高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機(jī)變量及其分布二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 全國(guó)公開(kāi)課

2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．2．理解二項(xiàng)分布．3．能利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．[知識(shí)鏈接]1．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互有影響嗎？答在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互之間無(wú)影響．因?yàn)槊看卧囼?yàn)是在相同條件下獨(dú)立進(jìn)行的，所以第i次試驗(yàn)的結(jié)果不受前i－1次結(jié)果的影響(其中i＝1，2，…，n)．2．你能說(shuō)明兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系嗎？答兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)中，當(dāng)n＝1時(shí)，二項(xiàng)分布便是兩點(diǎn)分布，也就是說(shuō)二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的一般形式．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．2．二項(xiàng)分布一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.要點(diǎn)一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的判斷例1判斷下列試驗(yàn)是不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上．(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中．(3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球．解(1)由于試驗(yàn)的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(3)每次抽取，試驗(yàn)的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．規(guī)律方法判斷的依據(jù)要看該實(shí)驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，互不影響．跟蹤演練1小明同小華一起玩擲骰子游戲，游戲規(guī)則如下：小明先擲，小華后擲，如此間隔投擲．問(wèn)：(1)小明共投擲n次，是否可看作n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？小華共投擲m次，是否可看作m次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？(2)在游戲的全過(guò)程中共投擲了m＋n次，則這m＋n次是否可看作m＋n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．解(1)由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，小明、小華各自投擲骰子時(shí)可看作在相同條件下，且每次間互不影響，故小明、小華分別投擲的n次和m次可看作n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和m次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(2)就全過(guò)程考查，不是在相同條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，故不能看作m＋n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．要點(diǎn)二相互獨(dú)立重復(fù)事件的概率例2某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為eq\f(3,5)，且每次射擊的結(jié)果互不影響，已知射手射擊了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率；(3)其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒(méi)有擊中目標(biāo)的概率．解(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也就是在第二、四次沒(méi)有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又因?yàn)楦鞔紊鋼舻慕Y(jié)果互不影響，故所求概率為P＝eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)＝eq\f(108,3125)；(2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)．根據(jù)排列組合知識(shí)，5次當(dāng)中選3次，共有Ceq\o\al(3,5)種情況，因?yàn)楦鞔紊鋼舻慕Y(jié)果互不影響，所以符合n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型．故所求概率為P＝Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(3,5))3×(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(216,625)；(3)該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒(méi)有擊中目標(biāo)，應(yīng)用排列組合知識(shí)，把3次連續(xù)擊中目標(biāo)看成一個(gè)整體可得共有Ceq\o\al(1,3)種情況．故所求概率為P＝Ceq\o\al(1,3)·(eq\f(3,5))3·(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(324,3125).規(guī)律方法解答獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)：(1)先要判斷問(wèn)題中所涉及的試驗(yàn)是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；(2)要注意分析所研究的事件的含義，并根據(jù)題意劃分為若干個(gè)互斥事件的并．(3)要善于分析規(guī)律，恰當(dāng)應(yīng)用排列、組合數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算．跟蹤演練2甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)勝的概率為eq\f(2,3)，沒(méi)有平局．(1)若進(jìn)行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率是多少？(2)若進(jìn)行五局三勝制比賽，甲獲勝的概率為多少？解(1)甲第一、二局勝，或第二、三局勝，或第一、三局勝，則P＝(eq\f(2,3))2＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27).(2)甲前三局勝，或甲第四局勝，而前三局僅勝兩局，或甲第五局勝，而前四局僅勝兩局，則P＝(eq\f(2,3))3＋Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(64,81).要點(diǎn)三二項(xiàng)分布問(wèn)題例3某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為eq\f(3,4)，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問(wèn)題詢問(wèn)該服務(wù)中心．且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列．解由題意可知：X～B(3，eq\f(3,4))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(3,4))k(eq\f(1,4))3－k(k＝0，1，2，3)．P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,4))0(eq\f(1,4))3＝eq\f(1,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(3,4)·(eq\f(1,4))2＝eq\f(9,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(3,4))2·eq\f(1,4)＝eq\f(27,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64).所以分布列為X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)規(guī)律方法利用二項(xiàng)分布來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于在實(shí)際問(wèn)題中建立二項(xiàng)分布的模型，也就是看它是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分布．跟蹤演練3從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件為相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(2,5)，設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列．解由題意ξ～B(3，eq\f(2,5))，則P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(2,5))0(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,5))(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(3,5))＝eq\f(36,125)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125).所以隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)1．每次試驗(yàn)的成功率為p(0<p<1)，重復(fù)進(jìn)行10次試驗(yàn)，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率為()A．Ceq\o\al(3,10)p3(1－p)7B．Ceq\o\al(3,10)p3(1－p)3C．p3(1－p)7D．p7(1－p)3答案C2．若X～B(5，，則P(X≤2)等于()A．B．56C．54D．44答案D解析P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,5)×＋Ceq\o\al(1,5)×＋Ceq\o\al(2,5)×＝44.3．將一枚均勻的硬幣拋擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(11,32)解析正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多，則正面可以出現(xiàn)4次、5次或6次，所求概率P＝Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6＝eq\f(11,32).4．重復(fù)拋擲一枚骰子5次得到點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)記為ξ，求P(ξ>3)．解依題意，隨機(jī)變量ξ～B(5，eq\f(1,6))．∴P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)(eq\f(1,6))4·eq\f(5,6)＝eq\f(25,7776)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(5,5)(eq\f(1,6))5＝eq\f(1,7776).∴P(ξ>3)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝eq\f(13,3888).1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從三方面考慮：第一，每次試驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行的；第二，各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；第三，每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2．如果一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.此概率公式恰為[(1－p)＋p]n展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)，故稱該公式為二項(xiàng)分布公式.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．種植某種樹(shù)苗，成活率為.若種植這種樹(shù)苗5棵，則恰好成活4棵的概率約為()A．B．C．D．答案A解析根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率公式得到種植這種樹(shù)苗5棵，則恰好成活4棵的概率為Ceq\o\al(4,5)(1－≈，故選A.2．已知隨機(jī)變量ξ～B(6，eq\f(1,3))，則P(ξ＝2)等于()\f(3,16)\f(4,243)\f(13,243)\f(80,243)答案D解析P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,6)(eq\f(1,3))2(1－eq\f(1,3))4＝eq\f(80,243).3．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的概率都是eq\f(1,2)，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2，3)的概率是()A．(eq\f(1,2))5B．Ceq\o\al(2,5)×(eq\f(1,2))5C．Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(1,2))3D．Ceq\o\al(2,5)×Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(1,2))5答案B解析如圖，由題可知，質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)3次才能位于點(diǎn)(2，3)，問(wèn)題相當(dāng)于5次重復(fù)試驗(yàn)向右恰好發(fā)生2次的概率．所求概率為P＝Ceq\o\al(2,5)×(eq\f(1,2))2×(eq\f(1,2))3＝Ceq\o\al(2,5)×(eq\f(1,2))5.故選B.4．某學(xué)生參加一次選拔考試，有5道題，每題10分．已知他解題的正確率為eq\f(3,5)，若40分為最低分?jǐn)?shù)線，則該生被選中的概率是()A．Ceq\o\al(4,5)(eq\f(3,5))4×eq\f(2,5)B．Ceq\o\al(5,5)(eq\f(3,5))5C．Ceq\o\al(4,5)(eq\f(3,5))4×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(5,5)(eq\f(3,5))5D．1－Ceq\o\al(3,5)(eq\f(3,5))3×(eq\f(2,5))2答案C解析該生被選中包括“該生做對(duì)4道題”和“該生做對(duì)5道題”兩種情形．故所求概率為P＝Ceq\o\al(4,5)×(eq\f(3,5))4×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(5,5)×(eq\f(3,5))5.故應(yīng)選C.5．從次品率為的一批產(chǎn)品中任取4件，恰有兩件次品的概率為_(kāi)_______．答案6解析P＝Ceq\o\al(2,4)2(1－2＝6.6．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為eq\f(65,81)，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,3)解析設(shè)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p.由題意知，1－(1－p)4＝eq\f(65,81)，∴(1－p)4＝eq\f(16,81)，故p＝eq\f(1,3).7．某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2棵．設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為eq\f(5,6)和eq\f(4,5)，且各棵大樹(shù)是否成活互不影響，求移栽的4棵大樹(shù)中，(1)至少有1棵成活的概率；(2)兩種大樹(shù)各成活1棵的概率．解設(shè)Ak表示第k棵甲種大樹(shù)成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙種大樹(shù)成活，l＝1，2，則A1，A2，B1，B2相互獨(dú)立，且P(A1)＝P(A2)＝eq\f(5,6)，P(B1)＝P(B2)＝eq\f(4,5).(1)至少有1棵成活的概率為1－P(Aeq\o(1,\s\up6(－))·Aeq\o(2,\s\up6(－))·Beq\o(1,\s\up6(－))·Beq\o(2,\s\up6(－)))＝1－P(Aeq\o(1,\s\up6(－)))·P(Aeq\o(2,\s\up6(－)))·P(Beq\o(1,\s\up6(－)))·P(Beq\o(2,\s\up6(－)))＝1－(eq\f(1,6))2(eq\f(1,5))2＝eq\f(899,900).(2)由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式知，所求概率為P＝Ceq\o\al(1,2)(eq\f(5,6))(eq\f(1,6))·Ceq\o\al(1,2)(eq\f(4,5))(eq\f(1,5))＝eq\f(10,36)×eq\f(8,25)＝eq\f(80,900)＝eq\f(4,45).二、能力提升8．某人參加一次考試，4道題中答對(duì)3道則為及格，已知他的解題正確率為，則他能及格的概率約為()A．B．C．D．答案A解析P＝Ceq\o\al(3,4)××(1－＋Ceq\o\al(4,4)×＝2≈.9．口袋里放有大小相同的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，每次有放回地摸取一個(gè)球，定義數(shù)列{an}，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸取紅球，,1，第n次摸取白球，))如果Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為()A．Ceq\o\al(5,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))5B．Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))5C．Ceq\o\al(5,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(1,3))5D．Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))2答案B解析由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取紅球，5次摸取白球，而每次摸取紅球的概率為eq\f(2,3)，摸取白球的概率為eq\f(1,3)，則S7＝3的概率為Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))5，故選B.10．某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，有下列結(jié)論：①他第三次擊中目標(biāo)的概率為；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率為×；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率為1－.其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．答案①③解析在n次試驗(yàn)中，每次事件發(fā)生的概率都相等，故①正確；②中恰好擊中3次需要看哪3次擊中，所以正確的概率應(yīng)為Ceq\o\al(3,4)×；利用對(duì)立事件，③正確．11．某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響．(1)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，記ξ為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求ξ的分布列．解(1)任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件A，“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B，由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)＝，P(B)＝.所以，該下崗人員沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－(1－＝.∴該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率為1－＝.(2)因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B(3，，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)×－k，k＝0，1，2，3.∴ξ的分布列是ξ0123P12.在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為eq\f(1,2).(1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的學(xué)生數(shù)為ξ個(gè)，求ξ的分布列．解(1)設(shè)事件A表示“甲選做第14題”，事件B表示“乙選做第14題”，則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))”，且事件A，B相互獨(dú)立．∴P(AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋(1－eq