概率論-方差分析

第五章方差分析ANOVA(analysis

of

variance)第一節(jié)

方差分析的基本原理

?

方差分析的基本特點(diǎn)是：將所有處理的觀察值和平均數(shù)作

為一個(gè)整體加以考慮，把觀察值總變異的自由度和平方和

分解為不同變異來(lái)源的自由度和平方和，進(jìn)而獲得不同變

異來(lái)源的總體方差估計(jì)值。

通過(guò)計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。?

方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析，它在

科學(xué)研究中應(yīng)用十分廣泛。第一節(jié)

方差分析的基本原理方差分析的優(yōu)點(diǎn):不受比較組數(shù)的限制，可比較多組均數(shù)可同時(shí)分析多個(gè)因素的作用可分析因素間的交互作用第一節(jié)

方差分析的基本原理相關(guān)術(shù)語(yǔ):試驗(yàn)指標(biāo)(experimental

index):

為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目稱(chēng)為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不相同。試驗(yàn)因素(experimental

factor)

試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱(chēng)為單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱(chēng)為兩因素或多因素試驗(yàn)。第一節(jié)

方差分析的基本原理因素水平(level

of

factor)

試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱(chēng)為因素水平，簡(jiǎn)稱(chēng)水平。試驗(yàn)處理(treatment)

事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理。在單因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。在多因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因素的某一水平組合。試驗(yàn)單位(experimental

unit)

在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。重復(fù)(repetition)

在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱(chēng)為處理有重復(fù)。

第一節(jié)

方差分析的基本原理試驗(yàn)效應(yīng)(experiment

effect)

：試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)所起

的增加和減少的作用。簡(jiǎn)單效應(yīng)(simple

effect)

：同一因素內(nèi)兩種水平間試驗(yàn)指

標(biāo)的差數(shù)。主要效應(yīng)(main

effect)

：一個(gè)因素內(nèi)各簡(jiǎn)單效應(yīng)的平均數(shù)，

又稱(chēng)平均效應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)主效。交互作用

(interaction

effect)

：

兩個(gè)因素簡(jiǎn)單效應(yīng)間的

平均差異稱(chēng)為交互作用效應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)互作。它反映一個(gè)因素

的各個(gè)水平在另一因素的不同水平中反應(yīng)不一致的現(xiàn)象。第一節(jié)

方差分析的基本原理

2×2試驗(yàn)數(shù)據(jù)表（解釋各種效應(yīng)）試驗(yàn)因素NIP水平

P1N110N216平均

13N2－N1

6P21824216平均14206IIPP2－P1

水平

P1

8N110

8N216

8平均

130,0/2＝0

N2－N1

6P218282110平均14228IIIPP2－P1

水平

P1

8N11012N216

10平均

134,4/2＝2

N2－N1

6P21820192平均14184P2－P1846-4,-4/2＝-2第一節(jié)

方差分析的基本原理

自由度和平方和的分解:

[例5.1]以A、B、C、D4種藥劑處理水稻種子，其中A為對(duì)照，每處理各得4個(gè)苗高觀察值(cm)，試分解其自由度和平方和。藥劑苗高觀察值總和Ti平均數(shù)ABCD18201028212415272026172913221432

72

92

5611618231429T=336=21=

182

+

212

++

322

?

=

602第一節(jié)

方差分析的基本原理

自由度和平方和的分解:

1、總變異把表中的全部觀察值作為一個(gè)組看待[即把4個(gè)處理(4組、每組有4個(gè)觀察值)合并成一組，共有24個(gè)觀察值]，根據(jù)前面講過(guò)的計(jì)算平方和的公式

，可以計(jì)算出總變異的平方和和自由度SST

=(y

i

?

y)2

=y2

?3362

4×4(∑

y)2

nk∑∑自由度DFT=nk-1=4×4-1=15?！啤频谝还?jié)

方差分析的基本原理

自由度和平方和的分解:

2、誤差效應(yīng)

?

表中處理內(nèi)(組內(nèi))各觀察值之間，若不存在誤差，則各觀察值應(yīng)該相等，由于誤差是客觀存在的，因而處理內(nèi)(組內(nèi))各觀察值之間必然是有差異的，因此，可以用組內(nèi)(處理內(nèi))的差異度量誤差效應(yīng)：k

n1

1SSe

=(yij

?

yi)2

=

38+

20+

26+14

=

98

每個(gè)組內(nèi)(處理內(nèi))的自由度為：n

-1=4-1=3所以誤差的自由度為：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12∑

?C,Ti2=

n∑(ySSt

i

?

y)

=2k1

nDFt

=

(k

?1)本例中平方和：

602=504+98自由度：15=3+12因此誤差平方和可以采用簡(jiǎn)單的辦法計(jì)算SSe=SST-SSt=602-504=98。第一節(jié)

方差分析的基本原理

自由度和平方和的分解:

3、處理效應(yīng)

?

如果沒(méi)有處理效應(yīng)，表中各個(gè)處理(組)平均數(shù)

yi

從理論上

講均應(yīng)該相等，

因此可以用

y

來(lái)度量處理效應(yīng)。s168.00=

=

20.56s8.17第一節(jié)

方差分析的基本原理

F

分布與F

檢驗(yàn)

?

在一個(gè)平均數(shù)為μ、方差為σ2的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取兩

個(gè)獨(dú)立樣本，將其均方的比值定義為F.

21

212)F(df1,df=1.0f(F)0.80.20.40.60.0F

分布?

F

分布是具平均數(shù)

μF=1和取值區(qū)間

為[0,

∞]的一組曲

線；而某一特定

曲線的形狀僅決

定于參數(shù)df1和df2。01234Fdf=2,df=5df=8,df=20df=4,df=10和s

彼此獨(dú)立。F

檢驗(yàn)

?

在方差分析的體系中，F(xiàn)

檢驗(yàn)可用于檢測(cè)某項(xiàng)變異因素

的效應(yīng)或方差是否存在。所以在計(jì)算F值時(shí)，總是將要檢

驗(yàn)的那一項(xiàng)變異因素的均方作分子，而以另一項(xiàng)變異(如

誤差項(xiàng))作分母。

?

F

檢驗(yàn)需具備的條件：

–(1)變量x遵循N(μ，σ2)；–(2)s1

222查表在df1=3，df2=12時(shí)實(shí)得F=20.56＞

F0.01F0.05=3.49，

F0.01=5.95

P＜0.01多重比較（multiple

comparisons)?

通過(guò)平方和與自由度分解，將所估計(jì)的處理均方與誤差均

方作比較，由F檢驗(yàn)推論處理間有顯著差異。但我們并不清楚那些處理間存在差異，故需要進(jìn)一步做處理平均數(shù)間的比較。?

一個(gè)試驗(yàn)中k個(gè)處理平均數(shù)間可能有k(k-1)/2個(gè)比較，因而這種比較是復(fù)式比較亦稱(chēng)為多重比較。多重比較有多種方法，常用的有三種：最小顯著差數(shù)法（LSD法）、復(fù)極差法（q法）和Duncan氏新復(fù)極差法（SSR法）。sxi

j

x

=2se多重比較（multiple

comparisons)

?

最小顯著差數(shù)法（least

significant

difference，簡(jiǎn)稱(chēng)

LSD法），LSD法實(shí)質(zhì)上是t檢驗(yàn)。其程序是：在處理間的

F檢驗(yàn)為顯著的前提下，計(jì)算出顯著水平為α的最小顯著差

數(shù)

LSDα；任何兩個(gè)平均數(shù)的差數(shù)如其絕對(duì)值≥

LSDα，即

為在α水平上顯著；反之則為不顯著。2jn?LSDα

=

tαsxi

?x多重比較（multiple

comparisons)?

LSD法的t檢驗(yàn)是根據(jù)兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)（k＝2）的抽樣

分布提出來(lái)的，但是一組處理(k>2）是同時(shí)抽取k個(gè)樣本

的結(jié)果。抽樣理論提出k=2時(shí)與k>2時(shí)，例如k=10時(shí)其隨

機(jī)極差是不同的，隨著k的增大而增大，因而用k=2時(shí)的t

檢驗(yàn)有可能夸大k=10時(shí)最大與最小兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)的

顯著性?；跇O差的抽樣分布理論，Student-Newman-

Keul提出了q檢驗(yàn)或稱(chēng)復(fù)極差檢驗(yàn)，有時(shí)又稱(chēng)SNK檢驗(yàn)或

NK檢驗(yàn)。se

2n多重比較（multiple

comparisons)

?

q檢驗(yàn)方法是將一組k個(gè)平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比

較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個(gè)平均數(shù)間的極差分別確

定最小顯著極差LSRα的。q檢驗(yàn)因是根據(jù)極差抽樣分布原

理，其各個(gè)比較都可保證同一個(gè)α水平。其尺度構(gòu)成為：

LSRα

=

qα,df

,Msxsx

=sxse

2不同藥劑處理水稻苗高(q法)LSRα值P234q

0.05

3.08

3.77

4.20q

0.01

4.32

5.04

5.50LSR0.05

4.40

5.39

6.01LSR0.01

6.18

7.21

7.87處理苗高平均數(shù)

差異顯著性0.05

0.01abDBAC29231814c

cAAB

BC

C不同藥劑處理水稻苗高平均數(shù)比較(q法)例5.1中==

n8.17/

4

≈

1.43多重比較（multiple

comparisons)?

q法不同秩次距M下的最小顯著極差變幅大，雖然減小了犯α錯(cuò)誤的概率，但同時(shí)增加了犯β錯(cuò)誤的概率。為此，D.B.Duncan(1955)提出了新復(fù)極差法，又稱(chēng)最短顯著極差法(shortest

significant

ranges

SSR)。該法與q法相似，其區(qū)別在于計(jì)算最小顯著極差時(shí)不是查q表而是查SSR表，所得最小顯著極差值隨著k增大通常比q檢驗(yàn)時(shí)減小。LSRα

=

SSRα,df

,Msx多重比較（multiple

comparisons)?

多重比較方法的選擇1、試驗(yàn)事先確定比較的標(biāo)準(zhǔn)，凡是與對(duì)照相比較，

或與預(yù)定要比較的對(duì)象比較，一般可選用最小顯

著差數(shù)法；2、根據(jù)否定一個(gè)正確的

H0

和接受一個(gè)不正確的

H0

的相對(duì)重要性來(lái)決定。?

三種方法的顯著尺度不同，LSD法最低，SSR法次之，q

法最高。故LSD檢驗(yàn)犯α錯(cuò)誤的概率最大，q法最小，SSR法介于兩者之間，因此，對(duì)于試驗(yàn)結(jié)論事關(guān)重大或有嚴(yán)格要求的，宜用q法；一般試驗(yàn)可用SSR法。方差分析的線性數(shù)學(xué)模型?

方差分析是建立在一定的線性可加模型的基礎(chǔ)上的。所謂線性可加模型是指總體每一個(gè)變量可按其變異

的原因分解成若干個(gè)線性組成部分，它是方差分析的基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)的線性模型可表示為：?

式中，μ為總體平均數(shù)，τi為試驗(yàn)處理效應(yīng)，εij為隨機(jī)誤差具有N(0，σ2)。xij

=

μ

+τ

i

+εij方差分析的線性數(shù)學(xué)模型?

在以樣本符號(hào)表示時(shí)，樣本的線性組成為：xij

=

x

+

ti

+

eij?

式中，x

是μ的無(wú)偏估計(jì)值，

ti

=

(xi

?

x)

→τ

i

+

eieij

=

(xij

?

xi)

→

εij方差分析的線性數(shù)學(xué)模型在線性可加模型中，由于對(duì)τi有不同解釋產(chǎn)生了固定模型和隨機(jī)模型。一、固定模型(fixed

model)指試驗(yàn)的各處理都抽自特定的處理總體，其處理效應(yīng)τi=(μi-μ

)是一個(gè)固定的常量，我們的目的就在于研究τi，所測(cè)驗(yàn)的假設(shè)是H0：τi=0或H0：μi=

μ。①因素的水平確定后，因素的效應(yīng)即被確定。②因素的

a個(gè)水平是人為特意選擇的。③方差分析所得結(jié)論只適用于所選定的a個(gè)水平。指試驗(yàn)中的各處理皆是抽自N(0，

)的一組隨機(jī)樣

τ

σ方差分析的線性數(shù)學(xué)模型二、隨機(jī)模型(random

model)本，因而處理效應(yīng)τi是隨機(jī)的，它會(huì)因試驗(yàn)的不同而不同；故我們的目的不在于研究τi而在于研究τi的變異度。隨機(jī)模型在遺傳、育種和生態(tài)的研究試驗(yàn)方面有較廣泛的用處。①因素的水平確定之后，其效應(yīng)并不固定。②因素的

a

個(gè)水平是從水平總體中隨機(jī)抽取的。③從隨機(jī)因素的

a

個(gè)水平所得到的結(jié)論，可推廣到該因素的所有水平上。2第二節(jié)

單因素方差分析方差分析的基本步驟現(xiàn)歸納如下：（一）計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度。（二）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)。（三）若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。處理

第二節(jié)

單因素方差分析根據(jù)各處理內(nèi)重復(fù)數(shù)是否相等，單因素方差分析又分為重

復(fù)數(shù)相等和重復(fù)數(shù)不等兩種情況。當(dāng)重復(fù)數(shù)不等時(shí)，各項(xiàng)平

方和與自由度的計(jì)算，多重比較中標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算略有不同。[例5.2見(jiàn)教材P100例6.3]小麥種子切胚乳試驗(yàn)的方差分析

小麥切胚乳試驗(yàn)單株粒重(g)表

株號(hào)合計(jì)平均數(shù)12345678910Ⅰ212924222530272620425.5Ⅱ2025252329312426202124424.4Ⅲ24222825212614624.3sxse

2第二節(jié)

單因素方差分析

小麥切胚乳試驗(yàn)方差分析表dfSum

SqMean

SqF

valuePr(>F)0.31760.7314groupResiduals2216.767223.7333.38310.654Total23230.510.654

8

#The

result

of

R

computing.?

如果F檢驗(yàn)顯著，則需多重比較，計(jì)算n0

24×2==

n0≈1.16光照(A)

5h/d

10h/d

15h/d

25℃143,138,

120,107

96,103,

78,91

79,83,

96,98

溫度(B)

30℃101,100,

80,83

79,61,

83,59

60,71,

78,64

35℃

89,93,101,76

80,76,

61,67

67,58,

71,83

第三節(jié)

二因素方差分析具有重復(fù)觀察值的二因素方差分析

[例5.3見(jiàn)教材P106例6.5]

不同溫度及光照條件下某種昆蟲(chóng)滯育天數(shù)(天)表

第三節(jié)

二因素方差分析具有重復(fù)觀察值的二因素方差分析

某種昆蟲(chóng)滯育天數(shù)方差分析表dfSum

SqMean

SqF

valuePr(>F)Group

AGroup

B

A×B2245367.15391.1

464.92683.52695.5

116.221.934522.0326

0.95012.199e-06

***2.119e-06

***

0.4505Residuals

273303.2122.3Total3514526.3#The

result

of

R

computing.∑TsABsAB∑TsABsABsssAB第三節(jié)

二因素方差分析

二因素方差分析表變異來(lái)源dfSS固定模型

F隨機(jī)模型

F混合模型(A隨

機(jī)、B固定)F

A因素B因素a-1b-1A×B互作(a-1)(b-1)試驗(yàn)誤差ab(n-1)總變異abn-12SST=?C∑

xSSASSe

=

SST

?

SSA

?

SSB

?

SSABSSB

2i?

2?

j==/bn?C/an?C2SS