2023年長江工程職業(yè)技術學院高職單招（數(shù)學）試題庫含答案解析

長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。住在富人區(qū)的她2023年長江工程職業(yè)技術學院高職單招（數(shù)學）試題庫含答案解析（圖片大小可自由調(diào)整）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹慎購買！第1卷一.綜合題(共50題)1.滿足條件|2z+1|=|z+i|的復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是______．答案：設復數(shù)z在復平面上對應點的坐標為（x，y），由|2z+1|=|z+i|可得(2x+1)2+(2y)2=(x)2+(y+1)2，化簡可得x2+

y2+43x

=

0，表示一個圓，故為圓．2.下列四個命題中，正確的有

個

①；

②；

③，使；

④，使為29的約數(shù)．答案：兩解析：:①∵(-3)2-4×2×40,∴①正確;②∵2×(-1)+1=-1x,∴③不正確;④x=1是29的約數(shù),∴④正確;∴正確的有兩個點評：本題考查全稱命題、特稱命題，容易題3.正多面體只有______種，分別為______．答案：正多面體只有5種，分別為正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．故為：5，正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．4.直線2x-3y+10=0的法向量的坐標可以是答案：C5.若直線l經(jīng)過點M（1，5），且傾斜角為2π3，則直線l的參數(shù)方程為______．答案：由于過點（a，b）傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為x=a+t?cosαy=b+t?sinα（t是參數(shù)），∵直線l經(jīng)過點M（1，5），且傾斜角為2π3，故直線的參數(shù)方程是x=1+t?cos2π3y=5+t?sin2π3即x=1-12ty=5+32t（t為參數(shù)）．故為：x=1-12ty=5+32t（t為參數(shù)）．6.在極坐標系中，若點A(ρ0，π3)（ρ0≠0）是曲線ρ=2cosθ上的一點，則ρ0=______．答案：∵點A(ρ0，π3)（ρ0≠0）是曲線ρ=2cosθ上的一點，∴ρ0=2cosπ3．∴ρ0=2×12=1．故為：1．7.如圖，已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°．

（Ⅰ）求DP與CC′所成角的大??；

（Ⅱ）求DP與平面AA′D′D所成角的大小．答案：方法一：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系D-xyz．則DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)．連接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延長DP交B'D'于H．設DH=(m，m，1)(m＞0)，由已知＜DH，DA＞=60°，由DA?DH=|DA||DH|cos＜DA，DH＞可得2m=2m2+1．解得m=22，所以DH=(22，22，1)．（4分）（Ⅰ）因為cos＜DH，CC′＞=22×0+22×0+1×11×2=22，所以＜DH，CC′＞=45°．即DP與CC'所成的角為45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一個法向量是DC=(0，1，0)．因為cos＜DH，DC＞=22×0+22×1+1×01×2=12，所以＜DH，DC＞=60°．可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°．（12分）方法二：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系D-xyz．則DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)，BD′=(-1，-1，1)．設P（x，y，z）則BP=λBD′，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）∴x=1-λy=1-λz=λ，則DP=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜DP，DA＞=60°，∴λ2-4λ+2=0，解得λ=2-2，∴DP=(2-1，2-1，2-2)（4分）（Ⅰ）因為cos＜DP，CC′＞=2-22(2-1)=22，所以＜DP，CC′＞=45°．即DP與CC'所成的角為45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一個法向量是DC=(0，1，0)．因為cos＜DP，DC＞=2-12(2-1)=12，所以＜DP，DC＞=60°．可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°．（12分）8.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N在AC上，且AN:NC=2:1．求證：與共面．答案：證明：與共面．9.若直線過點（1，2），()，則此直線的傾斜角是（）

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°答案：C10.已知點A（-2，0），B（2，0），動點M滿足|MA-MB|=4，則動點M的軌跡為______．答案：動點M滿足|MA-MB|=4=|AB|，結(jié)合圖形思考判斷動點M的軌跡為直線AB（不包括線段AB內(nèi)部的點）上的兩條射線．故為直線AB（不包括線段AB內(nèi)部的點）上的兩條射線．11.如圖，一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一個截面，則截面的可能圖形為（

）

A.①③

B.②④

C.①②③

D.②③④答案：C12.（選做題）

曲線（θ為參數(shù)）與直線y=a有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）．答案：0＜a≤113.已知平行四邊形的三個頂點A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求第四個頂點D的坐標．答案：若構(gòu)成的平行四邊形為ABCD1，即AC為一條對角線，設D1（x，y），則由AC中點也是BD1中點，可得

-2+32=x-121+42=y+32，解得

x=2y=2，∴D1（2，2）．同理可得，若構(gòu)成以AB為對角線的平行四邊形ACBD2，則D2（-6，0）；以BC為對角線的平行四邊形ACD3B，則D3（4，6），∴第四個頂點D的坐標為：（2，2），或（-6，0），或（4，6）．14.直線y=3x的傾斜角為______．答案：∵直線y=3x的斜率是3，∴直線的傾斜角的正切值是3，∵α∈[0°，180°]，∴α=60°，故為：60°15.如圖，△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD與BE交于F，若AF=xAB+yAC，則（）A．x=13，y=12B．x=14，y=13C．x=37，y=37D．x=25，y=920答案：過點F作FM∥AC、FN∥AB，分別交AB、AC于點M、N∵FM∥AC，∴FMAC=DMAD且FMAE=BMAB∵AD=2DB，AE=3EC，∴AD=23AB，AE=34AC．由此可得AM=13AB同理可得AN=12AC∵四邊形AMFN是平行四邊形∴由向量加法法則，得AF=13AB+12AC∵AF=xAB+yAC，∴根據(jù)平面向量基本定理，可得x=13，y=12故選：A16.一名同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在直角坐標系xOy中，以（x，y）為坐標的點落在直線2x+y=8上的概率為（）A．16B．112C．536D．19答案：由題意知本題是一個古典概型，∵試驗發(fā)生包含的事件是先后擲兩次骰子，共有6×6=36種結(jié)果，滿足條件的事件是（x，y）為坐標的點落在直線2x+y=8上，當x=1，y=6；x=2，y=4；x=3，y=2，共有3種結(jié)果，∴根據(jù)古典概型的概率公式得到P=336=112，故選B．17.在研究打酣與患心臟病之間的關系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“打酣與患心臟病有關”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認為這個結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是（）

A．100個心臟病患者中至少有99人打酣

B．1個人患心臟病，則這個人有99%的概率打酣

C．100個心臟病患者中一定有打酣的人

D．100個心臟病患者中可能一個打酣的人都沒有答案：D18.下列敘述中：

①變量間關系有函數(shù)關系，還有相關關系；②回歸函數(shù)即用函數(shù)關系近似地描述相關關系；③=x1+x2+…+xn；④線性回歸方程一定可以近似地表示所有相關關系．其中正確的有（）

A．①②③

B．①②④

C．①③

D．③④答案：A19.已知的單調(diào)區(qū)間；

（2）若答案：（1）（2）證明略解析：（1）對已知函數(shù)進行降次分項變形

,得,（2）首先證明任意事實上,而

.20.若圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（）A．k1＜k2＜k3B．k2＜k1＜k3C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2答案：因為直線的斜率是其傾斜角的正切值，當傾斜角大于90°小于180°時，斜率為負值，當傾斜角大于0°小于90°時斜率為正值，且正切函數(shù)在（0°，90°）上為增函數(shù)，由圖象三條直線的傾斜角可知，k2＜k1＜k3．故選C．21.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點．

（1）求異面直線BD1與CE所成角的余弦值；

（2）求二面角A1-EC-A的余弦值．答案：以D為原點，DC為y軸，DA為x軸，DD1為Z軸建立空間直角坐標系，…（1分）則A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），E(1，12，0)，…（2分）（1）BD1=(-1，-1，1)，CE=(1，-12，0)…（1分）cos＜BD1，CE＞=-1515，…（1分）所以所求角的余弦值為1515…（1分）（2）D1D⊥平面AEC，所以D1D為平面AEC的法向量，D1D=(0，0，1)…（1分）設平面A1EC法向量為n=(x，y，z)，又A1E=(0，12，-1)，A1C=(-1，1，-1)，n?A1E=0n?A1C=0即12y-z=0-x+y-z=0，取n=(1，2，1)，…（3分）所以cos＜DD1，n＞=66…（2分）22.已知|log12x+4i|≥5，則實數(shù)x

的取值范圍是______．答案：由題意，得(log12x)2+42≥5?|log12x|≥3?0＜x≤18或x≥8．∴則實數(shù)x

的取值范圍是0＜x≤18或x≥8．故為：0＜x≤18或x≥8．23.若雙曲線的漸近線方程為y=±34x，則雙曲線的離心率為______．答案：由題意可得，當焦點在x軸上時，ba=34，∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54．當焦點在y軸上時，ab=34，∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53，故為：53

或54．24.（理）已知函數(shù)f(x)=sinπxx∈[0，1]log2011xx∈(1，+∞)若滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是______．答案：作出函數(shù)的圖象如圖，直線y=y0交函數(shù)圖象于如圖，由正弦曲線的對稱性，可得A（a，y0）與B（b，y0）關于直線x=12對稱，因此a+b=1當直線線y=y0向上平移時，經(jīng)過點（2011，1）時圖象兩個圖象恰有兩個公共點（A、B重合）所以0＜y0＜1時，兩個圖象有三個公共點，此時滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），說明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）故為（2，2012）25.下列說法正確的是（）

A．向量

與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上

B．向量與平行，則與的方向相同或相反

C．向量的長度與向量的長度相等

D．單位向量都相等答案：C26.某超市推出如下優(yōu)惠方案：

（1）一次性購物不超過100元不享受優(yōu)惠；

（2）一次性購物超過100元但不超過300元的一律九折；

（3）一次性購物超過300元的一律八折，有人兩次購物分別付款80元，252元．

如果他一次性購買與上兩次相同的商品，則應付款______．答案：該人一次性購物付款80元，據(jù)條件（1）、（2）知他沒有享受優(yōu)惠，故實際購物款為80元；另一次購物付款252元，有兩種可能，其一購物超過300元按八折計，則實際購物款為2520.8=315元．其二購物超過100元但不超過300元按九折計算，則實際購物款為2520.9=280元．故該人兩次購物總價值為395元或360元，若一次性購買這些商品應付款316元或288元．故為316元或288元．27.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，點A在拋物線C上運動．

（1）當點A，P滿足AP=-2FA，求動點P的軌跡方程；

（2）設M（m，0），其中m為常數(shù)，m∈R+，點A到M的距離記為d，求d的最小值．答案：（1）設動點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（xA，yA），則AP=（x-xA，y-yA），因為F的坐標為（1，0），所以FA=（xA-1，yA），因為AP=-2FA，所以（x-，y-yA）=-2（xA-1，yA）．所以x-xA=-2（xA-1），y-yA=-2yA，所以xA=2-x，yA=-y代入y2=4x，得到動點P的軌跡方程為y2=8-4x；（2）由題意，d=(m-xA)2+yA2=(m-xA)2+4xA=(xA+2-m)2-4-4m∴m-2≤0，即0＜m≤2，xA=0時，dmin=m；m-2＞0，即m＞2，xA=m-2時，dmin=-4-4m．28.已知向量，滿足：||=3，||=5，且=λ，則實數(shù)λ=（）

A．

B．

C．±

D．±答案：C29.用反證法證明“如果a＜b，那么“”，假設的內(nèi)容應是（）

A．

B．

C．且

D．或

答案：D30.設O是正方形ABCD的中心，向量，，，是（

）

A．平行向量

B．有相同終點的向量

C．相等向量

D．模相等的向量答案：D31.某學校準備調(diào)查高三年級學生完成課后作業(yè)所需時間，采取了兩種抽樣調(diào)查的方式：第一種由學生會的同學隨機對24名同學進行調(diào)查；第二種由教務處對年級的240名學生編號，由001到240，請學號最后一位為3的同學參加調(diào)查，則這兩種抽樣方式依次為（）A．分層抽樣，簡單隨機抽樣B．簡單隨機抽樣，分層抽樣C．分層抽樣，系統(tǒng)抽樣D．簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣答案：學生會的同學隨機對24名同學進行調(diào)查，是簡單隨機抽樣，對年級的240名學生編號，由001到240，請學號最后一位為3的同學參加調(diào)查，是系統(tǒng)抽樣，故選D32.若正四面體ABCD的棱長為1，M是AB的中點，則MC

?MD

=______．答案：在正四面體中，因為M是AB的中點，所以CM=12(CA+CB)，DM=12(DA+DB)，所以CM?DM=12(CA+CB)?12(DA+DB)=14(CA?DA+CB?DA+CA?DB+CB?DB)=14(1×1×cos60°+0+0+1×1×cos60°)=14×1=14．所以MC

?MD

=CM?DM=14．故為：

1

4

．33.求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．答案：已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O．求證：菱形ABCD各邊中點M、N、P、Q在以O為圓心的同一個圓上．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足為O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴OM=ON=OP=OQ=12AB，∴M、N、P、Q四點在以O為圓心OM為半徑的圓上．所以菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上．34.已知直線l經(jīng)過點P（3，1），且被兩平行直線l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的線段之長為5，求直線l的方程．答案：解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3，此時與l1、l2的交點分別為A′（3，-4）或B′（3，-9），截得的線段AB的長|AB|=|-4+9|=5，符合題意．若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=k（x-3）+1．解方程組y=k(x-3)+1x+y+1=0得A（3k-2k+1，-4k-1k+1）．解方程組y=k(x-3)+1x+y+6=0得B（3k-7k+1，-9k-1k+1）．由|AB|=5．得（3k-2k+1-3k-7k+1）2+（-4k-1k+1+9k-1k+1）2=52．解之，得k=0，直線方程為y=1．綜上可知，所求l的方程為x=3或y=1．解法二：由題意，直線l1、l2之間的距離為d=|1-6|2=522，且直線L被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長為5，設直線l與直線l1的夾角為θ，則sinθ=5225=22，故θ=45°．由直線l1：x+y+1=0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°，又由直線l過點P（3，1），故直線l的方程為：x=3或y=1．解法三：設直線l與l1、l2分別相交A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+y1+1=0，x2+y2+6=0．兩式相減，得（x1-x2）+（y1-y2）=5．①又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25．②聯(lián)立①、②可得x1-x2=5y1-y2=0或x1-x2=0y1-y2=5由上可知，直線l的傾斜角分別為0°或90°．故所求的直線方程為x=3或y=1．35.若曲線C的極坐標方程為

ρcos2θ=2sinθ，則曲線C的普通方程為______．答案：曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=2sinθ，即ρ2?cos2θ=2ρsinθ，化為直角坐標方程為x2=2y，故為x2=2y36.極坐標系中，若A(3，π3)，B(-3，π6)，則s△AOB=______（其中O是極點）．答案：∵極坐標系中，A(3，π3)，B(-3，π6)，3cosπ3=32，3sinπ3=332；-3cosπ6=-332，-3sinπ6=-32．∴在平面直角坐標系中，A（32，332），B（-332，-32），∴OA=（32，332），OB=（-332，-32），∴|OA|

=

3，|OB|=3，∴cos＜OA，OB＞=-934-93494+274=-32，∴sin＜OA，OB＞=1-34=12，∴S△AOB=12×3×3×12=94．故為：94．37.已知曲線C的參數(shù)方程為x=4t2y=t（t為參數(shù)），若點P（m，2）在曲線C上，則m=______．答案：因為曲線C的參數(shù)方程為x=4t2y=t（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得：x=4y2；∵點P（m，2）在曲線C上，所以m=4×4=16．故為：16．38.設

是不共線的向量，(k，m∈R)，則A、B、C三點共線的充要條件是（）

A．k+m=0

B．k=m

C．km+1=0

D．km-1=0答案：D39.已知兩曲線參數(shù)方程分別為x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）和x=54t2y=t（t∈R），它們的交點坐標為______．答案：曲線參數(shù)方程x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）的直角坐標方程為：x25+y2=1；曲線x=54t2y=t（t∈R）的普通方程為：y2=45x；解方程組：x25+y2=1y2=45x得：x=1y=255∴它們的交點坐標為（1，255）．故為：（1，255）．40.用數(shù)學歸納法證明不等式：1n+1n+1+1n+2+…+1n2＞1（n∈N*且n．1）．答案：證明：（1）當n=2時，左邊=12+13+14=1312＞1，∴n=2時成立（2分）（2）假設當n=k（k≥2）時成立，即1k+1k+1+1k+2+…+1k2＞1那么當n=k+1時，左邊=1k+1+1k+2+1k+3+…+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+…+1k2+2k+1(k+1)2-1k＞1+1k2+1+1k2+2+…+1(k+1)2-1k＞1+(2k+1)?1(k+1)2-1k＞1+k2-k-1k2+2k+1＞1∴n=k+1時也成立（7分）根據(jù)（1）（2）可得不等式對所有的n＞1都成立（8分）41.已知點M在z軸上，A（1，0，2），B（1，-3，1），且|MA|=|MB|，則點M的坐標是

______．答案：∵點M在z軸上，∴設點M的坐標為（0，0，z）又|MA|=|MB|，由空間兩點間的距離公式得：12+02+(z-2)2=12+32+(z-1)2解得：z=-3．故點M的坐標是（0，0，-3）．故為：（0，0，-3）．42.假設兩圓互相外切，求證：用連心線做直徑的圓，必與前兩圓的外公切線相切．答案：證明：設⊙O1及⊙O2為互相外切的兩個圓，其一外公切線為A1A2，切點為A1及A2令點O為連心線O1O2的中點，過O作OA⊥A1A2，由直角梯形的中位線性質(zhì)得：OA=12（O1A1+O2A2）=12O1O2，∴以O1O2為直徑，即以O為圓心，OA為半徑的圓必與直線A1A2相切，同理可證，此圓必切于⊙O1及⊙O2的另一條外公切線．43.如果執(zhí)行程序框圖，那么輸出的S=（）A．2450B．2500C．2550D．2652答案：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出：S=2×1+2×2+…+2×50的值．∵S=2×1+2×2+…+2×50=2×1+502×50=2550故選C44.已知直線y=kx+1與橢圓x25+y2m=1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．m≥1B．m≥1，或0＜m＜1C．0＜m＜5，且m≠1D．m≥1，且m≠5答案：由于直線y=kx+1恒過點M（0，1）要使直線y=kx+1與橢圓x25+y2m=1恒有公共點，則只要M（0，1）在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上從而有m＞0m≠505+1m≤1，解可得m≥1且m≠5故選D．45.設雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞b＞0)的半焦距為c，直線l過（a，0），（0，b）兩點，已知原點到直線l的距離為34c，則雙曲線的離心率為______．答案：∵直線l過（a，0），（0，b）兩點，∴直線l的方程為：xa+yb=1，即bx+ay-ab=0，∵原點到直線l的距離為34c，∴|ab|a2+b2=3c4，又c2=a2+b2，∴3e4-16e2+16=0，∴e2=4，或e2=43．∵a＞b＞0，∴離心率為e=2或e=233；故為2或233．46.回歸直線方程必定過點（）A．（0，0）B．(.x，0)C．(0，.y)D．(.x，.y)答案：∵線性回歸方程一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，∴線性回歸方程y=bx+a表示的直線必經(jīng)過(.x，.y)．故選D．47.拋物線y=ax2（其中a＞0）的焦點坐標是（

）

A．(，0)

B．(0，)

C．(，0)

D．(0，)答案：D48.橢圓x216+y27=1上的點M到左準線的距離為53，則點M到左焦點的距離為（）A．8B．5C．274D．54答案：根據(jù)橢圓的第二定義可知M到左焦點F1的距離與其到左準線的距離之比為離心率，依題意可知a=4，b=7∴c=3∴e=ca=34，∴根據(jù)橢圓的第二定義有：MF

1d=34∴M到左焦點的距離為MF1=53×34=54故選D．49.四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有兩名相鄰，但三名女生不能連排，則不同的排法數(shù)有（）A．3600B．3200C．3080D．2880答案：由題意知本題需要利用分步計數(shù)原理來解，∵三名女生有且僅有兩名相鄰，∴把這兩名女生看做一個元素，與另外一名女生作為兩個元素，有C32A22種結(jié)果，把男生排列有A44，把女生在男生所形成的5個空位中排列有A52種結(jié)果，共有C32A22A44A52=2880種結(jié)果，故選D．50.集合{0，1}的子集有（）個．A．1個B．2個C．3個D．4個答案：根據(jù)題意，集合{0，1}的子集有{0}、{1}、{0，1}、?，共4個，故選D．第2卷一.綜合題(共50題)1.已知雙曲線的焦點在y軸，實軸長為8，離心率e=2，過雙曲線的弦AB被點P（4，2）平分；

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）求弦AB所在直線方程；

（3）求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積．答案：（1）∵雙曲線的焦點在y軸，∴設雙曲線的標準方程為y2a2-x2b2=1；∵實軸長為8，離心率e=2，∴a=4，c=42，∴b2=c2-a2=16．或∵實軸長為8，離心率e=2，∴雙曲線為等軸雙曲線，a=b=4．∴雙曲線的標準方程為y216-x216=1．（2）設弦AB所在直線方程為y-2=k（x-4），A，B的坐標為A（x1，y1），B（x2，y2）．∴k=y1-y2x1-x2，x1+x22=4，y1+y22=2；∴y1216-x1216=1

y2216-x2216=1?y12-y2216-x12-x2216=0?(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8，y1+y2=4，得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0，∴y1-y2x1-x2×14-12=0，∴14k-12=0，∴k=2；所以弦AB所在直線方程為y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．（3）等軸雙曲線y216-x216=1的漸近線方程為y=±x．∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形．又漸近線與弦AB所在直線的交點坐標分別為（6，6），（2，-2），∴直角三角形兩條直角邊的長度分別為62、22；∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積S=12×62×22=12．2.已知函數(shù)f（x）=x2+（a2-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小，則實數(shù)a的取值范圍______．答案：∵函數(shù)f（x）=x2+（a2-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小∴f（1）＜0∴1+a2-1+a-2＜0∴a2+a-2＜0∴-2＜a＜1∴實數(shù)a的取值范圍為（-2，1）故為：（-2，1）3.若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，則事件A與事件B的關系是（）

A．互斥事件

B．對立事件

C．不是互斥事件

D．前者都不對答案：D4.已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α∥β，則λ的值是（）

A．-

B．-6

C．6

D．答案：C5.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一個焦點是F2（2，0），且b=3a．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設經(jīng)過焦點F2的直線l的一個法向量為（m，1），當直線l與雙曲線C的右支相交于A，B不同的兩點時，求實數(shù)m的取值范圍；并證明AB中點M在曲線3（x-1）2-y2=3上．

（3）設（2）中直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，問是否存在實數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請求出m的范圍；若不存在，請說明理由．答案：（1）c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴雙曲線為x2-y23=1．（2）l：m（x-2）+y=0由y=-mx+2mx2-y23=1得（3-m2）x2+4m2x-4m2-3=0由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立又x1+x2＞0x1?x2＞04m2m2-3＞04m2+3m2-3＞0∴m2＞3∴m∈(-∞，-3)∪(3，+∞)設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x22=2m2m2-3y1+y22=-2m3m2-3+2m=-6mm2-3∴AB中點M(2m2m2-3，-6mm2-3)∵3(2m2m2-3-1)2-36m2(m2-3)2=3×(m2+3)2(m2-3)2-36m2(m2-3)2=3?m4+6m2+9-12m2(m2-3)2=3∴M在曲線3（x-1）2-y2=3上．（3）A（x1，y1），B（x2，y2），設存在實數(shù)m，使∠AOB為銳角，則OA?OB＞0∴x1x2+y1y2＞0因為y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0∴m2＜35，與m2＞3矛盾∴不存在6.設隨機變量ζ～N（2，p），隨機變量η～N（3，p），若，則P（η≥1）=（）

A．

B．

C．

D．答案：D7.在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是______．答案：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件有C52=10種結(jié)果，其中至少有一個紅球的事件包括C22+C21C31=7個基本事件，根據(jù)古典概型公式得到P=710，故為：710．8.函數(shù)f（x）=ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)）對任意實數(shù)x、y，都有（）

A．f（x+y）=f（x）f（y）

B．f（x+y）=f（x）+f（y）

C．f（xy）=f（x）f（y）

D．f（xy）=f（x）+f（y）答案：A9.已知雙曲線x2-y22=1，經(jīng)過點M（1，1）能否作一條直線l，使直線l與雙曲線交于A、B，且M是線段AB的中點，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，說明理由．答案：設過點M（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1（1）當k存在時有y=k(x-1)+1x2

-y22=1得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0

（1）當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜32

又方程（1）的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標∴x1+x2=2(k-k2)2-k2

又M（1，1）為線段AB的中點∴x1+x22=1

即k-k22-k2=1

k=2

∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0因此當k=2時，方程（1）無實數(shù)解故過點m（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且M為線段AB中點的直線不存在．（2）當x=1時，直線經(jīng)過點M但不滿足條件，綜上，符合條件的直線l不存在10.若m∈{-2，-1，1，2}，n∈{-2，-1，1，2，3}，則方程x2m+y2n=1表示的是雙曲線的概率為______．答案：由題意，方程x2m+y2n=1表示雙曲線時，mn＜0，m＞0，n＜0時，有2×2=4種，m＜0，n＞0時，有2×3=6種∵m，n的取值共有4×5=20種∴方程x2m+y2n=1表示的是雙曲線的概率為4+620=12故為：1211.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2=，則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上（）

A．k2+1

B．（k+1）2

C．

D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2答案：D12.已知向量a與b的夾角為60°，且|a|=1，|b|=2，那么（a+b）2的值為______．答案：由題意可得a?b=|a|?|b|cos＜a

，

b＞=1×2×cos60°=1．∴（a+b）2=a2+b2+2a?b=1+4+2×1=7．故為：7．13.設隨機變量X服從B(6，)，則P（X=3）的值是（）

A．

B．

C．

D．答案：B14.在平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）是橢圓x23+y2=1上的一個動點，求S=x+y的最大值．答案：因橢圓x23+y2=1的參數(shù)方程為x=3cos?y=sin?（?為參數(shù)）故可設動點P的坐標為(3cos?，sin?)，其中0≤?＜2π．因此S=x+y=3cos?+sin?=2(32cos?+12sin?)=2sin(?+π3)所以，當?=π6時，S取最大值2．15.每一噸鑄鐵成本y

（元）與鑄件廢品率x%建立的回歸方程y=56+8x，下列說法正確的是（）A．廢品率每增加1%，成本每噸增加64元B．廢品率每增加1%，成本每噸增加8%C．廢品率每增加1%，成本每噸增加8元D．如果廢品率增加1%，則每噸成本為56元答案：∵回歸方程y=56+8x，∴當x增加一個單位時，對應的y要增加8個單位，這里是平均增加8個單位，故選C．16.圓的極坐標方程為ρ=2cos（θ+π3），則該圓的圓心的極坐標是______．答案：∵ρ=2cos（θ+π3），展開得ρ=cosθ-3sinθ，∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ，∴x2+y2=x-3y，∴(x-12)2+(y+32)2=1．∴圓心(12，-32)．∴ρ=(12)2+(-32)2=1，tanθ=-3212=-3，∴θ=-π3．故圓心的極坐標是(1，-π3)．故為(1，-π3)．17.若根據(jù)10名兒童的年齡

x（歲）和體重

y（㎏）數(shù)據(jù)用最小二乘法得到用年齡預報體重的回歸方程是

y=2x+7，已知這10名兒童的年齡分別是

2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，則這10名兒童的平均體重是（）

A．17㎏

B．16㎏

C．15㎏

D．14㎏答案：C18.如果命題P：?∈{?}，命題Q：??{?}，那么下列結(jié)論不正確的是（）A．“P或Q”為真B．“P且Q”為假C．“非P”為假D．“非Q”為假答案：命題P：?∈{?}，命題Q：??{?}，可直接看出命題Q，命題P都是正確的．故“P或Q”為真．“P且Q”為真．“非P”為假．“非Q”為假．故選B．19.畫出《數(shù)學3》第一章“算法初步”的知識結(jié)構(gòu)圖．答案：《數(shù)學3》第一章“算法初步”的知識包括：算法、程序框圖、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)和框圖表示、基本算法語句．算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)和框圖表示就是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)，基本算法語句是指輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句和循環(huán)語句．故《數(shù)學3》第一章“算法初步”的知識結(jié)構(gòu)圖示意圖如下：20.設a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n=1，2…)求證：

（1）xn＞2，且xn+1xn＜1(n=1，2…)；

（2）如果a≤3，那么xn≤2+12n-1(n=1，2…)．答案：證明：（1）①當n=1時，∵x2=x122(x1-1)=x1+(2-x1)x12(x1-1)，x2=x122(x1-1)=4(x1-1)+x12

-4x1+42(x1-1)=2+(x1-2)22(x1-1)，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．結(jié)論成立．②假設n=k時，結(jié)論成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），則xk+2=xk+122(xk+1-1)=xk+1+(2-xk+1)xk+12(xk+1-1)＞xk+1，xk+2=xk+122(xk+1-1)=2+(xk+1-2)22(xk+1-1)＞2．∴2＜xk+2＜xk+1，綜上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．∴xn＞2且xn+1xn＜1．（2）由條件x1=a≤3知不等式當n=1時成立假設不等式當n=k（k≥1）時成立當n=k+1時，由條件及xk＞2知xk+1≤1+12k?x2k≤2(xk-1)(2+12k)?x2k-2(2+12k)xk+2(2+12k)≤0?(xk-2)[xk-(2+12k-1)]≤0，再由xk＞2及歸納假設知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式xk+1≤2+12k也成立，從而不等式xn≤2+12n-1對所有的正整數(shù)n成立21.已知橢圓(a＞b＞0)的焦點分別為F1，F(xiàn)2，b=4，離心率e=過F1的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為（）

A．10

B．12

C．16

D．20答案：D22.已知直線l：kx-y+1+2k=0．

（1）證明：直線l過定點；

（2）若直線l交x負半軸于A，交y正半軸于B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時直線l的方程．答案：（1）證明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，∴無論k取何值，直線過定點（-2，1）．（2）令y=0得A點坐標為（-2-1k，0），令x=0得B點坐標為（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB=12|-2-1k||2k+1|=12（2+1k）（2k+1）=（4k+1k+4）≥12（4+4）=4．當且僅當4k=1k，即k=12時取等號．即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為12x-y+1+1=0．即x-2y+4=023.已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在[60，70]的汽車大約有（）輛．A．90B．80C．70D．60答案：由已知可得樣本容量為200，又∵數(shù)據(jù)落在區(qū)間[60，70]的頻率為0.04×10=0.4∴時速在[60，70]的汽車大約有200×0.4=80故選B．24.若點M，A，B，C對空間任意一點O都滿足則這四個點（）

A．不共線

B．不共面

C．共線

D．共面答案：D25.有五條線段長度分別為1、3、5、7、9，從這5條線段中任取3條，則所取3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（）A．110B．310C．12D．710答案：由題意知本題是一個古典概型，∵試驗發(fā)生包含的所有事件是從五條線段中取三條共有C53種結(jié)果，而滿足條件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三種結(jié)果，∴由古典概型公式得到P=3C35=310，故選B．26.兩條直線l1：x-3y+2=0與l2：x-y+2=0的夾角的大小是______．答案：由于兩條直線l1：x-3y+2=0與l2：x-y+2=0的斜率分別為33、1，設兩條直線的夾角為θ，則tanθ=|k2-k11+k2?k1|=|1-331+1×33|=3-33+3=2-3，∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=33，∴2θ=π6，θ=π12，故為π12．27.在命題“若a＞b，則ac2＞bc2”及它的逆命題、否命題、逆否命題之中，其中真命題有（）A．4個B．3個C．2個D．1個答案：命題“若a＞b，則ac2＞bc2”為假命題；其逆命題為“若ac2＞bc2，則a＞b”為真命題；其否命題為“若a≤b，則ac2≤bc2”為真命題；其逆否命題為“若ac2≤bc2，則a≤b”為假命題；故選C28.已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，那么y1=f(π3)，y2=f(3x2+1)和y3=f(log214)之間的大小關系為（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1答案：∵偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)∴|x|越大，函數(shù)值就越大∵|3x2+1|≥3，|log214|=2∴|3x2+1|＞|log214|＞π3∴y1＜y3＜y2故選A29.下面的結(jié)構(gòu)圖，總經(jīng)理的直接下屬是（）

A．總工程師和專家辦公室

B．開發(fā)部

C．總工程師、專家辦公室和開發(fā)部

D．總工程師、專家辦公室和所有七個部答案：C30.利用獨立性檢驗對兩個分類變量是否有關系進行研究時，若有99.5%的把握說事件A和B有關系，則具體計算出的數(shù)據(jù)應該是（）

A．K2≥6.635

B．K2＜6.635

C．K2≥7.879

D．K2＜7.879答案：C31.如圖，直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則必有（）A．k1＜k3＜k2B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3D．k3＜k2＜k1答案：設直線l1、l2、l3的傾斜角分別為α1，α2，α3．由已知為α1為鈍角，α2＞α3，且均為銳角．由于正切函數(shù)y=tanx在（0，π2）上單調(diào)遞增，且函數(shù)值為正，所以tanα2＞tanα3＞0，即k2＞k3＞0．當α為鈍角時，tanα為負，所以k1=tanα1＜0．綜上k1＜k3＜k2，故選A．32.已知函數(shù)f(x)=2-x，x≤112+log2x，x＞1，則滿足f（x）≥1的x的取值范圍為______．答案：當x≤1時，2-x≥1，解得-x≥0，即x≤0，所以x≤0；當x＞1時，12+log2x≥1，解得x≥2，所以x≥2．所以滿足f（x）≥1的x的取值范圍為(-∞，0]∪[2，+∞)．故為：(-∞，0]∪[2，+∞)．33.已知2a=3b=6c則有（）

A．∈(2，3)

B．∈(3，4)

C．∈(4，5)

D．∈(5，6)答案：C34.已知復數(shù)a+bi，其中a，b為0，1，2，…，9這10個數(shù)字中的兩個不同的數(shù)，則不同的虛數(shù)的個數(shù)為（）A．36B．72C．81D．90答案：當a取0時，b有9種取法，當a不取0時，a有9種取法，b不能取0和a取的數(shù)，故b有8種取法，∴組成不同的虛數(shù)個數(shù)為9+9×8=81種，故選C．35.求過點A（2，3）且被兩直線3x+4y-7=0，3x+4y+8=0截得線段為32的直線方程．答案：設所求直線l的斜率為k，∵|MN|=32，又在Rt△MNB中，|MB|=3，∴∠MNB=45°，即2條直線的夾角為45°，∴|

k-(-34)1+k(-34)|=tan45°=1，解得k=17，或k=-7，所求直線的方程為y-3=17（x-2），或y-3=-7（x-2），即x-7y+19=0，或7x+y-17=0．36.已知定直線l及定點A（A不在l上），n為過點A且垂直于l的直線，設N為l上任意一點，線段AN的垂直平分線交n于B，點B關于AN的對稱點為P，求證：點P的軌跡為拋物線．答案：證明：如圖所示，建立平面直角坐標系，并且連結(jié)PA，PN，NB．由題意知PB垂直平分AN，且點B關于AN的對稱點為P，∴AN也垂直平分PB．∴四邊形PABN為菱形，∴PA=PN．∵AB⊥l，∴PN⊥l．故點P符合拋物線上點的條件：到定點A的距離和到定直線l的距離相等，∴點P的軌跡為拋物線．37.直線x+1=0的傾斜角是______．答案：直線x+1=0與x軸垂直，所以直線的傾斜角為90°．故為：90°．38.已知點A（-3，8），B（2，4），若y軸上的點P滿足PA的斜率是PB斜率的2倍，則P點的坐標為______．答案：設P（0，y），則∵點P滿足PA的斜率是PB斜率的2倍，∴y-80+3=2?y-40-2∴y=5∴P（0，5）故為：（0，5）39.已知函數(shù)f(x)=x21+x2．

（1）求f（2）與f(12)，f（3）與f(13)；

（2）由（1）中求得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f(1x)有什么關系？并證明你的結(jié)論；

（3）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(12)+f(13)+…+f(12013)的值．答案：（1）f（2）=45，f（12）=15…1分f（3）=910，f（13）=110…2分（2）f（x）+f（1x）=1…5分證：f（x）+f（1x）=x21+x2+(1x)21+(1x)2=x21+x2+11+x2=1…8分（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（12）+f（13）+…+f（12013）=f（1）+[f（2）+f（12）]+[f（3）+f（13）]+…+[f（2013）+f（12013）]=12+2012=40252…12分40.若向量e1，e2不共線，且ke1+e2與e1+ke2可以作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)k的取值范圍為______．答案：∵當（ke1+e2）∥（e1+ke2），∴ke1+e2=λ（e1+ke2），∴ke1+e2=λe1+λke2，∴k=λ，1=λk，∴k2=1，k=±1，故ke1+e2與e1+ke2可以作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)k的取值范圍為k≠±1．故為：k≠±1．41.平行線l1：3x-2y-5=0與l2：6x-4y+3=0之間的距離為______．答案：將l1：3x-2y-5=0化成6x-4y-10=0∴l(xiāng)1：3x-2y-5=0與l2：6x-4y+3=0之間的距離為d=|-10-3|62+(-4)2=1352=132故為：13242.（幾何證明選做題）若A，B，C是⊙O上三點，PC切⊙O于點C，∠ABC=110°，∠BCP=40°，則∠AOB的大小為______．答案：∵PC切⊙O于點C，OC為圓的半徑∴OC⊥PC，即∠PCO=90°∵∠BCP=40°∴∠BCO=50°由弦切角定理及圓周角定理可知，∠BOC=2∠PCB=80°∵△BOC中，∠OBC=50°，∠ABC=110°∴∠OBA=60°∵OB=OA∴∠AOB=60°故為：60°43.長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，，則點C的軌跡是（）

A．線段

B．圓

C．橢圓

D．雙曲線答案：C44.直線l過橢圓x24+y23=1的右焦點F2并與橢圓交與A、B兩點，則△ABF1的周長是（）A．4B．6C．8D．16答案：根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得：|AF1|+|AF2|=2a=4，，并且|BF1|+|BF2|=2a=4，又因為|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周長為：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8．故選C．45.設a、b為單位向量，它們的夾角為90°，那么|a+3b|等于（）A．7B．10C．13D．4答案：∵a，b它們的夾角為90°∴a?b=0∴（a+3b）2=a2+6a?b+9b2=10，|a+3b|=10．故選B．46.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若向量OB=a100OA+a101OC，且A、B、C三點共線（該直線不過點O），則S200等于______．答案：由題意可知：向量OB=a100OA+a101OC，又∵A、B、C三點共線，則a100+a101=1，等差數(shù)列前n項的和為Sn=(a1+an)?n

2，∴S200=(a1+a200)×200

2=(a100+

a101)×2002=100，故為100．47.在班級隨機地抽取8名學生，得到一組數(shù)學成績與物理成績的數(shù)據(jù)：

數(shù)學成績6090115809513580145物理成績4060754070856090（1）計算出數(shù)學成績與物理成績的平均分及方差；

（2）求相關系數(shù)r的值，并判斷相關性的強弱；（r≥0.75為強）

（3）求出數(shù)學成績x與物理成績y的線性回歸直線方程，并預測數(shù)學成績?yōu)?10的同學的物理成績．答案：（1）計算出數(shù)學成績與物理成績的平均分及方差；.x=100，.y=65，數(shù)學成績方差為750，物理成績方差為306.25；（4分）（2）求相關系數(shù)r的值，并判斷相關性的強弱；r=6675≈0.94＞0.75，相關性較強；（8分）（3）求出數(shù)學成績x與物理成績y的線性回歸直線方程，并預測數(shù)學成績?yōu)?10的同學的物理成績．y=0.6x+5，預測數(shù)學成績?yōu)?10的同學的物理成績?yōu)?1．（12分）48.給出下列四個命題，其中正確的一個是（）

A．在線性回歸模型中，相關指數(shù)R2=0.80，說明預報變量對解釋變量的貢獻率是80%

B．在獨立性檢驗時，兩個變量的2×2列聯(lián)表中對角線上數(shù)據(jù)的乘積相差越大，說明這兩個變量沒有關系成立的可能性就越大

C．相關指數(shù)R2用來刻畫回歸效果，R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好

D．線性相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，表明兩個隨機變量線性相關性越強答案：D49.不等式的解集是（

）

A．

B．

C．

D．答案：D50.若長方體的三個面的對角線長分別是a，b，c，則長方體體對角線長為（）A．a(chǎn)2+b2+c2B．12a2+b2+c2C．22a2+b2+c2D．32a2+b2+c2答案：解析：設同一頂點的三條棱分別為x，y，z，則x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2得x2+y2+z2=12(a2+b2+c2)，則對角線長為12(a2+b2+c2)=22a2+b2+c2．故選C．第3卷一.綜合題(共50題)1.氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22

（℃）”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；

②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；

③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8；

則肯定進入夏季的地區(qū)有（）A．0個B．1個C．2個D．3個答案：①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，根據(jù)數(shù)據(jù)得出：甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為：22，22，24，25，26．其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22．

②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24．根據(jù)其總體均值為24可知其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22．③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，根據(jù)其總體均值為24可知其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22．則肯定進入夏季的地區(qū)有甲、乙、丙三地．故選D．2.已知中心在原點，對稱軸為坐標軸，長半軸長與短半軸長的和為92，離心率為35的橢圓的標準方程為______．答案：由題意可得a+b=92e=ca=35a2=b2+c2，解得a2=50b2=32．∴橢圓的標準方程為x250+y232=1或y250+x232=1．故為x250+y232=1或y250+x232=1．3.直線l過橢圓x24+y23=1的右焦點F2并與橢圓交與A、B兩點，則△ABF1的周長是（）A．4B．6C．8D．16答案：根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得：|AF1|+|AF2|=2a=4，，并且|BF1|+|BF2|=2a=4，又因為|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周長為：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8．故選C．4.（理）

設O為坐標原點，向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，OP=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，則當QA?QB取得最小值時，點Q的坐標為______．答案：∵OP=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，設OQ=λOP=（λ，λ，2λ）又∵向量OA=(1，2，3)，OB=(2，1，2)，∴QA=（1-λ，2-λ，3-2λ），QB=（2-λ，1-λ，2-2λ）則QA?QB=（1-λ）×（2-λ）+（2-λ）×（1-λ）+（3-2λ）×（2-2λ）=6λ2-16λ+10易得當λ=43時，QA?QB取得最小值．此時Q的坐標為（43，43，83）故為：（43，43，83）5.在空間直角坐標系中，已知點P（a，0，0），Q（4，1，2），且|PQ|=，則a=（）

A．1

B．-1

C．-1或9

D．1或9答案：C6.已知A，B兩點的極坐標為(6，)和(8，)，則線段AB中點的直角坐標為（）

A．(，-)

B．(-，)

C．(，-)

D．(-，-)答案：D7.（本題滿分12分）已知對任意的平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P

①已知平面內(nèi)的點A（1，2），B，把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點P，求點P的坐標

②設平面內(nèi)曲線C上的每一點繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的點的軌跡是曲線，求原來曲線C的方程.答案：解:

……2分

……6分

解得x="0,y="-1

……7分②

…………10分

即…………11分又x’2-y’2="1

"……12分

……13分

化簡得:

……14分解析：略8.函數(shù)y=2|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，16]，當a變動時，函數(shù)b=g（a）的圖象可以是（）A．

B．

C．

D．

答案：根據(jù)選項可知a≤0a變動時，函數(shù)y=2|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，16]，∴2|b|=16，b=4故選B．9.若向量a=(4，2，-4)，b=(6，-3，2)，則(2a-3b)?(a+2b)=______．答案：∵2a-3b=(-10，13，-14)，a+2b=(16，-4，0)∴(2a-3b)?(a+2b)=-10×16+13×（-4）=-212故為-21210.不等式>1–log2x的解是（

）

A．x≥2

B．x>1

C．1xx>2答案：B11.

在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且BC=3CD,點O在線段CD上（與點C、D不重合），若AO=xAB+(1-x）AC,則x的取值范圍是（）

A.

B.

C．

D．答案：D12.下面五個命題：（1）所有的單位向量相等；（2）長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量；（3）由于零向量的方向不確定，故0與任何向量不平行；（4）對于任何向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|．其中正確命題的序號為：______．答案：（1）單位向量指模為1的向量，方向可為任意的，故錯誤；（2）由共線向量的定義，方向相反的兩個向量一定是共線向量，故錯誤；（3）規(guī)定：零向量與任何向量為平行向量，故錯誤；（4）因為|a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=（|a|+|b|）2，故正確故為：（4）13.有一個正四棱臺形狀的油槽，可以裝油190L，假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm，求它的深度．答案：由于臺體的體積V=13（S+SS′+S′）h，則h=3VS+SS′+S′=3×1900003600+2400+1600=75cm．故它的深度為75cm．14.某學校為了解該校1200名男生的百米成績（單位：秒），隨機選擇了50名學生進行調(diào)查．如圖是這50名學生百米成績的頻率分布直方圖．根據(jù)樣本的頻率分布，估計這1200名學生中成績在[13，15]（單位：秒）內(nèi)的人數(shù)大約是______．答案：∵由圖知，前面兩個小矩形的面積=0.02×1+0.18×1=0.2，即頻率，∴1200名學生中成績在[13，15]（單位：s）內(nèi)的人數(shù)大約是0.2×1200=240．故為240．15.如圖，△ABC內(nèi)接于圓⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，則∠AOB=（）

A．30°

B．40°

C．80°

D．70°

答案：C16.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系（ρ，θ）（ρ＞0，0≤θ＜π2）中，曲線ρ=2sinθ與ρ=2cosθ的交點的極坐標為______．答案：兩式ρ=2sinθ與ρ=2cosθ相除得tanθ=1，∵0≤θ＜π2，∴θ=π4，∴ρ=2sinπ4=2，故交點的極坐標為（2，π4）．故為：（2，π4）．17.（1+2x）7的展開式中第4項的系數(shù)是______

（用數(shù)字作答）答案：（1+2x）7的展開式的通項為Tr+1=Cr7?(2x)r∴（1+2x）7的展開式中第4項的系數(shù)是C37?23=280，故為：280．18.直線x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一點，則k的值是（）

A．

B．-

C．2

D．-2答案：B19.平面向量與的夾角為60°，=（1,0），||=1，則|+2|=（

）

A．7

B.

C．4

D．12答案：B20.已知拋物線y2=4x上兩定點A、B分別在對稱軸兩側(cè)，F(xiàn)為焦點，且|AF|=2，|BF|=5，在拋物線的AOB一段上求一點P，使S△ABP最大，并求面積最大值．答案：不妨設點A在第一象限，B點在第四象限．如圖．拋物線的焦點F（1，0），點A在第一象限，設A（x1，y1），y1＞0，由|FA|=2得x1+1=2，x1=1，代入y2=4x中得y1=2，所以A（1，2），…（2分）；同理B（4，-4），…（4分）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…（6分）直線AB的方程為y-2-4-2=x-14-1，化簡得2x+y-4=0．…（8分）再設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x0，y0），且0≤x0≤4，-4≤y0≤2．則點P到直線AB的距離d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0

24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5

…（9分）所以當y0=-1時，d取最大值9510，…（10分）所以△PAB的面積最大值為S=12×35×9510=274

…（11分）此時P點坐標為（14，-1）．…（12分）．21.在直角梯形ABCD中，已知A（-5，-10），B（15，0），C（5，10），AD是腰且垂直兩底，求頂點D的坐標．答案：設D（x，y），則∵DC∥AB，∴y-10x-5=0+1015+5，又∵DA⊥AB，∴y+10x+5?0+1015+5=-1．由以上方程組解得：x=-11，y=2．∴D（-11，2）．22.已知F1（-8，3），F(xiàn)2（2，3），動點P滿足PF1-PF2=10，則點P的軌跡是______．答案：由于兩點間的距離|F1F2|=10，所以滿足條件|PF1|-|PF2|=10的點P的軌跡應是一條射線．故為一條射線．23.如圖，四面體ABCD中，點E是CD的中點，記=（

）

A．

B．

C．

D．

答案：B24.△ABC所在平面內(nèi)點O、P，滿足OP=OA+λ(AB+12BC)，λ∈[0，+∞），則點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的（）A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心答案：設BC的中點為D，則∵OP=OA+λ(AB+12BC)，∴OP=OA+λAD∴AP=λAD∴AP∥AD∵AD是△ABC的中線∴點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心故選A．25.設直線過點（0，a），其斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，則a的值為（）

A．±

B．±2

C．±2

D．±4答案：B26.種植兩株不同的花卉，它們的存活率分別為p和q，則恰有一株存活的概率為(

)A．p+q－2pqB．p+q－pqC．p+qD．pq答案：A解析：恰有一株存活的概率為p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq。27.為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩位同學各自獨立地做10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法正確的是（）

A．l1和l2必定平行

B．l1與l2必定重合

C．l1和l2有交點（s，t）

D．l1與l2相交，但交點不一定是（s，t）答案：C28.把下列直角坐標方程或極坐標方程進行互化：

（1）ρ（2cos?-3sin?）+1=0

（2）x2+y2-4x=0．答案：（1）將原極坐標方程ρ（2cosθ-3sinθ）+1=0展開后化為：2ρcosθ-3ρsinθ+1=0，化成直角坐標方程為：2x-3y+1=0，（2）把公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入曲線的直角坐標方程為x2+y2-4x=0，可得極坐標方程ρ2-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．29.將兩粒均勻的骰子各拋擲一次，觀察向上的點數(shù)，計算：

（1）共有多少種不同的結(jié)果？并試著列舉出來．

（2）兩粒骰子點數(shù)之和等于3的倍數(shù)的概率；

（3）兩粒骰子點數(shù)之和為4或5的概率．答案：（1）每一粒均勻的骰子拋擲一次，都有6種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理，所有可能結(jié)果共有6×6=36種．

…（4分）（2）兩粒骰子點數(shù)之和等于3的倍數(shù)的有以下12種：（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（5，4），（4，5），（6，6），共有12個結(jié)果，因此，兩粒骰子點數(shù)之和等于3的倍數(shù)的概率是1236=13．

…（8分）（3）兩粒骰子點數(shù)之和為4或5的有以下7種：（2，2），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（1，4），（4，1），因此，兩粒骰子點數(shù)之和為4或5的概率為736．

…（12分）30.設e1，e2為單位向量．且e1、e2的夾角為π3，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的射影為______．答案：∵e1、e2為單位向量，且e1和e2的夾角θ等于π3，∴e1?e2=1×1×cosπ3=12．∵a=e1+3e2，b=2e1，∴a?b=（e1+3e2）?（2e1）=2e12+6e1?e2=2+3=5．∴a在b上的射影為a?b|b|=52，故為52．31.已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且，則的值（）

A．3

B．

C．2

D．答案：B32.“所有9的倍數(shù)（M）都是3的倍數(shù)（P），某奇數(shù)（S）是9的倍數(shù)（M），故此奇數(shù)（S）是3的倍數(shù)（P）”，上述推理是（）

A．小前提錯

B．結(jié)論錯

C．正確的

D．大前提錯答案：C33.某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，