余弦定理教學(xué)設(shè)計經(jīng)典

..1.1．2余弦定理教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標認知目標：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的內(nèi)容,推證余弦定理,并簡單運用余弦定理解三角形；能力目標：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察,推導(dǎo),比較,由特殊到一般歸納出余弦定理,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和觀察與邏輯思維能力,能體會用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；情感目標：面向全體學(xué)生,創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍,通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價,調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性,給學(xué)生成功的體驗,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和熱愛科學(xué)、勇于創(chuàng)新的精神。二、教學(xué)重難點重點：探究和證明余弦定理的過程；理解掌握余弦定理的內(nèi)容；初步對余弦定理進行應(yīng)用。難點：利用向量法證明余弦定理的思路；對余弦定理的熟練應(yīng)用。探究和證明余弦定理過程既是本節(jié)課的重點,也是本節(jié)課的難點。學(xué)生已經(jīng)具備了勾股定理的知識,即當(dāng)∠C=900時,有c2=a2+b2。作為一般的情況,當(dāng)∠C≠900時,三角形的三邊滿足什么關(guān)系呢?學(xué)生一時很難找到思路。最容易想到的思路就是構(gòu)造直角三角形,嘗試應(yīng)用勾股定理去探究這個三角形的邊角關(guān)系；用向量的數(shù)量積證明余弦定理更是學(xué)生想不到的,原因是學(xué)生很難將向量的知識與解三角形的知識相結(jié)合。因而教師在授課時可以適當(dāng)?shù)狞c撥、啟發(fā),鼓勵學(xué)生大膽的探索。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同的途徑去探索余弦定理的證明,這樣既能開拓學(xué)生的視野,加強學(xué)生對余弦定理的理解,又能培養(yǎng)學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,這是本節(jié)課教學(xué)的重點,也是難點。三、學(xué)情分析和教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是人教B版普通高中課程標準實驗教科書必修5第一章第一節(jié)余弦定理的第一課時。余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間的另一定理,是解決有關(guān)三角形問題與實際應(yīng)用問題〔如測量等的重要定理,它將三角形的邊和角有機的結(jié)合起來,實現(xiàn)了"邊"和"角"的互化,從而使"三角"與"幾何"有機的結(jié)合起來,為求與三角形有關(guān)的問題提供了理論依據(jù),同時也為判斷三角形的形狀和證明三角形中的等式提供了重要的依據(jù)。教科書首先通過設(shè)問的方式,指出了"已知三角形的兩邊和夾角,無法用正弦定理去解三角形",進而通過直角三角形中的勾股定理引導(dǎo)學(xué)生去探究一般三角形中的邊角關(guān)系,然后通過構(gòu)造直角三角形去完成對余弦定理的推證過程,教科書上還進一步的啟發(fā)學(xué)生用向量的方法去證明余弦定理,最后通過3個例題鞏固學(xué)生對余弦定理的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的內(nèi)容,初步掌握了正弦定理的證明及應(yīng)用,并明確了用正弦定理可以來解哪些類型的三角形。在此基礎(chǔ)上,教師可以創(chuàng)設(shè)一個"已知三角形兩邊及夾角"來解三角形的實際例子,學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用上一節(jié)所學(xué)的知識來解決這一問題,從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,引出這一節(jié)的內(nèi)容。在對余弦定理教學(xué)中時,考慮到它比正弦定理形式上更加復(fù)雜,教師可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的啟發(fā)和引導(dǎo),讓學(xué)生進行思考,通過類比、聯(lián)想、質(zhì)疑、探究等步驟,輔以小組合作學(xué)習(xí),建立猜想,獲得命題,再想方設(shè)法去證明。在用兩種不同的方法證明余弦定理時,學(xué)生可能會遇到證明思路上的困難,教師可以適當(dāng)?shù)狞c撥。四、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一[創(chuàng)設(shè)情境]1、復(fù)習(xí)引入讓學(xué)生回答正弦定理的內(nèi)容和能用這個定理解決哪些類型的問題。ABAB如圖1,某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道,需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁,量出A到山腳B、C的距離,再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC〔即線段BC的張角,最后通過計算求出山腳的長度BC。C學(xué)生不難將這個實際問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)問題：C已知三角形的兩邊和一個夾角,去求三角形的另外一邊。這個問題是不能使用正弦定理來求解的。學(xué)生急切的希望應(yīng)用新知識來解決這個問題。圖1環(huán)節(jié)二[導(dǎo)入新課]圖1問題：在△ABC中,當(dāng)∠C=90°時,有c2=a2+b2．若a,b邊的長短不變,變換∠C的大小時,c2與a2+b2有什么大小關(guān)系呢？請同學(xué)們思考。教師鼓勵學(xué)生積極思考,大膽發(fā)言,啟發(fā)學(xué)生解決問題,學(xué)生回答,借助于多媒體動畫演示結(jié)果。如圖2,若∠C＜90°時,由于AC與BC的長度不變,所以AB的長度變短,即c2＜a2+b2．CCBAB’圖2ACB’B圖3如圖3,若∠C＞90°時,由于AC與BC的長度不變,所以AB的長度變長,即c2＞a2+b2．經(jīng)過議論學(xué)生已得到當(dāng)∠C≠90°時,c2≠a2+b2。環(huán)節(jié)三[新課探究]探究1、在上一個問題中,我們已經(jīng)知道,當(dāng)∠C≠90°時,c2≠a2+b2。那么c2與a2+b2到底有什么等量關(guān)系呢？請同學(xué)們繼續(xù)探究。教師引導(dǎo)學(xué)生分組合作學(xué)習(xí),可讓幾個小組的學(xué)生研究當(dāng)∠C為銳角時的結(jié)論,另外的小組研究當(dāng)∠C為鈍角時的結(jié)論。最后交流探索,展示成果。如圖4,當(dāng)∠C為銳角時,作BD⊥AC于D,BD把△ABC分成兩個直角三角形：AACBD圖4在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2；在Rt△BDC中,BD=BC·sinC=asinC,DC=BC·cosC=acosC．所以,AB2=AD2+BD2化為c2=<b－acosC>2+<asinC>2,c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C,c2=a2+b2－2abcosC．可以看出∠C為銳角時,△ABC的三邊a,b,c具有c2=a2+b2－2abcosC的關(guān)系。如圖5,當(dāng)∠C為鈍角時,作BD⊥AC,交AC的延長線于D。BBADC圖5△ACB是兩個直角三角形之差。在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2．在Rt△BCD中,∠BCD=π－C．BD=BC·sin<π－C>,CD=BC·cos<π－C>．所以AB2=AD2+BD2化為c2=<AC+CD>2+BD2=[b+acos<π－C>]2+[asin<π－C>]2=b2+2abcos<π－C>+a2cos2<π－C>+a2sin2<π－C>=b2+2abcos<π－C>+a2．因為cos<π－C>=－cosC,所以也可以得到c2=b2+a2－2abcosC。教師點撥：以上兩種情況,我們可以考察向量在向量方向上的正射影的數(shù)量：當(dāng)∠C分別是銳角和鈍角的時候,得到兩個數(shù)量符號相反；當(dāng)∠C是直角的時候,其向量在直角邊上的正射影的數(shù)量為零。因此,無論是∠C是銳角、直角還是鈍角,都有,在Rt△ADB中,運用勾股定理,得c2=a2+b2－2abcosC,我們輪換∠A,∠B,∠C的位置可以得到a2=b2+c2－2bccosA．b2=c2+a2－2accosB．于是,我們得到三角形中邊角關(guān)系的又一重要定理：〔多媒體投影余弦定理的內(nèi)容余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,即cc2=a2+b2－2abcosCa2=b2+c2－2bccosAb2=c2+a2－2accosB從以上的公式中解出,則可以得到余弦定理的另外一種形式：從以上分析過程,我們對∠C不是直角的情況有了清楚認識。我們不僅要認識到,∠C為銳角和鈍角時都有c2=a2+b2－2abcosC,還要體會出怎樣把一個斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形的。這種由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到。探究2、你還能用向量的方法證明余弦定理嗎？參看教材例1左上方的思路提示。教師點撥學(xué)生的思路,可以讓學(xué)生分組討論、探究,最后教師用多媒體展示證明的思路及過程。圖6如圖6,在△ABC中,設(shè),圖6教師點評：對于探究1,我們分∠C是銳角和鈍角的情況對余弦定理的形式給出了證明,過程比較復(fù)雜；對于探究2,我們應(yīng)用向量的數(shù)量積可以很簡單的證明余弦定理,這就可以看出向量作為一種工具在證明一些數(shù)學(xué)問題中的作用,在今后的學(xué)習(xí)中,我們應(yīng)該加強對所學(xué)知識的應(yīng)用。探究3、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用教師啟發(fā)學(xué)生：根據(jù)余弦定理的兩種形式,可以看出它能夠解決解三角形的哪些類型？〔學(xué)生并不難發(fā)現(xiàn),余弦定理可以用來解決兩種解三角形的類型：⑴已知三角形的兩邊及其夾角,求第三邊；⑵已知三角形的三邊,求三個內(nèi)角。下面,請同學(xué)們根據(jù)余弦定理的這兩種應(yīng)用,來解決以下三個例題?！灿枚嗝襟w展示例題例1、在△ABC中,已知a=5,b=4,∠C=120O,求c.例2、在△ABC中,已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個內(nèi)角的大小及其面積〔精確到0.1.例3、△ABC的定點為A<6,5>,B<-2,8>,和C<4,1>,求∠A<精確到0.1>.雙邊活動：師生可以共同完成例題,進一步的加深學(xué)生對余弦定理的應(yīng)用。環(huán)節(jié)四[練習(xí)與鞏固]1、在△ABC中,a=1,b=1,∠C=120O,則c=。2、在△ABC中,若三邊a,b,c滿足,則A=。3、在△ABC中,已知,這個三角形是〔填銳角、直角、鈍角三角形。4、在△ABC中,BC=3,AC=2,AB上的中線長為2,求AB。雙邊活動：學(xué)生限時訓(xùn)練,讓學(xué)生回答結(jié)果,對于出錯題目加以講解,可以用多媒體展示第4題的解題過程。環(huán)節(jié)五[課堂反思總結(jié)]通過以上的研究過程,同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識和方法？你對此有何體會？〔先由學(xué)生回答總結(jié),教師適時的補充完善1、余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角入手,分別討論了銳角和鈍角的情況,體現(xiàn)了由特殊到一般的認識過程,運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想；2、用向量證明了余弦定理,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關(guān)系,勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內(nèi)角的兩類問題?！矎膶嶋H問題出發(fā),通過猜想、實驗、歸納等思維方法,最后得到了推導(dǎo)出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般,我們不僅收獲著結(jié)論,而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。在強調(diào)研究性學(xué)習(xí)方法,注重學(xué)生的主體地位,調(diào)動學(xué)生積極性,使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。環(huán)節(jié)六[布置課后作業(yè)]1、若三角形ABC的三條邊長分別為,,,則。2、在△ABC中,若a＝7,b＝8,,則最大內(nèi)角的余弦值為_。3、已知△ABC中,acosB=bcosA,請判斷三角形的形狀〔用兩種不同的方法。4、教材練習(xí)B1,3。五、教學(xué)反思1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù),要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié),余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容,加強定理的應(yīng)用。2、當(dāng)已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時,可利用方程的思想,引出含第三邊為未知量的方程,間接利用余弦定理解決問題,此時應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個問題在本節(jié)課講給學(xué)生,學(xué)生不易理解,可以放在第二課時處理。3、本節(jié)課的重點首先是定理的證明,其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué)往往采取的是"掐頭去尾燒中斷"的方法,忽視了定理、概念的形成過程,只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式,讓學(xué)生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式,大搞題海戰(zhàn)術(shù),加重了學(xué)生的負擔(dān),效果很差。學(xué)生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程,不能明白知識的來龍去脈,怎么會靈活的應(yīng)用呢？事實上已經(jīng)證明,這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標教育的教學(xué)理念。新課標課程倡導(dǎo)：強調(diào)過程,重視學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會,不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受,把"發(fā)現(xiàn)、探究知識"的權(quán)利還給學(xué)生。4、本節(jié)課的教學(xué)過程重視學(xué)生探究知識的過程,突出了以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過提供一些可供學(xué)生研究的素材,引導(dǎo)學(xué)生自己去研究問題,探究問題的結(jié)論。在這個過程中,教師應(yīng)該做到"收放有度",即：不能收的太緊,剝奪了學(xué)生獨立思考、合作學(xué)習(xí)的意識,更不能采取"放羊式"的教學(xué),對于學(xué)生在探究問題中出現(xiàn)的困惑置之不理。5、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué),起到畫龍點睛、提高效率、增強學(xué)生對問題感官認識的效果,不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時的"眼到、手到、口到"變?yōu)闄C械的"眼到",學(xué)生看了一節(jié)課的"電影",沒有充足的時間去思考、練習(xí)、鞏固,課后會很快將所學(xué)的知識忘得一干二凈。6、在實際的教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于所學(xué)的知識〔例如向量不能很好的應(yīng)用,學(xué)生的數(shù)學(xué)思想〔如分類討論、數(shù)形結(jié)合也不能靈活的應(yīng)用,這在以后的教學(xué)中還應(yīng)該加強。從授課的實際效果來看,能較好的完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。后一階段的教學(xué)主要應(yīng)該加強師生的課堂雙邊活動,處理好教與學(xué)的關(guān)系,充分調(diào)動學(xué)生的課堂參與意識,鼓勵學(xué)生積極大膽的發(fā)言,學(xué)生主動暴露自己的問題,教師及時的加以糾正,使教學(xué)更具針對1.1.2余弦定理〔導(dǎo)學(xué)案〖學(xué)習(xí)目標〗1.會用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法。,2.熟記并掌握余弦定理3.能運用余弦定理及其推論解三角形〖學(xué)習(xí)重點〗余弦定理的理解及應(yīng)用〖學(xué)習(xí)難點〗由數(shù)量積證明余弦定理及應(yīng)用〖學(xué)習(xí)過程〗一、課前準備[知識清單]〔預(yù)習(xí)教材P5-8,找出疑惑之處1.余弦定理：2.余弦定理的推論：3.用余弦定理可以解決兩類有關(guān)解三角形的問題已知三邊,求已知和它們的,求第三邊和其他兩個角。[牛刀小試]1．已知,求；2．已知,求cos二、新課導(dǎo)學(xué)1．[復(fù)習(xí)導(dǎo)入]1.三角形的正弦定理內(nèi)容：2.已知A=,C=,,你能解這個解三角形？[探究]在問題中探究余弦定理若把2的條件C=,改成,如何解三角形？〔即已知三角形的兩邊及其夾角解三角形問題：聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法,可用什么途徑來解決這個問題？分析：用正弦定理試求,發(fā)現(xiàn)因A、B均未知,所以較難求邊c；由于涉及邊長問題,從而可以考慮用向量來研究這個問題。A設(shè),,,那么,則CB〔小組合作完成余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和