第二章空間點、直線、平面的位置關系(4課時)

2．1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1

平面

觀察教室里的桌面、黑板面，它們呈現(xiàn)出怎樣的形象？實例引入觀察

觀察活動室里的地面，它呈現(xiàn)出怎樣的形象？實例引入觀察

觀察海面，它又呈現(xiàn)出怎樣的形象？實例引入觀察

生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．你還能從生活中舉出類似平面形的物體嗎？引入新課

幾何里所說的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．思考直線是否有長短、粗細之分？平面是否有大小、厚薄之別？A′B′C′D′ABCD點、線、面點無大小線無粗細面無厚薄思考:我們不可能把一條直線或一個平面全部畫在紙上，在作圖時通常用一條線段表示直線，你認為用一個什么圖形表示平面比較合適？

平面的表示平面的畫法

一般來說，常用正方形或長方形表示平面，如圖一,在畫立體圖時，為了增強立體感，常常把平面畫成平行四邊形，如圖二是按照斜二測畫法得到的平面的水平直觀圖.圖一圖二說明:為了表示和區(qū)分平面，我們可以用適當?shù)淖帜缸鳛槠矫娴拿Q，如平面α

αABCD平面ABCD或平面AC或平面BD思考當兩個平面相交時，你認為下列哪個圖形的立體感強？你能指出其畫法要點嗎？(1)畫出交線；(2)被遮擋部分畫虛線.

圖形

符號語言文字語言(讀法)點在直線上點不在直線上點在平面內

點不在平面內

直線a、b交于點A

四、點、線、面的基本位置關系（1）符號表示：（2）集合關系：點A、線a、面α

圖形

符號語言文字語言(讀法)直線a在平面內直線a與平面無公共點直線a與平面交于點平面與相交于直線練習２、如圖，用符號表示以下各概念：②直線a在平面內

；點C在平面內

；③點O不在平面內

；直線b不在平面內

．①點A、B在直線a上

；練1.將下列符號語言轉化為圖形語言：（1）（2）說明：畫圖的順序:先畫大件(平面),再畫小件(點、線),,,,,,,練習1、判斷下列各題的說法正確與否，在正確的說法的題號后打，否則打:1、一個平面長4米，寬2米；()2、平面有邊界；()3、一個平面的面積是25cm2；()4、菱形的面積是4cm2；()5、一個平面可以把空間分成兩部分.()

如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內？思考

實際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：把一根直尺邊緣上的任意兩點放到桌面上，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上．思考

如果直線l與平面α有兩個公共點，直線l是否在平面α內？

公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．ABl作用：判定直線是否在平面內．平面公理

在生產(chǎn)、生活中，人們經(jīng)過長期觀察與實踐，總結出關于平面的一些基本性質，我們把它作為公理．這些公理是進一步推理的基礎．思考1:空間中，經(jīng)過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線，那么兩點能否確定一個平面？經(jīng)過三點、四點可以作多少個平面？思考2:照相機，測量儀等器材的支架為何要做成三腳架？思考3:經(jīng)過任意三點都能確定一個平面嗎？由此可得什么結論？公理2

過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.．．．ABC思考4:公理2可簡述為“不共線的三點確定一個平面”，它有什么理論作用？作用：判斷幾個點共面知識探究（四）:平面的基本性質3

思考1:如圖，把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點B？為什么？BB思考2:如果兩條不重合的直線有公共點，則其公共點只有一個.如果兩個不重合的平面有公共點，其公共點有多少個？這些公共點的位置關系如何？思考3:根據(jù)上述分析可得什么結論？P公理3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.思考5:你能說一說公理3有哪些理論作用嗎？確定兩平面相交的依據(jù)思考4:若兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做這兩個平面的交線.平面α與平面β相交于直線l，可記作，那么公理3用符號語言可怎樣表述?

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：①直線在平面內；錯誤隨堂練習

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：②設正方形ABCD與的中心分別為O，，則平面與平面的交線為；正確隨堂練習

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：③由點A，O，C可以確定一個平面；錯誤隨堂練習

在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由：④由確定的平面是；⑤由確定的平面與由確定的平面是同一個平面．正確正確隨堂練習例2如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系.ABβαal(1)abPlβα(2)空間圖形文字敘述符號表示知識小結實例引入平面平面的畫法和表示點和平面的位置關系平面三個公理作業(yè):P43練習：1，2，3（做書上），4.

P51習題2.1A組：1，2.

2.1.2空間中直線與直線之間的 位置關系

第一課時異面直線的有關概念和原理

問題提出1.同一平面內的兩條直線有哪幾種位置關系?2.空間中的兩條不同直線除了平行和相交這兩種位置關系外，還有什么位置關系呢?知識探究（一）：異面直線的概念思考1：教室內的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側所在的直線，既不相交，也不平行；天安門廣場上，旗桿所在的直線與長安街所在的直線，它們既不相交，也不平行.你還能舉出這樣的例子嗎?

思考2:如圖,長方體ABCD-A′B′C′D′中，線段A′B所在直線分別與線段CD′所在直線，線段BC所在直線，線段CD所在直線的位置關系如何?

CB'C'A'D'BAD思考3:我們把上圖中直線A′B與直線CD叫做異面直線，一般地，從字面上怎樣理解異面直線？

思考4:為了表示異面直線a，b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托,如圖.baab關于異面直線的定義，你認為下列哪個說法最合適？

A.空間中既不平行又不相交的兩條直線；

B.平面內的一條直線和這平面外的一條直 線；

C.分別在不同平面內的兩條直線；

D.不在同一個平面內的兩條直線；

E.不同在任何一個平面內的兩條直線.

baab思考5:空間中的直線與直線之間有幾種位置關系？它們各有什么特點？

相交直線:平行直線:共面直線異面直線:不同在任何一個平面內，沒有公共點

同一平面內，有且只有一個公共點；

同一平面內，沒有公共點；

知識探究（二）：三線平行公理思考1:設直線a//b，將直線a在空間中作平行移動，在平移過程中a與b仍保持平行嗎

?思考2:如圖,在長方體ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′與DD′平行嗎?CB'C'A'D'BAD思考3：取一塊長方形紙板ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，將紙板沿EF折起，在空間中直線AD與BC的位置關系如何

?AFEDCBABCDEF思考4:通過上述實驗可以得到什么結論？

公理4

平行于同一直線的兩條直線互相平行.思考5:公理4叫做三線平行公理，它說明空間平行直線具有傳遞性，在邏輯推理中公理4有何理論作用？

知識探究（三）：等角定理思考1:在平面上，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角的大小有什么關系？

思考2:

如圖,四棱柱ABCD--A′B′C′D′

的底面是平行四邊形，∠ADC與∠A′D′C′,∠ADC與∠B′A′D′的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何

?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'思考3:如圖，在空間中AB//A′B′，AC//A′C′，你能證明∠BAC與∠B′A′C′相等嗎？BCAB′C′A′EE′DD′思考4:綜上分析我們可以得到什么定理?

定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.思考5:上面的定理稱為等角定理，在等角定理中，你能進一步指出兩個角相等的條件嗎？

角的方向相同或相反理論遷移

例1

如圖是一個正方體的表面展開圖,如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有多少對?

AFAHGEDCBCDBAEFGH

例2

如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形.(2)若AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?FGDAEBCH

作業(yè):P51習題2.1A組：3，6.第二課時異面直線所成的角2.1.2空間中直線與直線之間的 位置關系

問題提出1.什么叫異面直線？三線平行公理和等角定理分別說明什么問題？

2.不同的異面直線有不同的相對位置關系，用什么幾何量反映異面直線之間的相對位置關系，是我們需要探討的問題

.異面直線所成的角知識探究（一）：異面直線所成的角思考1:兩條相交直線、平行直線的相對位置關系，分別是通過什么幾何量來反映的？思考2:兩條異面直線之間有一個相對傾斜度，若將兩異面直線分別平行移動，它們的相對傾斜度是否發(fā)生變化？

思考3:設想用一個角反映異面直線的相對傾斜度，但不能直接度量，你有什么辦法解決這個矛盾？

思考4：把兩條異面直線分別平移，使之在某處相交得到兩條相交直線，我們用這兩條相交直線所夾的銳角(或直角)來反映異面直線的相對傾斜程度，并稱之為異面直線所成的角.你能給“異面直線所成的角”下個定義嗎？

abobˊb'a'αbao

對于兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)

思考5:若點O的位置不同，則直線a′與b′的夾角大小發(fā)生變化嗎？為什么？為了作圖方便，點O宜選在何處？

aba'

b'oa'b'o'O思考1:我們規(guī)定兩條平行直線的夾角為0°，那么兩條異面直線所成的角的取值范圍是什么？

知識探究（二）：兩條直線垂直思考2:如果兩條異面直線所成的角是90°，則稱這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.在長方體ABCD-A′B′C′D′中,有沒有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面直線?BADCA'B'D'C'思考3：在平面幾何中，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，在空間中這個結論還成立嗎

?思考4：如果兩條平行直線中有一條與某一條直線垂直,那么另一條是否也與這條直線垂直？為什么？

理論遷移

例1

如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中.

（1）直線A′B和CC′的夾角是多少？（2）哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？哪些棱所在的直線與直線A′B垂直？A′B′C′D′ABCDAFEDCB

例2如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC上的點,且已知AB=CD=3，,求異面直線AB和CD所成的角.M作業(yè):P48練習：2.P52習題2.1B組：1.思考題：已知異面直線a，b所成的角為60°，直線l與a，b所成的角都為θ，那么θ的取值范圍是什么？2.1.3空間中直線與平面之間的位置 關系2.1.4平面與平面之間的位置關系問題提出

1.空間點與直線，點與平面分別有哪幾種位置關系？空間兩直線有哪幾種位置關系？

2.就空間點、線、面位置關系而言，還有哪幾種類型有待分析？

直線與平面之間的位置關系平面與平面之間的位置關系探究（一）直線與平面之間的位置關系

思考1:一支筆所在的直線與一個作業(yè)本所在的平面，可能有哪幾種位置關系？思考2:對于一條直線和一個平面，就其公共點個數(shù)來分類有哪幾種可能？

思考3:如圖，線段A′B所在直線與長方體ABCD-A′B′C′D′的六個面所在的平面有幾種位置關系？BADCA'B'D'C'思考4:通過上面的觀察和分析，直線與平面有三種位置關系，即直線在平面內，直線與平面相交，直線與平面平行.這些位置關系的基本特征是什么

?（1）直線在平面內---有無數(shù)個公共 點；

（2）直線與平面相交---有且只有一個 公共點；

（3）直線與平面平行---沒有公共點.

思考5:下圖表示直線與平面的三種位置，如何用符號語言描述這三種位置關系？αaαa.Pαa思考6:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.用符號語言怎樣表述？思考7:過平面外一點可作多少條直線與這個平面平行？若直線l平行于平面α，則直線l與平面α內的直線的位置關系如何？思考8:若兩條平行直線中有一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面嗎？探究（一）平面與平面之間的位置關系思考1:拿出兩本書，看作兩個平面，上下、左右移動和翻轉，它們之間的位置關系有幾種變化？思考2:如圖，圍成長方體ABCD-A′B′C′D′的六個面，兩兩之間的位置關系有幾種？C′A′B′D′ABCD思考3：由上面的觀察和分析可知，兩個平面的位置關系只有兩種，即兩個平面平行，兩個平面相交.這兩種位置關系的基本特征是什么？（1）兩個平面平行---沒有公共點；（2）兩個平面相交---有一條公共直線.思考4:下圖表示兩平面之間的兩種位置，如何用符號語言描述這兩種位置關系？αβ思考5:已知平面α，β和直線a，b，且α∥β,,則直線a與平面β的位置關系如何？直線a與直線b的位置關系如何？αβab理論遷移例1

給出下列四個命題：(1)若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內，則l∥α.(2)若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都平行.(3)若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都沒有公共點.(4)若直線l在平面α內，且l與平面β平行，則平面α與平面β平行.其中正確命題的個數(shù)共有

__個.1④若直線L與平面α平行，則L與平面α內的任意一條直線都沒有公共點；()②若直線L與平面α平行，則L與平面α內的任意一條直線都平行；()4、判斷正誤①若直線L上有無數(shù)個點不在平面α內，則L∥α；()③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；()lααlbcαlb⊙如果平面外的兩條平行直線中的一條直線與平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行；（）××√√×三、隨堂練習1、若直線a不平行于平面α

，且aα，則下列結論成立的是（）：(A)α內的所有直線與a異面(B)α內不存在與a平行的直線；(C)α內存在唯一的直線與a平行；(D)α內的直線與a都相交；2、判斷題：（1）a∥α，bα，則a∥b；（）（2）aα，則a∥α或a和α相交；（）（3