概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第二章-隨機(jī)變量及其分布

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)§2.2離散型隨機(jī)變量的分布§2.3連續(xù)性隨機(jī)變量的分布§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)七月份福州的最高溫度燈泡的使用壽命在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以采用“數(shù)量化”的方法，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值相對(duì)應(yīng)。射手射擊擊中目標(biāo).拋硬幣實(shí)驗(yàn)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為一種實(shí)值函數(shù).w.X(w)R量隨機(jī)變對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)樣本點(diǎn)w,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)X(w),而X(w)是隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果不同而變化的一個(gè)變量。隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量有限個(gè)或可列個(gè)可能值全部可能取值不僅無(wú)窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分布函數(shù)———|——>x設(shè)

X

是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為X

的分布函數(shù).F(x)也可記為FX(x).如果將X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.分布函數(shù)的性質(zhì)3.右連續(xù):F(x+0)=F(x)已知X的分布函數(shù)為

F(x)，下列各事件的概率用F(x)

如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(X>x)P(x1<X<=x2)P(X<x)P(X=x)P(x1<X<x2)P(x1<=X<=x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0)例1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)a,b及概率.§2.2離散型隨機(jī)變量的分布定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，pk是X取值

xk的概率，稱

k=1,2,……

為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.離散型隨機(jī)變量的概率分布分布列Xx1 x2 … xk …Pp1 p2 … pk …其中(k=1,2,…)滿足如下性質(zhì)：

k=1,2,…（1）（2）例1XP(1)求常數(shù)a;(2)例2.一盒中裝有編號(hào)為1,2,…,6的六只球，現(xiàn)從中任取三只球，求被抽取的三只球中最大號(hào)碼X的分布律和分布函數(shù)，并畫出其圖形.解:顯然X只能取3,4,5,6X3456

P0.050.150.30.5由于X的取值點(diǎn)3,4,5,6將R分成五個(gè)區(qū)間，因此我們分段討論可得，

10.50.20.05F(x)3456x離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)特點(diǎn)1.它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線2.在隨機(jī)變量的每一個(gè)可能取值點(diǎn)

x=xk

(k=1,2,…)處,該圖形都有一個(gè)跳躍，其跳躍值為pk幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布超幾何分布兩點(diǎn)分布例3.

一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量X描述廢品出現(xiàn)的情況(寫出X的分布律)。若隨機(jī)變量X的概率分布為：

P(X=1)=p,0<p<1 P(X=0)=1-p=q則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)(或0-1)分布.例4.

設(shè)射手每一次擊中目標(biāo)的概率為p，現(xiàn)連續(xù)射擊n次，求擊中次數(shù)X

的概率分布.二項(xiàng)分布其中0<p<1,稱X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作

X~B(n,p)若隨機(jī)變量X的概率分布為對(duì)于固定的n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.泊松分布若隨機(jī)變量X的概率分布為其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，簡(jiǎn)記為泊松定理設(shè)隨機(jī)變量Xn(n=1,2,..)服從二項(xiàng)分布Xn~B(n,pn)，又設(shè)是一個(gè)常數(shù)，則有定理的條件意味著當(dāng)

n很大時(shí)，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n

很大，p

很小時(shí)有以下近似式：其中

由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等例5.某車間有5臺(tái)車床,由于種種原因(由于裝、卸工作等),時(shí)常需要停車.設(shè)各臺(tái)車床的停車或開(kāi)車是相互獨(dú)立的.

若車床在任一時(shí)刻處于停車狀態(tài)的概率是1/3,求車間中恰有一臺(tái)車床處于停車狀態(tài)的概率。解：X:處于停車狀態(tài)的車床數(shù)X~B(5,1/3)例6.

一批產(chǎn)品的廢品率為2%，從中任意抽取100個(gè)，求其中恰好有一個(gè)廢品的概率。例7.一隨機(jī)數(shù)字序列要有多長(zhǎng)才能使0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?解：X:長(zhǎng)度為n的隨機(jī)數(shù)字序列中0的個(gè)數(shù)X~B(n,0.1)例8.

若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率為0.002,現(xiàn)有2000個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn)。參加者交納24元保險(xiǎn)金，而死亡時(shí)保險(xiǎn)公司付給其家屬5000元賠償費(fèi)。計(jì)算“保險(xiǎn)公司虧本”和“保險(xiǎn)公司盈利不少于10000元”的概率。例9.有一汽車站有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車在一天某段時(shí)間出事故的概率為0.0001,在某天該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過(guò),求事故數(shù)X不小于2的概率.例10.某公司有彼此獨(dú)立工作的180臺(tái)設(shè)備，且每臺(tái)設(shè)備在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率都是0.01.為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.假設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理，且每人每天也僅能處理一臺(tái)設(shè)備.試分別在以下兩種情況下求該公司設(shè)備發(fā)生故障而當(dāng)天無(wú)人修理的概率。（1）三名修理工每人負(fù)責(zé)包修60臺(tái)（2）三名修理工共同負(fù)責(zé)180臺(tái)解：(1)Xi:第i名修理工負(fù)責(zé)的60臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，Xi~B(60,0.01)Ai:第i名修理工負(fù)責(zé)的設(shè)備發(fā)生故障無(wú)人修理該公司設(shè)備發(fā)生故障而當(dāng)天無(wú)人修理的概率為(2)X:180臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(180,0.01)某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是0.4，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的概率分布.幾何分布 在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,若一次伯努利試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率為p,只要事件A不發(fā)生,試驗(yàn)就不斷地重復(fù)下去，直到事件A發(fā)生，試驗(yàn)才停止。設(shè)隨機(jī)變量X為直到事件A發(fā)生為止所需的試驗(yàn)次數(shù),則X的概率分布為則稱隨機(jī)變量X服從以p為參數(shù)的幾何分布，記作 。超幾何分布設(shè)N個(gè)元素分為兩類，有M個(gè)屬于第一類，N-M個(gè)屬于第二類?，F(xiàn)在從中不重復(fù)抽取n個(gè)，其中包含的第一類元素的個(gè)數(shù)X的分布律為

其中l(wèi)=min{M,n},則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的超幾何分布，記作

§2.3連續(xù)性隨機(jī)變量的分布

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)函數(shù)f(x)

,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度或分布密度。概率密度概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)

f(x)xoof(x)xab密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xo例1:某型號(hào)電子管的壽命X(小時(shí)）的概率密度為求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x).2.一電子設(shè)備內(nèi)配有3個(gè)這樣的電子管，求使用150小時(shí)都不需要更換電子管的概率常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布均勻分布例3：設(shè)隨機(jī)變量X~U[1,6],求二次方程沒(méi)有實(shí)根的概率。指數(shù)分布指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.若隨機(jī)變量

X具有概率密度則稱X服從以為參數(shù)的指數(shù)分布,簡(jiǎn)記為X~E().例1：某電子元件的使用壽命X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為

(1)確定常數(shù)C;(2)壽命超過(guò)100小時(shí)的概率；

(3)已知該元件已正常使用200小時(shí)，求它至少還能正常使用100小時(shí)的概率。

指數(shù)分布的無(wú)記憶特性若隨機(jī)變量X，對(duì)任意的S>0,T>0滿足

P(X>S+T|X>S)=P(X>T)則稱X的分布具有無(wú)記憶性.

“永遠(yuǎn)年輕”！例：某機(jī)場(chǎng)在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)飛機(jī)來(lái)到的數(shù)目X服從參數(shù)為λt的泊松分布，求跑道的“等待時(shí)間”即相繼兩架飛機(jī)到來(lái)的時(shí)間間隔Y的概率分布。

X~P(λt),Y~?重點(diǎn)在于理解：相繼兩架飛機(jī)到來(lái)的時(shí)間間隔超過(guò)y的事件{Y>y}

等價(jià)于在y時(shí)間間隔內(nèi)飛機(jī)達(dá)到的數(shù)目為0的事件

進(jìn)而將P(Y>y)轉(zhuǎn)化成P(X=0)若r.vX的概率密度為記作其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.正態(tài)分布正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.關(guān)于正態(tài)分布的密度函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)

1.對(duì)稱性關(guān)于X= 2.最大值在X=，max= 3.拐點(diǎn)，在X= 4.漸近線以X軸為漸進(jìn)線

5.曲線的變化規(guī)律設(shè)X~,X的分布函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系正態(tài)分布的概率計(jì)算X>0時(shí)，查表計(jì)算；2.若1.若X～N(0,1)例1例2例.

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,36),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定?分位點(diǎn)X~N(0,1),X關(guān)于α=0.05的上側(cè)分位點(diǎn)是？X~N(0,1),X關(guān)于α=0.05的雙側(cè)分位點(diǎn)是？X-2

-1

0

1

2 3Pk0.1 0.15 0.3 0.2 0.1 0.15例1已知X的分布列為a.求Y=2