數(shù)字巴特沃斯濾波器 19

數(shù)字巴特沃斯濾波器

DigitalButterworthFilterLesson19復(fù)習(xí)提問數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的三大步驟？沖激響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)思想是？沖激響應(yīng)不變法哪個頻段失真較大，為什么？它適用于設(shè)計(jì)哪種濾波器？沖激響應(yīng)不變法適合哪種類型的系統(tǒng)函數(shù)？沖激響應(yīng)不變法的穩(wěn)定性如何？巴特沃斯濾波器

ButterworthFilter巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)公式、步驟沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯濾波器雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)公式巴特沃斯(Butterworth)濾波器都幅度響應(yīng)在通帶內(nèi)具有最平坦的特性，且在通帶和阻帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)變化的。模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為幅度特性如下圖所示為Butterworth濾波器的幅度特性，其中為角頻率，在處幅度響應(yīng)的平方為0.5，N為濾波器的階數(shù)，當(dāng)時(shí)，幅度響應(yīng)為1。幅度特性從式子和圖都可以看出，隨著N的增大，幅度響應(yīng)曲線在截止頻率附近變得越來越陡峭，即在通帶內(nèi)有更大部分的幅度接近于1，在阻帶內(nèi)以更快的速度下降至零。Butterworth濾波器存在極點(diǎn)，而零點(diǎn)在幅度特性現(xiàn)在來分析Butterworth濾波器極點(diǎn)的分布特點(diǎn)。如果用s代替，即經(jīng)解析延拓，得到由此得到極點(diǎn)由此看出，巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布特點(diǎn)：在s平面上共有2N個極點(diǎn)等角距地分布在半經(jīng)為的圓周上．極點(diǎn)分布這些極點(diǎn)對稱于虛軸，而虛軸上無極點(diǎn)；N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個極點(diǎn)；N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無極點(diǎn)；各個極點(diǎn)間的角度為。圖示為N=3時(shí)各極點(diǎn)的分布情況。用極點(diǎn)構(gòu)建系統(tǒng)函數(shù)知道巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)分布后，便可以由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)極點(diǎn)分布，可以得到上式中，是s平面左半平面的極點(diǎn)，是右半平面的極點(diǎn)，

A和B都為常數(shù)。用極點(diǎn)構(gòu)建系統(tǒng)函數(shù)Butterworth濾波器有2N個極點(diǎn)，且對稱于虛軸，所以可將左半平面的極點(diǎn)分配給，以便得到一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，把右半平面的極點(diǎn)分配給，不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)：用極點(diǎn)構(gòu)建系統(tǒng)函數(shù)Ａ值的確定N為偶數(shù)，A由濾波器在處的單位沖激響應(yīng)來確定，即于是得到N為奇數(shù)可得到一樣的結(jié)果。用極點(diǎn)構(gòu)建系統(tǒng)函數(shù)Ｎ為偶數(shù)時(shí)，模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為式中，為左半平面的極點(diǎn)，為的共軛極點(diǎn)N為奇數(shù)時(shí)，模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

為負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)。設(shè)計(jì)步驟總結(jié)設(shè)計(jì)數(shù)字Butterworth濾波器的步驟如下根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定濾波器的數(shù)字截止頻率處的衰減，單位為dB

由數(shù)字截止頻率處的衰減計(jì)算模擬巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率設(shè)計(jì)步驟求模擬巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)，并由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)左半平面的極點(diǎn)：系統(tǒng)函數(shù)：使用沖激不變法或雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)舉例—沖激響應(yīng)不變法例4.2設(shè)計(jì)一個數(shù)字巴特沃斯濾波器，在通帶截止頻率處衰減不大于1dB，在阻帶截止頻率處衰減不小于15dB。解

(1)根據(jù)濾波器的指標(biāo)得舉例—沖激響應(yīng)不變法(2)設(shè)T=1，將數(shù)字域指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬域指標(biāo)得代入巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)得解這兩個方程得按此值設(shè)計(jì)的濾波器滿足通帶指標(biāo)要求，阻帶指標(biāo)將超過給定值。舉例—沖激響應(yīng)不變法(3)把代入式子得到s平面左半平面的3對極點(diǎn)分別為：由這3對極點(diǎn)構(gòu)成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為舉例—沖激響應(yīng)不變法(4)將上述模擬系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開，再按照沖激響應(yīng)不變法求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為可以代入來驗(yàn)證濾波器的各項(xiàng)性能指標(biāo)是否滿足要求?？梢?，設(shè)計(jì)的濾波器完全滿足規(guī)定的技術(shù)指標(biāo)。舉例—沖激響應(yīng)不變法(5)實(shí)現(xiàn)上述設(shè)計(jì)的MATLAB程序如下a=10.^1.5-1;b=10.^0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(3/2),pause;n=ceil(n);wc=0.2*pi/b.^(1/2/n),pause;[z,p,k]=butter(6,0.7032,'s'),pause;[sosa,ga]=zp2sos(z,p,k),pause;[b,a]=sos2tf(sosa,ga);[bz,az]=impinvar(b,a,1)[sos,g]=tf2sos(bz,az)舉例—雙線性變換法例4.3用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個數(shù)字巴特沃斯濾波器，設(shè)取樣頻率為，在通帶截止頻率

處衰減不大于1dB，在阻帶截止頻率處衰減不小于15dB。解

(1)將模擬截止頻率轉(zhuǎn)換成數(shù)字截止頻率舉例—雙線性變換法(2)計(jì)算將模擬截止頻率進(jìn)行預(yù)畸變，即于是得到即舉例—雙線性變換法現(xiàn)在可以認(rèn)為模擬頻率是歸一化的頻率，即令T=1，得即：解得：再代入左邊下面阻帶指標(biāo)式子求得：可以驗(yàn)算這個值對應(yīng)的阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，而通帶指標(biāo)已經(jīng)超過要求。舉例—雙線性變換法(3)把代入式子得到s平面左半平面的3對極點(diǎn)分別為：由這3對極點(diǎn)構(gòu)成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為舉例—雙線性變換法(4)將上述模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按照雙線性變換法求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為舉例—雙線性變換法(4)這個濾波器由3個二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成，如果每個二階節(jié)都采用直接II型結(jié)構(gòu)，則這個濾波器的流程圖如下圖所示。為了檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器性能指標(biāo)，將代入驗(yàn)證舉例—雙線性變換法(5)求解該題的MATLAB程序如下：a=10.^1.5-1;b=10.^0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(tan(0.15*pi)/tan(0.1*pi)),pause;n=ceil(n)wc=2*tan(0.15*pi)/a.