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小專題(八)
教材P90習題第14題的變式與應用【例】(人教版九年級上冊教材第90頁第14題)如圖,A,P,B,C是⊙O上的四個點,∠APC=∠CPB=60°,判斷△ABC的形狀,并證明你的結(jié)論.證明:因為∠APC=∠ABC,∠CPB=∠BAC,又因為∠APC=∠CPB=60°.所以∠ABC=∠BAC=60°.于是∠ACB=60°.所以△ABC為等邊三角形.1.如圖,延長BP至E,若∠EPA=∠CPA,判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論.△ABC是等腰三角形,理由:因為∠CPA=∠ABC,四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形,所以∠EPA=∠ACB.因為∠EPA=∠CPA,所以∠ACB=∠ABC.所以AB=AC.故△ABC是等腰三角形.2.如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,DB=DC.求證:AD是△ABC外角∠EAC的平分線.證明:∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠DCB+∠DAB=180°.又
∠DAE+∠DAB=180°,
∴∠DCB=∠EAD.
∵DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB.
∵∠DBC=∠DAC,
∴∠DAC=∠EAD.
∴AD平分∠EAC.
3.如圖,A,P,B,C是半徑為8的⊙O上的四點,且滿足∠BAC=∠APC=60°.(1)求證:△ABC是等邊三角形;(2)求圓心O到BC的距離OD.(1)證明:∵∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠APC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC是等邊三角形.4.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,P為弧AB上異于A,B兩點的一動點時,當△ABC滿足什么條件時,PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能,請證明,若不能,請說明理由.當AB=AC時,PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,又∵∠APE+∠APB=180°,
∠ACB+∠APB=180°,
∴∠APE=∠ACB.又∵∠APC=∠ABC,
∴∠APE=∠APC.即AB=AC時,PA平分∠BPC的外角∠CPE.
5.(1)如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD為∠BAC的平分線,過D作DE垂直于AB于E,AE與△ABC的兩邊AB,AC有怎樣的關(guān)系呢?(2)如圖2,若AD為△ABC的外角∠CAG的平分線時,AE與△ABC的兩邊AB,AC又有怎樣的關(guān)系呢?6.如圖,平面直角坐標系中,O′為y軸上一點,⊙O′交x軸于A,B兩點,交y軸于C,D兩點.直線AE交⊙O′于F點,連接FC.過C作CH垂直AF交其延長線于H.試問:當點F在弧AC上運動時,F(xiàn)B-FA與FH的比值是否為定值?并說明理由.7.如圖,△ABC的三個頂點均在⊙O上,∠BAC與∠ABC的平分線相交于點I,延長AI交⊙O于點D,連接BD,DC.(1)求證:BD=DC=DI;(2)若⊙O的半徑為10cm,∠BAC=120°,
求△BDC的面積.(1)證明:∵AI平分∠BAC,
∵∠BAD=∠DAC,
∴BD=DC.
∵BI平分∠ABC,
∴∠ABI=∠CBI.
∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC,
∴∠BAD=∠DBC.又∠DBI=∠DBC
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