第三章 變額年金

變額年金2主要內(nèi)容遞增年金（離散支付，離散遞增）遞減年金（離散支付，離散遞減）復(fù)遞增年金：按幾何級(jí)數(shù)遞增的年金每年支付m次的遞增年金（遞減年金，略）連續(xù)支付的變額年金：連續(xù)支付，離散遞增（或遞減）連續(xù)支付、連續(xù)遞增（或遞減）的年金一般形式的連續(xù)支付、連續(xù)變額現(xiàn)金流31、遞增年金（increasingannuity）期末付遞增年金(increasingannuity-immediate)：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算術(shù)級(jí)數(shù)遞增。用表示其現(xiàn)值：上式兩邊乘以(1+i)：4

遞增年金的現(xiàn)值：5例：證明下列關(guān)系式成立：

（1）（2）6例：寫出下述年金的現(xiàn)值公式設(shè)A表示此年金的現(xiàn)值，則7根據(jù)現(xiàn)值求得其累積值為現(xiàn)值累積值期初付遞增年金(increasingannuity-due)8當(dāng)時(shí)，還可以得到遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值為在計(jì)算上述極限時(shí)，遞增永續(xù)年金(increasingperpetuity)9例：年金在第一年末的付款為1000元，以后每年增加100元，總的付款次數(shù)為10次。如果年實(shí)際利率為5%，這項(xiàng)年金的現(xiàn)值應(yīng)該是多少？解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200900100010Exercise：Aninvestmentof700istobeusedtomakepaymentsof10attheendofthefistyear,20attheendofsecondyear,30attheendofthirdyear,andsoon,everyyearassolongaspossible.Asmallerfinalpaymentispaidoneyearafterthelastregularpayment.Thefundearnsaneffectiveannualrateof5%.Calculatethesmallerfinalpayment.解：價(jià)值方程為（不考慮最后一次非正常付款）700102030R11解上述方程（應(yīng)用excel求解）即得n=14.49。因此有14次正規(guī)支付和在第15年末有一次小額支付。設(shè)小額支付為R，則12時(shí)期

0123…n–1

n遞減年金nn–1n–2…

21等額年金111…11111…1111…………

111111期末付遞減年金(decreasingannuity-immediate)：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減。2、遞減年金（decreasingannuity）13遞減年金的現(xiàn)值可以表示為上述等額年金的現(xiàn)值之和，即：14遞減年金的其他公式：15例：一項(xiàng)年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。從第n+1年開(kāi)始，每年遞減1元，直至最后一年付款1元。證明該項(xiàng)年金的現(xiàn)值可以表示為12nn-1116

17Example：Findthepresentvalueofanannuityimmediatesuchthatpaymentsstartat1,eachpaymentthereafterincreasesby1untilreach10,andthenremainatthatleveluntil25paymentsintotalaremade.Solution：0101011025次數(shù)：金額：212183、復(fù)遞增年金含義：付款金額按照某一固定比例增長(zhǎng)的年金。期初付復(fù)遞增年金(compoundincreasingannuity-immediate)：在第1年初支付1元，此后每年的支付金額按的復(fù)利r增長(zhǎng)，直到第n年初支付(1+r)n-1。注：r<0，遞減。19令，則：其中20期末付復(fù)遞增年金的現(xiàn)值：其中21例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的給付金額按5％遞增，假設(shè)年實(shí)際利率為4%，請(qǐng)計(jì)算這項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：年金的現(xiàn)金流如下：22

現(xiàn)值：其中現(xiàn)值：例年金的年增長(zhǎng)率r與年實(shí)際利率i相等，即j=0.請(qǐng)計(jì)算期初付年金與期末付年金的現(xiàn)值分別是多少？解：期初付=n期末付=n/(1+i)2324ExerciseAperpetuity-immediatepays100peryear.Immediatelyafterthefifthpayment,theperpetuityisexchangedfora25-yearannuity-immediatethatwillpayXattheendofthefirstyear.Eachsubsequentannualpaymentwillbe8%greaterthantheprecedingpayment.Immediatelyafterthe10thpaymentofthe25-yearannuity,theannuitywillbeexchangedforaperpetuity-immediatepayingYperyear.Theannualeffectiverateofinterestis8%.CalculateY.25100100100100100第一次替換時(shí)，永續(xù)年金的現(xiàn)值為100/0.08＝1250100X1.08X1.082X1.083X1.0824X由于利率i＝0.08，與年金增長(zhǎng)率相等，故上述遞增年金的現(xiàn)值為：PV=X·n/(1+i)=25X/1.08X=541250=25X/1.08第一次替換后的遞增年金：25次付款26X1.089X1.0810X1.0824X第二次替換為永續(xù)年金，每年末支付Y，價(jià)值為Y/0.08價(jià)值方程(X=54)為：Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)=54(1.08)9·15注：v=1.08-1由此可得：Y=129.5Y……原年金剩余10次原年金已支付10次回顧與展望（算數(shù)級(jí)數(shù)遞增或遞減）27284、每年支付m次的遞增年金(increasingmthlyannuity)如果每年支付m次，付款又是遞增的，將會(huì)出現(xiàn)下述兩種情況：同一年的每次付款相同（每年遞增一次）：increasingmthlyannuity同一年的每次付款也是遞增的（每次付款遞增一次）：mthlyincreasingmthlyannuity（略）29每年支付m次的遞增年金(increasingmthlyannuity)：同一年的每次付款相同現(xiàn)值：每年支付m次的遞增年金31關(guān)系：32每年支付m次的遞增年金(mthlyincreasingmthlyannuity)：同一年的每次付款遞增兩種方法計(jì)算現(xiàn)值：（1）看做nm次付款的遞增年金，應(yīng)用遞增年金的公式。（2）建立新公式（略）33應(yīng)用遞增年金公式計(jì)算現(xiàn)值：34例：寫出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式（年利率i=10%)：10010010010020020020020001235100200300400500600700800012例：寫出下述年金的現(xiàn)值計(jì)算公式（年利率i=10%)：36每年支付m次的遞減年金37關(guān)系：385、連續(xù)支付的變額年金

(continuouslypayablevaryingannuity)含義：連續(xù)支付，但支付金額離散變化。連續(xù)支付的遞增年金連續(xù)支付的遞減年金假設(shè)在第一年連續(xù)支付1元，第二年連續(xù)支付2元，…，第n年連續(xù)支付n元，如下圖所示：39連續(xù)支付的遞增年金的現(xiàn)值：40例：一個(gè)現(xiàn)金流在第1年連續(xù)支付30元，第2年連續(xù)支付40元，第3年連續(xù)支付50元，直到第10年連續(xù)支付120元，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，求這項(xiàng)年金的現(xiàn)值。解：分解為兩項(xiàng)年金:41計(jì)算：42連續(xù)支付的遞增年金的終值：連續(xù)支付的遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值：第1年連續(xù)支付1元，第2年連續(xù)支付2元，第3年連續(xù)支付3元，并以此方式無(wú)限地延續(xù)下去。其現(xiàn)值為43連續(xù)支付的遞減年金：連續(xù)支付，支付金額離散遞減。44Exercise:1000isdepositedintoFundX,whichearnsanannualeffectiverateof6%.Attheendofeachyear,theinterestearnedplusanadditional100iswithdrawnfromthefund.Attheendofthetenthyear,thefundisdepleted.TheannualwithdrawalsofinterestandprincipalaredepositedintoFundY,whichearnsanannualeffectiverateof9%.DeterminetheaccumulatedvalueofFundYattheendofyear10.X：annualeffectiverate6％10001001001001000×6%=60900×6%=54100×6%=6withdrawalsofprincipal

withdrawalsofinterest10916×Y：annualeffectiverate9％10010010010916×LevelannuityDecreasingannuity46Exercise:Aperpetuitycosts77.1andmakesannualpaymentsattheendoftheyear.Thisperpetuitypays1attheendofyear2,2attheendofyear3,…,n

attheendofyear(n+1).Afteryear(n+1),thepaymentsremainconstantatn.Theannualeffectiveinterestrateis10.5%.Calculaten.123n-1n……77.1i=10.5%123nyear：perpetuity：n+1n+2n47Thecostofthisperpetuity=Sincei

=10.5%,wehaveHencen=19.Solution：48乘以(1+i)乘以乘以乘以變額年金的計(jì)算496、連續(xù)支付、連續(xù)遞增的年金（簡(jiǎn)稱：連續(xù)遞增年金）

（continuouslyincreasingannuity）

假設(shè)在時(shí)刻t的付款率（paymentrate）為t，常數(shù)利息力為d，則連續(xù)支付、連續(xù)遞增年金的現(xiàn)值為：注:I和

a

上都有橫線。在時(shí)刻t的付款率為t，表示按此付款，1年的付款總量將為t.50證明：51連續(xù)支付連續(xù)遞增年金的終值為52例：一項(xiàng)10年期的年金，在時(shí)刻t的付款率為9t+6，利息力為9％，請(qǐng)計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：分解成兩部分：連續(xù)支付、連續(xù)遞增的年金連續(xù)支付的等額年金f=function(t)(9*t+6)*exp(-0.09*t);integrate(f,0,10)$value例：一項(xiàng)年金的付款期是從第2年末至第7年末，并且在時(shí)刻t的付款率為3t-4，假設(shè)固定利息力為6％，試求此項(xiàng)年金在第7年末的終值。解：假設(shè)付款期是從時(shí)刻0到第7年末，則其終值為：從時(shí)刻0到第2年末的付款累積到第7年末的價(jià)值為：年金的終值為：f=function(t)(3*t-4)*exp(0.06*(7-t));integrate(f,2,7)$value54連續(xù)支付、連續(xù)遞增的永續(xù)年金：55例：一項(xiàng)年金在時(shí)刻t的付款率為3t，付款從0時(shí)刻起并一直延續(xù)下去，年實(shí)際利率為5％，則其現(xiàn)值為：f=function(t)(3*t)*(1.05)^(-t);integrate(f,0,Inf)$value567、連續(xù)支付、連續(xù)遞減的年金（簡(jiǎn)稱：連續(xù)遞減年金）

(continuouslydecreasingannuity)含義：支付期為n年，在時(shí)刻t的付款率為n-t，固定利息力為d?，F(xiàn)值為：57例：一項(xiàng)10年期的年金，在時(shí)刻t的付款率為10-t，假設(shè)利息力為5％，請(qǐng)計(jì)算此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值和在第10年末的終值。解：

現(xiàn)值：終值（累積值）：f1=function(t)(10-t)*exp(-0.05*t);integrate(f1,0,10)$value#現(xiàn)值f2=function(t)(10-t)*exp(0.05*(10