電磁場預備知識

標量場和矢量場標量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環(huán)量與旋度無源場與無旋場第0章矢量分析下頁返回VectorAnalysis電磁場的特殊形式微分算子及矢量運算亥姆霍茲定理0.1.1

場的概念如果在空間的某區(qū)域中，每一點都存在一個確定的物理量，我們就說，此區(qū)域中存在由此物理量構(gòu)成的場，此物理量稱為場量，該區(qū)域稱為場域。如果這個物理量是標量，稱為標量場；若為矢量，稱為矢量場。按場中物理量是否隨時間變化，又可分為靜態(tài)場（恒定場）和時變場（動態(tài)場）。0.1

標量場和矢量場ScalarFieldandVectorField下頁上頁返回0.1.2

場的描述表示場量空間和時間分布特性的函數(shù)稱為場函數(shù)。記為或。例如，在直角坐標下：標量場矢量場如溫度場、電位場、高度場等；如流速場、電場、渦流場等。下頁上頁返回其方程為:圖0.1.1等高線

標量場--等值線(面)形象描繪場分布的工具—場線（圖）思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁上頁返回三維場二維場圖0.1.2矢量線矢量場--矢量線其方程為：在直角坐標下：下頁上頁返回0.2標量場的梯度

GradientofScalarField研究一個標量場，不僅要掌握物理量在空間的分布情況，更為重要的是要知道它的變化規(guī)律以及與其它物理量之間的相互關(guān)系。本節(jié)將介紹標量場的方向?qū)?shù)和梯度。0.2.1

方向?qū)?shù)標量場的分布情況，可借助于等值面或等值線來了解，但這只能大致地了解標量場的整體分布情況。而要詳細地研究標量場，還必須對它作局部性的下頁上頁返回了解，即要考察物理量在場中各點處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)的概念。數(shù)學上，標量函數(shù)(P)從點P0沿路徑l

變到點

P

的變化率稱為方向?qū)?shù)，記作，即

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角,l

方向的單位矢量可以表示為下頁上頁返回0.2.2

梯度方向?qū)?shù)解決了標量場中(P)在給定點處沿某一方向l

的變化率問題。但是，函數(shù)(P)從給定點出發(fā)有無窮多個變化方向，其中哪個方向的變化率最大？最大變化率是多少？以下從方向?qū)?shù)的計算公式出發(fā)來討論此問題。設(shè)下頁上頁返回則有：上式表明：l與g

方向一致時,方向?qū)?shù)取最大值,增加得最快；l與g

方向相反時,方向?qū)?shù)取最小值,減小得最快；l

與g

方向垂直時,方向?qū)?shù)為0。定義矢量函數(shù)g為標量場的梯度，記作grad。在直角坐標系中，下頁上頁返回——梯度(gradient)——哈密頓算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點標量函數(shù)的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。標量場的梯度是一個矢量，是空間坐標點的函數(shù)。梯度的意義下頁上頁返回例0.2.1

三維高度場的梯度圖0.2.1三維高度場的梯度高度場的梯度與過該點的等高線垂直；數(shù)值等于該點位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。下頁上頁返回例0.2.2

電位場的梯度圖0.2.2電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下頁上頁返回0.3矢量場的通量與散度0.3.1通量(Flux)1.面元矢量一個曲面有兩側(cè)，對于非閉合曲面（開曲面），可以規(guī)定其中一側(cè)為正側(cè)；對于閉合曲面，則是規(guī)定其外側(cè)為正側(cè)。規(guī)定了正側(cè)的曲面為有向曲面。稱為面元矢量。FluxandDivergenceofVectorField下頁上頁返回2.通量

矢量E沿有向曲面S的面積分若S

為閉合曲面根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：

>0

(有正源)

=0(無源)圖0.3.2矢量場通量的性質(zhì)

下頁上頁返回圖0.3.1矢量場的通量

稱為穿過的通量

<0(有負源)0.3.2散度(Divergence)根據(jù)穿出閉合面的通量的正負，可判斷出該曲面內(nèi)有正源或負源，但源在S

內(nèi)的分布情況和強弱卻是通量無法說明的。為此，引入矢量場的散度。1.定義

如果包圍點P的閉合面S

所圍區(qū)域V

以任意方式縮小到點P時：下頁上頁返回

矢量場A的散度是一個標量函數(shù)，它表示在場中任一點處，通過包圍該點的單位體積的表面的通量，故該散度可稱為通量源密度，它是該點處的通量源強度的量度。散度的絕對值表示該點處源的體密度的大小，若divA>0,則該點有發(fā)出通量線的正源，若divA<0,則該點有發(fā)出通量線的負源，若divA=0,則該點無源。如下圖所示。

下頁上頁返回

2.表達式

根據(jù)散度的定義，divA描述的是一點的值，與體積元V形狀無關(guān)，在取零極限時，所有尺寸都趨于零，在推導散度的表達式時，采用直角坐標系，體積元取平行六面體元，可得：———散度(divergence)下頁上頁返回3.散度的意義在矢量場中，若?

A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0

，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性。

(無源）

(正源)

(負源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁上頁返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理通量元密度——高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。下頁上頁返回0.4

矢量場的環(huán)量與旋度0.4.1環(huán)量(Circulation)矢量A

沿空間有向閉合曲線L的線積分——環(huán)量環(huán)量的大小與閉合路徑L及沿L的積分正方向（通常為逆時針）有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。CirculationandRotationofVectorField下頁上頁返回圖0.4.1環(huán)量的計算矢量場的環(huán)量與通量一樣，是描述矢量場特性的重要積分量。我們已知，若矢量場通過閉合曲面的通量不為零，表示該閉合面內(nèi)存在通量源。而如果矢量場沿某閉合曲線的環(huán)量不為零，則此矢量場中必有產(chǎn)生場的旋渦源。下頁上頁返回水流沿平行于水管軸線方向流動，=0，無渦旋運動。例：流速場圖0.4.2

流速場流體做渦旋運動，0，有產(chǎn)生渦旋的源。下頁上頁返回0.4.2旋度(Rotation)1.環(huán)量密度過點P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當S

點P

時，存在極限——環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下頁上頁返回矢量場的環(huán)量是一個積分量，它不能說明矢量場中的旋渦源在每點上的大小和方向。為此，我們先引入矢量場在任一點處的某方向上的環(huán)量面密度的概念，再討論矢量場的旋度。2.旋度旋度是一個矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向為最大環(huán)量密度的方向——旋度(curl)－S

的法線方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標下:下頁上頁返回3.旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場中，若A=J0

稱之為旋度場（或渦旋場），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。下頁上頁返回4.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下頁上頁在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。返回

0.5

無散場與無旋場SolenoidalFieldandIrrotational(Conservative)Field下頁上頁返回

任何一個場必然有源來激發(fā)它，場和源是同時存在的。矢量場的散度對應著一種源，稱為通量源；矢量場的旋度對應著另一種源，稱為旋渦源。0.5.1無散場（必有旋）

設(shè)有矢量場A,如果在場域中每一點處恒有：，A稱為無散場。無散場具有兩個重要性質(zhì)。性質(zhì)1

下頁上頁返回性質(zhì)2數(shù)學上有恒等式可令,稱為的矢勢。0.5.2無旋場（必有散）

設(shè)有矢量場A,如果在場域中每一點處恒有：

A稱為無旋場。無旋場具有兩個重要性質(zhì)。性質(zhì)1性質(zhì)2數(shù)學上有恒等式可令,稱為的標勢。

下頁上頁返回0.5.3調(diào)和場

設(shè)有矢量場A,如果在場域中每一點處恒有：

A稱為調(diào)和場。

0.6

亥姆霍茲定理0.6.1

亥姆霍茲定理內(nèi)容在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件（矢量A惟一地確定）電荷密度電流密度J場域邊界條件在電磁場中HymherzeTheorem下頁上頁返回

0.6.2

場方程

矢量場A的場方程決定了場的性質(zhì)，為：

亥姆霍茲定理是研究電磁場理論的一條主線。無論是靜態(tài)場還是時變場，都是圍繞著它們的旋度、散度和邊界條件展開理論分析的。

下頁上頁返回例0.6.1

試判斷下列各圖中矢量場的性質(zhì)。000000下頁上頁返回0.7

特殊形式的電磁場如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為z

軸）的一族平行平面上，場F

的分布都相同，即F=f（x,y），則稱這個場為平行平面場。1.平行平面場SpecialFormsofElectromagneticField如無限長直導線產(chǎn)生的電場。下頁上頁返回0如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為z

軸)的一族子午面上，場F

的分布都相同，即F=f（r,），則稱這個場為軸對稱場。2.軸對稱場如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場；有限長直帶電導線產(chǎn)生的電場。下頁上頁返回3.球面對稱場如果在一族同心球面上（設(shè)球心在原點），場F

的分布都相同，即F=f（r），則稱這個場為球面對稱場。如點電荷產(chǎn)生的電場；帶電球體產(chǎn)生的電場。上頁0返回

0.8

微分算子及矢量運算DifferentialOperatorandVectorOperation

0.8.1

微分算子在直角坐標系中，哈密頓算子梯度散度下頁上頁返回

下頁上頁返回旋度拉普拉斯算子