閉，再找政府補(bǔ)貼60%，600萬到手，凈利潤50%。元芳，此事你怎么看?VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用如果對投資者的風(fēng)險(xiǎn)投資在取得收益率rg時(shí)按照稅率t征稅，在取得收益率rb時(shí)按照補(bǔ)貼率率s取得財(cái)政補(bǔ)貼，那他的稅后報(bào)酬就是(1-t)rg和(1-s)rb

，因此，決定他最佳風(fēng)險(xiǎn)投資x的一階條件將是：U′(x)=π?u′(w+x(1-t)rg)?(1-t)rg+(1-π)?u′(w+x(1-s)rb)?

(1-s)rb=0VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用對于消費(fèi)計(jì)劃的兩期模型來說，效用函數(shù)u(c)=u(c0,c1)可簡化為u(c)=u(c0,c1)=u(c0)+βu(c1),其中β是時(shí)間偏好參數(shù)。如果消費(fèi)計(jì)劃是不確定，即帶有風(fēng)險(xiǎn)，記為c和c′。則偏好函數(shù)取效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望值，即預(yù)期效用函數(shù)E[u(c)]和E[u(c′)]，進(jìn)行比較，即有c?c′?E[u(c)]≥

E[u(c′)]這里，E(·)是取概率平均值的簡寫。~~~~~~~~~VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用對于不確定的消費(fèi)計(jì)劃，有c=(c0,c1)，因?yàn)閏0發(fā)生在0時(shí)期是確定的，風(fēng)險(xiǎn)只發(fā)生在1時(shí)期。因此，對于消費(fèi)計(jì)劃的兩期模型來說，預(yù)期效用函數(shù)為：E[u(c)]=u(c0)+βu(c1),在t=1時(shí)期，可能會出現(xiàn)不同的狀態(tài)，所以對于一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃來說，屆時(shí)能夠消費(fèi)的量對應(yīng)于不同的狀態(tài)是不一樣的。所以，一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃是指在不同狀態(tài)下指定的消費(fèi)商品的單位數(shù)。~~~~VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用記c1(ω)為t=1時(shí)期狀態(tài)ω下的消費(fèi)單位數(shù)。假設(shè)只有5種可能的狀態(tài)，標(biāo)記為ω1,

ω2,ω3,

ω4,

ω

5，下表列出了消費(fèi)計(jì)劃：到t=1時(shí)期，在狀態(tài)ω1下消費(fèi)2個(gè)單位，在狀態(tài)ω2下消費(fèi)3個(gè)單位，等。所以，消費(fèi)計(jì)劃是一個(gè)向量，列示出在不同狀態(tài)下的消費(fèi)的單位數(shù)。因?yàn)閠=1時(shí)期所實(shí)現(xiàn)的消費(fèi)是不確定的，所以，t=1時(shí)期的消費(fèi)c1是一個(gè)隨機(jī)變量。但對應(yīng)于各個(gè)不同的狀態(tài)，消費(fèi)的單位數(shù)是預(yù)先計(jì)劃好的，所以稱之為“消費(fèi)計(jì)劃”。ω1ω2ω3ω4ω5c1（ω

）23180VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用假如到t=1時(shí)期可能出現(xiàn)兩種情況：經(jīng)濟(jì)繁榮或者經(jīng)濟(jì)衰退，兩種情況出現(xiàn)的概率都是50%。對于李四來說，未來的不確定的資源是這樣的：如果經(jīng)濟(jì)繁榮，則w1up=100元，如果經(jīng)濟(jì)衰退，w1down=25元。我們分別用c1up和c1down來標(biāo)記在經(jīng)濟(jì)繁榮和經(jīng)濟(jì)衰退時(shí)該消費(fèi)者的消費(fèi)量。如果李四沒有任何金融手段來優(yōu)化他的消費(fèi)計(jì)劃，就只能是c1up=w1up=100元和c1down=w1down=25元。但這樣的消費(fèi)計(jì)劃不見得是效用最大的最優(yōu)計(jì)劃。如果市場有金融工具，李四就可以利用來優(yōu)化自己的消費(fèi)。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用假如現(xiàn)在金融市場提供兩種基本證券：繁榮證券和衰退證券。進(jìn)一步假設(shè)，到t=1時(shí)期，如果經(jīng)濟(jì)繁榮，則繁榮證券的價(jià)值為1元而衰退證券的價(jià)值為0；如果經(jīng)濟(jì)衰退，則繁榮證券的價(jià)值為0而衰退證券的價(jià)值為1元?，F(xiàn)在，即t=0時(shí)期，每份繁榮證券的價(jià)格為φup，而每份衰退證券的價(jià)格為φdown。到t=1時(shí)期，該個(gè)體可以獲得的資源稟賦相當(dāng)于現(xiàn)在t=0時(shí)期擁有一個(gè)投資組合，這個(gè)投資組合由100份繁榮證券和25份衰退證券組成。因?yàn)榈絫=1時(shí)期，如果經(jīng)濟(jì)繁榮，這個(gè)投資組合價(jià)值為100；如果衰退，組合的價(jià)值為25元。正好提供給李四t=1時(shí)期的資源稟賦。這個(gè)投資組合現(xiàn)在的市場價(jià)值為100φup+25φdownVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用如果李四想在t=1時(shí)期自由地配置在不同狀態(tài)下的消費(fèi)來優(yōu)化自己的效用，可以把所持有的這個(gè)投資組合在市場上賣掉，利用得到的貨幣資金重新構(gòu)筑一個(gè)新的投資組合，這個(gè)新的投資組合由c1up份繁榮證券和c1down份衰退證券組成。這樣，到t=1時(shí)期，如果經(jīng)濟(jì)繁榮，這個(gè)投資組合的價(jià)值為c1up

，如果經(jīng)濟(jì)衰退，這個(gè)投資組合的價(jià)值為c1down

，正好可以分別提供c1up和c1down的消費(fèi)量。但是請注意，現(xiàn)在這個(gè)新的投資組合的市場價(jià)值應(yīng)該和原來那個(gè)投資組合的市場價(jià)值相等，即有：c1upφup+c1downφdown=100φup+25φdowVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用針對這個(gè)問題，消費(fèi)計(jì)劃的優(yōu)化模型應(yīng)是：max?[u(c1up)

+u(c1down

)]s.t.c1upφup+c1downφdown=100φup+25φdown可以推出優(yōu)化關(guān)系u’(

c1up)

=u’(c1down)

φup/φdown如果φup

=φdown，可以推出c1up

=c1down=62.5。如果φup

>φdown

，可以推出c1up<c1down

。意思是，要在經(jīng)濟(jì)繁榮是獲得與經(jīng)濟(jì)衰退時(shí)同樣的消費(fèi)量，現(xiàn)在投資于繁榮證券的數(shù)額要比較大，這意味著經(jīng)濟(jì)繁榮時(shí)消費(fèi)比較昂貴。如果φup

<φdown

，可以推出c1up>c1down

。這意味著經(jīng)濟(jì)繁榮時(shí)消費(fèi)比較便宜。阿萊(Allais)悖論獨(dú)立性公理在實(shí)際心理學(xué)測試中經(jīng)常失效，最有名的例子就是阿萊(Allais)悖論。假設(shè)有以下兩組事件，需要做出判斷：A1：肯定得到100萬元A2：以10%的概率得到500萬元，89%的概率得到100萬元，1%的概率得不到A3：以10%的概率得到500萬元，90%的概率得不到A4：以11%的概率得到100萬元，以89%的概率得不到。阿萊(Allais)悖論對上面的例子，大多數(shù)人在A1和A2中會選擇A1，在A3和A4中會選擇A3。但這樣就違反了獨(dú)立性公理。A1~0.11×100+0.89×100A2~0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×100A1?A2意味著0.11×100+0.89×100?0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×100阿萊(Allais)悖論如認(rèn)為A1?A2，則必然有1?(1/11×0+10/11×500)那么根據(jù)獨(dú)立性公理：0.11×100+0.89×0?0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×0而這等價(jià)于A4?A3，這與實(shí)際情況相矛盾了。任意博彩L1，L2，L,以及任意的P，0<P<1,如果L1?L2，那么必定有PL1+(1-P)L?PL2+(1-P)L，則稱偏好關(guān)系滿足獨(dú)立性公理。阿萊(Allais)悖論法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家莫里斯·菲力·夏爾·阿萊(1911.5－2010.10)主要研究領(lǐng)域?yàn)閹垐隼碚撆c資源的效率分配，是1988年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的得主。阿萊“因?yàn)槭袌隼碚摵妥畲笮世碚摲矫妗睂?jīng)濟(jì)學(xué)所作出的貢獻(xiàn)，獲得1988年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。他提出了許多市場經(jīng)濟(jì)模型，重新系統(tǒng)地闡述了一般均衡理論和最大效益理論。阿萊(Allais)悖論阿萊認(rèn)為，從瓦爾拉的一般均衡模型到德布魯?shù)囊话憔饽Ｐ途俣ㄒ粋€(gè)所有物品都集中在一起進(jìn)行交換的市場，而且市場價(jià)格對所有市場參加者都是共同的、給定的，然后通過唯一的一輪交易作一次性移動(dòng)，經(jīng)濟(jì)從不均衡狀態(tài)過渡到均衡狀態(tài)。這些假定都是不現(xiàn)實(shí)的，他稱之為“單市場經(jīng)濟(jì)模型”。針對這些缺陷，他提出“多市場經(jīng)濟(jì)模型”，它假定導(dǎo)向均衡的交換以不同的價(jià)格連續(xù)發(fā)生，并且在任何給定時(shí)點(diǎn)上，不同經(jīng)營者作用的價(jià)格不必是同一的，在“可分配剩余”的驅(qū)動(dòng)下，每一次交易都趨近均衡。阿萊的“多市場經(jīng)濟(jì)模型”較之于“單市場經(jīng)濟(jì)模型”更接近現(xiàn)實(shí)，更一般化，即涵蘊(yùn)了存在競爭和不存在競爭的所有可能的市場形態(tài)，而且能如同描述西方國家經(jīng)濟(jì)那樣，描述東方國家經(jīng)濟(jì)和發(fā)展中國家的經(jīng)濟(jì)，而且其描述是動(dòng)態(tài)的。由于阿萊把私人分散的、自由尋求和實(shí)現(xiàn)剩余看作是實(shí)現(xiàn)最大效率狀態(tài)的基本的途徑，因此在政策主張上極力反對凱恩斯主義的政府干預(yù)。阿萊(Allais)悖論概率匹配悖論把20個(gè)紅球和10個(gè)黑球一起放入一個(gè)袋子，隨機(jī)地從袋子中取出一個(gè)球再放回去，猜測所取出的球是紅色的，還是黑色的，猜中的話可以得到10元獎(jiǎng)勵(lì)。在重復(fù)猜獎(jiǎng)中，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)個(gè)體趨向于2/3的時(shí)間選擇猜紅球，1/3的時(shí)間猜黑球。很顯然這不是最優(yōu)的，最優(yōu)選擇應(yīng)該是總是猜紅球。阿萊(Allais)悖論偏好反轉(zhuǎn)悖論考慮兩個(gè)選擇問題：（1）設(shè)想你可以得到2萬人民幣的財(cái)富和一個(gè)選擇權(quán)，你可以選擇:(a)額外再得到5千人民幣，(b)25%的概率額外再得到2萬人民幣，75%的概率沒有額外收入。（2）設(shè)想你可以得到4萬人民幣的財(cái)富和一個(gè)選擇權(quán)，你可以選擇:(a)放棄1萬5千人民幣，(b)75%的概率放棄2萬人民幣，25%的概率沒有額外損失。在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)個(gè)體在面對問題（1）時(shí)會選擇(a)；在面對問題（2）時(shí)會選擇(b)。但事實(shí)上這兩個(gè)選擇問題所產(chǎn)生的回報(bào)是相同的，是100%的概率得到2萬5千人民幣，還是25%的概率得到4萬人民幣，75%的概率得到2萬人民幣。阿萊(Allais)悖論Ellsberg悖論在密閉的缸I中有50個(gè)紅球R和50個(gè)黑球B，在缸II中有100個(gè)不知道比例的紅球與黑球?？紤]兩個(gè)摸球游戲：(1)個(gè)體從缸中摸到兩個(gè)紅球時(shí)可以贏得100元，個(gè)體可以選擇從缸I中摸RI或從缸II中摸RII；(2)個(gè)體從缸中摸到兩個(gè)黑球時(shí)可以贏得100元，個(gè)體可以選擇從缸I中摸BI或從缸II中摸BII。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)個(gè)體會選擇RI和BI，但這與偏好的理性選擇行為是不一致的。從邏輯上講，個(gè)體在RI和RII中更偏愛RI，等價(jià)于在BI和BII中更偏愛BII，因此如果絕大多數(shù)個(gè)體選擇RI的話，應(yīng)該只有很少的個(gè)體會選擇BI才對，這說明真實(shí)經(jīng)濟(jì)中個(gè)體決策中存在非理性的成分。預(yù)期效用理論的修正由阿萊悖論等各種試驗(yàn)引發(fā)的新的期望效用理論，如前景理論、遺憾理論、加權(quán)的期望效用理論、非線性的期望效用理論等等行為金融學(xué)和非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)對期望效用的新的解釋。對預(yù)期效用理論模型進(jìn)行修正或改進(jìn)。這方面的工作大致分為兩個(gè)方面：一是對原有理論的修正，二是對原有理論的替代。修正模型—擴(kuò)展性效用模型(generalizedutilitymodel)、預(yù)期比率模型(expectationquotientmodel)、非傳遞性效用模型(non-transitivityutilitymodel)、非可加性效用模型(non-additivityutilitymodel)。替代模型—前景理論。前景理論的形成，是人們在不斷改良人們的收益和風(fēng)險(xiǎn)偏好關(guān)系的基礎(chǔ)上，不斷演變而成。它經(jīng)過了弗里德曼和薩維奇、馬柯維茨等學(xué)者對效用函數(shù)的擴(kuò)展，最終由卡納曼和特維斯基在總結(jié)馬柯維茨和阿萊的工作基礎(chǔ)上，構(gòu)造了前景理論。預(yù)期效用理論的修正期望效用函數(shù)假定投資者僅關(guān)注實(shí)際收益以及達(dá)到這些收益的累積概率，而對不確定性何時(shí)明確化漠不關(guān)心。AgeneralizationofexpectedutilitythatmakesthisdistinctionisproposedbyDavidKrepsandEvanPorteus,“TemporalResolutionofUncertaintyandDynamicChoiceTheory,”EconometricaVol.46(January1978):pp.185-200.預(yù)期效用理論的修正Tomodelpreferencesforthetemporalresolutionofuncertainty,considertwoassets.Bothassetspayoff$100nextyearforsure.Andbothassetspayoff$225withprobability?and$25withprobability?twoyearsfromnow.Butforasset1,thepayofftwoyearsfromnowisrevealedoneyearfromnow,whereasforasset2,thepayofftwoyearsfromnowdoesnotgetrevealeduntilthebeginningofthesecondyear.預(yù)期效用理論的修正Asset1Asset2??10010025225t=1t=0t=2Asset1

hasearlyresolutionofuncertainty.??10022525t=0t=1t=2Asset2haslateresolutionofuncertainty.預(yù)期效用理論的修正KrepsandPorteusallowtheinvestor’sutilityfunctiontotaketheform

E0[u(p1)]+E0{[E1(u(p2))]γ},

wherep1andp2arethepayoffsoneandtwoyearsfromnow,

E0andE1areexpectedvaluesbasedoninformationpossessedtodayandoneyearfromnow,andtheparameterγissuchthat:

ifγ=1theinvestorhasexpectedutility

ifγ>1theinvestorprefersearlyresolution(asset1)

ifγ<1theinvestorpreferslateresolution(asset2)預(yù)期效用理論的修正Letu(p)=p1/2andcallthestatethatleadstothe225payofftwoyearsfromnowthe“goodstate”andthestatethatleadstothe25payofftwoyearsfromnowthe“badstate.”??10010025225t=1t=0t=2E1(u(p2))dependsonthestate:

EG1(u(p2))=(225)1/2=15andEB1(u(p2))=(25)1/2=5

E0{[E1(u(p2))]γ}=(?)15γ+(?)5γE0(u(p1))=(?)1001/2

+(?)1001/2預(yù)期效用理論的修正Letu(p)=p1/2andcallthestatethatleadstothe225payofftwoyearsfromnowthe“goodstate”andthestatethatleadstothe25payofftwoyearsfromnowthe“badstate.”

??22525100t=0t=1t=2E1(u(p2))=(1/2)(225)1/2+(1/2)(25)1/2=10

E0{[E1(u(p2))]γ}=10γ

E0(u(p1))=100預(yù)期效用理論的修正forasset1,utilitytodayisU1=10+?15γ

+?5γ,

forasset2,utilitytodayisU2=10+10γ.

γU1U2110.0010.00expectedutility1.544.6441.62prefersearlyresolution0.511.7311.78preferslateresolution預(yù)期效用理論的修正預(yù)期效用理論的修正前景理論認(rèn)為投資者偏好不是定義在實(shí)際收益而是定義在相對某種基準(zhǔn)的損益上，使得損失被賦予了更大的效用權(quán)重.

DanielKahneman(NobelPrize2002)andAmosTversky,“ProspectTheory