第二章 212 求曲線的方程

2.1.2

求曲線的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)課標(biāo)要求：1.了解求曲線方程的步驟．2．會(huì)求簡(jiǎn)單曲線的方程．重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：求曲線的方程的一般步驟與方法．難點(diǎn)：根據(jù)題目條件選擇合適的方法求曲線的方程．一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看做點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在

．那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做

．溫故夯基基礎(chǔ)知識(shí)梳理曲線C上方程的曲線1．解析幾何研究的主要問(wèn)題(1)根據(jù)已知條件，求出

；(2)通過(guò)曲線的方程，

．2．求曲線的方程的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用

表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合

；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程

；(4)化方程f(x，y)＝0為

；(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．知新益能表示曲線的方程研究曲線的性質(zhì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)P＝{M|p(M)}f(x，y)＝0最簡(jiǎn)形式求曲線方程的步驟是否可以省略？提示：是．如果化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，可以省略步驟“結(jié)論”，如有特殊情況，可以適當(dāng)說(shuō)明，也可以根據(jù)情況省略步驟“寫集合”，直接列出曲線方程．問(wèn)題探究動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就可得到曲線的軌跡方程．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一直接法求曲線方程例1【思路點(diǎn)撥】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入等式關(guān)系，可求得軌跡方程．【題后點(diǎn)評(píng)】

(1)直接法求曲線方程，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可使方程簡(jiǎn)化．(2)在求方程的過(guò)程中要注意化簡(jiǎn)的準(zhǔn)確性．互動(dòng)探究如果所給幾何條件正好符合所學(xué)過(guò)的已知曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．考點(diǎn)二定義法求曲線方程長(zhǎng)為4的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，求此線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【思路點(diǎn)撥】利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出中線長(zhǎng)，再利用圓的定義求中點(diǎn)的軌跡方程．【解】設(shè)線段的中點(diǎn)P(x，y)．因?yàn)榫€段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上，所以|OP|＝2，由圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓，所以線段中點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝4.例2【題后點(diǎn)評(píng)】本題在求解后，易挖去圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，這是錯(cuò)誤的．利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知曲線上動(dòng)點(diǎn)．具體地說(shuō)，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)來(lái)表示已知曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并代入已知的曲線方程，即可求得所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．考點(diǎn)三代入法求曲線方程已知△ABC的兩頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(6,0)，頂點(diǎn)C在曲線y＝x2＋3上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心的軌跡方程．【思路點(diǎn)撥】由重心坐標(biāo)公式，可知△ABC的重心坐標(biāo)可以由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)．而A、B是定點(diǎn)，且C在曲線y＝x2＋3上運(yùn)動(dòng)，故重心與C相關(guān)聯(lián)．因此，設(shè)出重心與C點(diǎn)坐標(biāo)，找出它們之間的關(guān)系，代入曲線方程y＝x2＋3即可．例3【解】設(shè)G(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x′，y′)，則由重心坐標(biāo)公式，∵頂點(diǎn)C(x′，y′)在曲線y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.①故所求軌跡方程為y＝3(x－2)2＋1.【題后點(diǎn)評(píng)】

(1)本例是求軌跡方程中的常見(jiàn)題型，難度適中．本題解法稱為代入法(或相關(guān)點(diǎn)法)，此法適用于已知一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的問(wèn)題．(2)應(yīng)注意的是，本例中曲線y＝x2＋3上沒(méi)有與A、B共線的點(diǎn)，因此，整理方程①就得到軌跡方程；若曲線方程為y＝x2－3，則應(yīng)去掉與A、B共線時(shí)所對(duì)應(yīng)的重心坐標(biāo)．1．如何理解求曲線方程的步驟(1)在第一步中，如果原題中沒(méi)有確定坐標(biāo)系，首先選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通常選取特殊位置為原點(diǎn)，相互垂直的直線為坐標(biāo)軸．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，會(huì)給運(yùn)算帶來(lái)方便．(2)第二步是求方程的重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，要仔細(xì)分析曲線的特征，注意揭示隱含條件，抓住與曲線上任意一點(diǎn)M有關(guān)的等量關(guān)系，列出幾何等式，此步驟也可以省略，直接將幾何條件用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示.規(guī)律方法總結(jié)(3)在化簡(jiǎn)的過(guò)程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避免“丟解”或“增解”．(4)第五步的說(shuō)明可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當(dāng)說(shuō)明，如某些點(diǎn)雖然其坐標(biāo)滿足方程，但不在曲線上，可以通過(guò)限定方程中x(或y)