2022屆上海市比樂中學(xué)高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第1頁
2022屆上海市比樂中學(xué)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第2頁
2022屆上海市比樂中學(xué)高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第3頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.己知拋物線的焦點為,準線為,點分別在拋物線上,且,直線交于點,,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.62.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.3.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”,這可視為中國古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示),當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.4.若非零實數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.5.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.266.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.77.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.8.若集合,,則()A. B. C. D.9.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對為()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)()A. B. C.4 D.511.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為,若,,則()A. B. C. D.12.關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),某同學(xué)通過下面的隨機模擬方法來估計的值:先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對,其中,都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù),再統(tǒng)計,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若,則的估計值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、,其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點,、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為________.14.已知,復(fù)數(shù)且(為虛數(shù)單位),則__________,_________.15.若的展開式中所有項的系數(shù)之和為,則______,含項的系數(shù)是______(用數(shù)字作答).16.已知雙曲線C:()的左、右焦點為,,為雙曲線C上一點,且,若線段與雙曲線C交于另一點A,則的面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),為的前n項和,求證:.18.(12分)(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)證明:();(Ⅲ)證明:.19.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點.(1)求的長;(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,設(shè)點的極坐標為,求點到線段中點的距離.20.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,為橢圓上一動點(異于左右頂點),面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于點兩點,問軸上是否存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.21.(12分)中的內(nèi)角,,的對邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點為邊上一點,且,求的面積.22.(10分)如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點,.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個定點Q,使得對任意的實數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

作,垂足為,過點N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點,即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過點N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因為,所以為線段的中點,所以F到l的距離為.故選:D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識,屬于中檔題.2.B【解析】

由題意畫出圖形,設(shè)球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,,,由,得.如圖:設(shè)三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積,基本不等式等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.3.A【解析】

設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.4.C【解析】

令,則,,將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后,然后取絕對值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.5.D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.6.C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得:,故選:C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運行的過程.7.C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用,考查計算能力.8.B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.9.B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B10.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則先求出復(fù)數(shù)z,再計算它的模長.【詳解】解:復(fù)數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題,要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式,是基礎(chǔ)題.11.C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進而得到數(shù)列的通項和前項和,根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列,所以,故即,由可得或,因為為遞增數(shù)列,故符合.此時,所以或(舍,因為為遞增數(shù)列).故,.故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.12.B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,然后再利用隨機模擬方法得到,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,二者概率相等即可估計出.【詳解】因為,都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù),所以有,,若,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長,則,由幾何概型的概率計算公式知,所以.故選:B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率,考查學(xué)生的基本計算能力,是一個中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因為是以為底邊的等腰三角形,所以,即,因為,所以,因為,所以,所以,即,而,因為,所以在上遞增,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.14.【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴,故答案為,15.【解析】的展開式中所有項的系數(shù)之和為,,,項的系數(shù)是,故答案為(1),(2).16.【解析】

由已知得即,,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標,借助,即可解得所求.【詳解】由已知得,又,,所以,解得或,由在雙曲線C上,所以或,所以或(舍去),因此雙曲線C的方程為.又,所以線段的方程為,與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得,所以,,所以點A坐標為,所以.【點睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學(xué)生的計算能力,難度較難.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當時,;當,,可得,又∵當時也成立,;(2),【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項求和法,屬于基礎(chǔ)題.18.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析【解析】

運用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡,運用累加法得出結(jié)果運用放縮法和累加法進行求證【詳解】(Ⅰ)數(shù)學(xué)歸納法證明時,①當時,成立;②當時,假設(shè)成立,則時所以時,成立綜上①②可知,時,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【點睛】本題考查了數(shù)列的綜合,運用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的成立,結(jié)合已知條件進行化簡求出化簡后的結(jié)果,利用放縮法求出不等式,然后兩邊同時取對數(shù)再進行證明,本題較為困難。19.(1);(2).【解析】

(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長;(2)將的極坐標化為直角坐標,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個交點坐標,由中點坐標公式求得的坐標,再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標方程為,即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為,半徑為1,則由點到直線距離公式可知,所以.(2)點的極坐標為,化為直角坐標可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡可得,解得,所以兩點坐標為,所以,由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化,點到直線距離公式應(yīng)用,兩點間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點坐標求法,屬于基礎(chǔ)題.20.(1);(2)見解析【解析】

(1)由面積最大值可得,又,以及,解得,即可得到橢圓的方程,(2)假設(shè)軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形,設(shè),,線段的中點為,根據(jù)韋達定理求出點的坐標,再根據(jù),,即可求出的值,可得點的坐標.【詳解】(1)面積的最大值為,則:又,,解得:,橢圓的方程為:(2)假設(shè)軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形設(shè),,線段的中點為由,消去可得:,解得:∴,,依題意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化簡可得:則:,解得:當時,點滿足題意;當時,點滿足題意故軸上存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形【點睛】本題考查了橢圓的方程,直線和橢圓的位置關(guān)系,斜率公式,考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.21.(1)(2)10【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡得,,解得或(負值舍去),,,,,,的面積.【點睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查了二倍角公式的應(yīng)用,考查了運算能力,屬于基礎(chǔ)題.22.(1);(2)存在,Q為線段中點【解析】

解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計算,,得出,從而得出的大??;(2)證明平面,故而可得當Q為線段的中點時.解法二,以為原點,以為建立空間直角坐標系:(1)由,利用空間向量的數(shù)量積可求線面角;(2)設(shè)上存在一定點Q,設(shè)此點的橫坐標為,可得,由向量垂直,數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】(1)解法一:連接交于,設(shè)與平面的公共點為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,

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