概統(tǒng)第92~95節(jié) 正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)

§9.2正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)拒絕域的推導(dǎo)設(shè)X~N(2)，2已知，需檢驗(yàn)：H0:0；H1:0構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

給定顯著性水平與樣本值(x1,x2,…,xn)一個(gè)正態(tài)總體（1）關(guān)于的檢驗(yàn)P(拒絕H0|H0為真)所以本檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?：U檢驗(yàn)法0000

<

0

>

0U檢驗(yàn)法

(2已知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域0000

<

0

>

0T檢驗(yàn)法

(2未知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域例1

設(shè)某磚廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度，某天從該廠生產(chǎn)的磚中隨機(jī)抽取6塊，測(cè)得抗斷強(qiáng)度如下（單位：kg/[cm]）：32.5629.6631.6430.0031.8731.03檢驗(yàn)這天該廠生產(chǎn)的磚的平均抗斷強(qiáng)度是否仍為32.50(kg/[cm])？（取顯著性水平）22

H0:=32.5；

H1:32.5

由已知,故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:對(duì)查表得,，故拒絕,磚的強(qiáng)度不為32.50（kg/[cm])由樣本值算得，，于是解

根據(jù)題意檢驗(yàn)假設(shè)可設(shè)為例2

某廠生產(chǎn)小型馬達(dá),說明書上寫著:這種小型馬達(dá)在正常負(fù)載下平均消耗電流不會(huì)超過0.8安培.

現(xiàn)隨機(jī)抽取16臺(tái)馬達(dá)試驗(yàn),求得平均消耗電流為0.92安培,消耗電流的標(biāo)準(zhǔn)差為0.32安培.

假設(shè)馬達(dá)所消耗的電流服從正態(tài)分布,取顯著性水平為

=0.05,問根據(jù)這個(gè)樣本,能否否定廠方的斷言?解

根據(jù)題意待檢假設(shè)可設(shè)為

H0:0.8；

H1:>0.8

未知,故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒絕域?yàn)楝F(xiàn)故接受原假設(shè),即不能否定廠方斷言.解二

H0:

0.8；

H1:<0.8

選用統(tǒng)計(jì)量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒絕域現(xiàn)故接受原假設(shè),即否定廠方斷言.

由例2可見:對(duì)問題的提法不同(把哪個(gè)假設(shè)作為原假設(shè)),統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)果也會(huì)不同.

上述兩種解法的立場(chǎng)不同，因此得到不同的結(jié)論.第一種假設(shè)是不輕易否定廠方的結(jié)論；第二種假設(shè)是不輕易相信廠方的結(jié)論.

由于假設(shè)檢驗(yàn)是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率,

使得拒絕原假設(shè)H0

的決策變得比較慎重,也就是

H0得到特別的保護(hù).

因而,通常把有把握的,經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡量使后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤成為第一類錯(cuò)誤.例3

已知某煉鐵廠的鐵水含碳量服從正態(tài)分布，均值.某日隨機(jī)測(cè)得7爐鐵水，算得平均含碳量，

,樣本標(biāo)準(zhǔn)差.以顯著性水平檢驗(yàn)這天鐵水含碳量的均值是否顯著提高？由題意，應(yīng)取統(tǒng)計(jì)量設(shè)H0:=4.40；H1:>4.40

對(duì)查表得，，,而接受，鐵水含碳量有顯著提高。解

根據(jù)題意檢驗(yàn)假設(shè)可設(shè)為2022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域

檢驗(yàn)法(

已知)（2）關(guān)于2的檢驗(yàn)2022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域(

未知)

某汽車配件廠在新工藝下對(duì)加工好的25個(gè)活塞的直徑進(jìn)行測(cè)量,得樣本方差S2=0.00066.已知老工藝生產(chǎn)的活塞直徑的方差為0.00040.問進(jìn)一步改革的方向應(yīng)如何？

例4

解一般進(jìn)行工藝改革時(shí),若指標(biāo)的方差顯著增大,則改革需朝相反方向進(jìn)行以減少方差；若方差變化不顯著,則需試行別的改革方案.設(shè)測(cè)量值需考察改革后活塞直徑的方差是否不大于改革前的方差？故待檢驗(yàn)假設(shè)可設(shè)為：

H0:2

0.00040;

H1:2

>0.00040.

此時(shí)可采用效果相同的單邊假設(shè)檢驗(yàn)

H0:2

=0.00040；H1:2>0.00040.

取統(tǒng)計(jì)量拒絕域0：落在0內(nèi),故拒絕H0.即改革后的方差顯著大于改革前,因此下一步的改革應(yīng)朝相反方向進(jìn)行.

在例1中，以顯著性水平檢驗(yàn)這天該廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差是否為？

例5

解

根據(jù)題目要求，本題檢驗(yàn)假設(shè)為由已知，則取統(tǒng)計(jì)量為在成立時(shí)，所以，拒絕，接受.于是由樣本值，得從而這天該廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差不能認(rèn)為是.例

自動(dòng)車床加工某種零件，其直徑（單位：

）服從正態(tài)分布，要求.某天開工后，隨機(jī)抽取30件,算得樣本方差為，檢驗(yàn)這天加工的零件是否符合要求?(取顯著性水平）

解

根拒據(jù)題目要求，本題檢驗(yàn)假設(shè)為

H0:2

=0.09；H1:2>0.09.

由未知，則取統(tǒng)計(jì)量為

例6

拒絕域?yàn)橛蓸颖局邓愕盟裕芙^，接受.即認(rèn)為零件直徑的方差大于0.09，不符合要求。

設(shè)X~N(1

1

2),Y~

N(2

2

2)兩樣本X,Y相互獨(dú)立,樣本(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)

樣本值

(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,ym)顯著性水平兩個(gè)正態(tài)總體1–2

=(12，22

已知)(1)關(guān)于均值差1–

2

的檢驗(yàn)1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域1–2

=1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

其中12,

22未知12=

22原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域

12=

22

12

22

12

22

12>

22

12

22

12<

22(2)關(guān)于方差比

12

/

22的檢驗(yàn)1,

2

均未知原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域例7兩種工藝下紡的細(xì)紗的強(qiáng)力與都服從正態(tài)分布，且，.各抽取容量為50的樣本,算得，.問兩種工藝下紡的細(xì)紗的強(qiáng)力有無明顯差異？（取顯著性水平）解由題意，檢驗(yàn)假設(shè)為由，已知,取統(tǒng)計(jì)量所以,拒絕,接受,即兩種工藝下紡的細(xì)紗的強(qiáng)力有明顯差異。在成立時(shí)，.對(duì)顯著性水平,查表得由樣本值得于是0H)1,0(~NU05.0=a96.12/=au07.25015501428628022-?+-=U.96.107.22/auU=>?1H0H例8

某燈泡廠在采用一項(xiàng)新工藝的前后，分別抽取10個(gè)燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)。計(jì)算得到：采用新工藝前燈泡壽命的樣本均值為2460(h)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為56(h);采用新工藝后燈泡壽命的樣本均值為2550(h)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為48(h)。設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，問由此是否可以認(rèn)為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高？（取顯著性水平,假定采用新工藝前、后燈泡壽命的方差不變，這將在后面進(jìn)行檢驗(yàn)）01.0=a解檢驗(yàn)假設(shè)為

設(shè)采用新工藝前、后的燈泡壽命分別用,表示.由及未知，但已知取統(tǒng)計(jì)量其中),(~2xxNXsm),(~2yyNYsmyxyxHmmmm<=；：02xs2ys22yxss=yxnnSYXT11+-=w2)1()1(22-+-+-=yxyyxxnnSnSnSw

在時(shí)，對(duì)顯著性水平,查表得由樣本值得于是，所以，拒絕，接受，即采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高。0H)18()2(~tnntTyx=-+01.0=a55.2)18(=at.86.3101101184895692550246022-?+′+′-=T).18(55.286.3atT=-<-=1H0H例9

杜鵑總是把蛋生在別的鳥巢中,現(xiàn)從兩種鳥巢中得到杜鵑蛋24個(gè).其中9個(gè)來自一種鳥巢,15個(gè)來自另一種鳥巢,測(cè)得杜鵑蛋的長(zhǎng)度(mm)如下:m=1519.820.020.320.820.920.921.021.021.021.221.522.022.022.122.3n=921.221.621.922.022.022.222.822.923.2

試判別兩個(gè)樣本均值的差異是僅由隨機(jī)因素造成的還是與來自不同的鳥巢有關(guān)().解

H0:1=

2

；

H1:1

2

取統(tǒng)計(jì)量拒絕域0：統(tǒng)計(jì)量值.落在0內(nèi),拒絕H0即蛋的長(zhǎng)度與不同鳥巢有關(guān).例10

假設(shè)機(jī)器A和B

都生產(chǎn)鋼管,要檢驗(yàn)

A和B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度.設(shè)它們生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別為X和Y,且都服從正態(tài)分布

X~N(1,

12),Y~N(2,

22)

現(xiàn)從機(jī)器A和B生產(chǎn)的鋼管中各抽出18

根和13

根,

測(cè)得

s12=0.34,s22=0.29,

設(shè)兩樣本相互獨(dú)立.問是否能認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同?(取

=0.1)解設(shè)H0:

12=

22；H1:

12

22

查表得F0.05(17,12)=2.59,F0.95(17,12)=拒絕域?yàn)?或由給定值算得:落在拒絕域外,故接受原假設(shè),即認(rèn)為內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同.接受域置信區(qū)間假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)量

樞軸量對(duì)偶關(guān)系同一函數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的聯(lián)系

假設(shè)檢驗(yàn)與置信區(qū)間對(duì)照接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布

00（2

已知)（2

已知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)

0

0（

2未知）（

2未知）接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)2022=022(未知)(未知)例11

新設(shè)計(jì)的某種化學(xué)天平，其測(cè)量誤差服從正態(tài)分布,現(xiàn)要求99.7%的測(cè)量誤差不超過0.1mg,即要求30.1.現(xiàn)拿它與標(biāo)準(zhǔn)天平相比，得10個(gè)誤差數(shù)據(jù)，其樣本方差s2=0.0009.解一H0:1/30；H1:1/30

試問在=0.05的水平上能否認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求？拒絕域：未知,故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量現(xiàn)故接受原假設(shè),即認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求.解二2的單側(cè)置信區(qū)間為H0中的滿足設(shè)計(jì)要求.則H0

成立,從而接受原假設(shè),即認(rèn)為樣本容量的選取

雖然當(dāng)樣本容量n固定時(shí),我們不能同時(shí)控制犯兩類錯(cuò)誤的概率,但可以適當(dāng)選取n的值,使犯取偽錯(cuò)誤的概率控制在預(yù)先給定的限度內(nèi).樣本容量