有限沖激響數(shù)字濾波器設計

第五章

有限沖激響應數(shù)字濾波器設計趙發(fā)勇zfy_72@163.com

序言

§5.1線性相位FIR濾波器的特性

§5.2窗口設計法（時間窗口法）

§5.3頻率采樣法

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計

§5.5IIR與FIR數(shù)字濾器的比較

引言IIR數(shù)字濾波器和優(yōu)缺點優(yōu)點

可以利用模擬濾波器設計的結果，而模擬濾波器的設計有大量圖表可查，方便簡單。缺點

相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡進行相位校正,使濾波器設計變得復雜，成本也高。

引言輸入輸出的卷積關系為FIR數(shù)字濾波器的差分方程為對應的系統(tǒng)函數(shù)為比較可得：系數(shù)ai即為系統(tǒng)的單位抽樣響應，無極點(或極點在原點)引言優(yōu)點（1）很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；（2）可得到多帶幅頻特性；（3）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；（4）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足；（5）無反饋運算，運算誤差小。

穩(wěn)定性及可實現(xiàn)和線性相位特性是FIR濾波器突出的優(yōu)點。語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸中具有重要的應用。引言缺點（1）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價；（2）無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。5.1線性相位FIR濾波器的特點系統(tǒng)的頻率響應包括幅頻特性和相頻特性。幅頻特性反映了信號通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況。相頻特性反映了信號的各頻率成分經(jīng)過系統(tǒng)后在時間上發(fā)生的位移情況。很多場合下，一個理想的離散時間系統(tǒng)（濾波器）除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通等），最好具有線性相位,即產(chǎn)生什么效果？若：其中k為常數(shù)也稱線性相位5.1線性相位FIR濾波器的特點分析：現(xiàn)假設系統(tǒng)的幅頻特性為1，考慮信號經(jīng)過線性相位系統(tǒng)后的輸出。設系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，則輸出序列為y(n)的頻率特性為由DTFT的性質可知輸出序列此式說明，輸出序列y(n)為輸入序列為x(n)在時間上位移。結論當系統(tǒng)具有線性相位時，信號無失真（指無相位失真、有一定的延遲）。5.1線性相位FIR濾波器的特點定義系統(tǒng)的群延遲由上面的分析可知，線性相位的群延遲為一常數(shù)。可以將群延遲作為相頻特性是否線性的度量，同時，它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。5.1線性相位FIR濾波器的特點當FIR系統(tǒng)h(n)滿足該系統(tǒng)具有線性相位。其中+表示偶對稱，-表示奇對稱(如圖示)

。同時由于N可取奇或偶，共有四種情況，下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特性。第一類FIR系統(tǒng)第二類FIR系統(tǒng)第三類FIR系統(tǒng)第四類FIR系統(tǒng)5.1線性相位FIR濾波器的特點h(n)=h(N-1-n)為偶對稱h(n)=-h(N-n-1)為奇對稱N為偶N為奇N為偶N為奇5.1線性相位FIR濾波器的特點1、且N為奇數(shù)5.1線性相位FIR濾波器的特點令則系統(tǒng)的頻率響應5.1線性相位FIR濾波器的特點系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅度函數(shù)由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。令，則令則由于偶對稱，因此對這些頻率也呈偶對稱。p2p05.1線性相位FIR濾波器的特點5.1線性相位FIR濾波器的特點２、h(n)=h(N-1-n),且N為偶數(shù)5.1線性相位FIR濾波器的特點令則系統(tǒng)的頻率響應5.1線性相位FIR濾波器的特點系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為由定義可知，此時的FIR系統(tǒng)具有線性相位。令，則

或寫為：

由于奇對稱，所以對也為奇對稱，且由于時，處必有一零點，因此這種情況不能用于設計時的濾波器，如高通、帶阻濾波器。5.1線性相位FIR濾波器的特點5.1線性相位FIR濾波器的特點同理可求出N奇、偶時系統(tǒng)的相頻特性分別為

通過以上分析可知，當FIRDF的抽樣響應滿足對稱時，該濾波器具有線性相位，其中，當h(n)為奇對稱時，通過濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生90o的相移。下面討論具有線性相位FIR濾波器零點分布及幅頻響應問題5.1線性相位FIR濾波器的特點一、零點分析利用h(n)的對稱性可知其中+表示偶對稱，-表示奇對稱。由上式容易可以看出H(Z-1)的零點也是H(Z)的零點。5.1線性相位FIR濾波器的特點①、情況一：分析：在這種情況下H（Z-1）的零點也是H（Z）的零點,即Zk為零點

，Zk-1也是零點,(兩者稱為單位圓鏡像對稱);同時,零點為復數(shù)，應當成對出現(xiàn)，即此時有四個互為倒數(shù)的兩組共軛對零點，如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點②、情況二：分析：此時零點不在單位圓上，但在實軸上，是實數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點,如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點③、情況三：分析：此時零點在單位圓上，但不在實軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點④、情況四：分析：此時零點既在單位圓上，又在實軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點，所以以單出現(xiàn)，且只有兩種可能，zk=1或zk=-1。如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點通過以上分析可知，一個具有線性相位的FIRDF，其轉移函數(shù)可表示為上述四情況的級聯(lián)，即上述子傳輸函數(shù)分別對應四種情況下的一階、二階和四階子系統(tǒng)。由于其均具有對稱的系數(shù)，它們均為線性相位子系統(tǒng)。為實現(xiàn)H（Z）提供了方便，H（Z）各種情況下的零點位置示意圖如下如所示。5.1線性相位FIR濾波器的特點5.1線性相位FIR濾波器的特點二、線性相位FIRDF幅頻響應特點在一個FIR系統(tǒng)中，滿足圖5.3.1所示的對稱性，稱此進的H（Z）為鏡像對稱多項式（MIP），下面分析這引MIP在z=1或z=-1處幅頻響應的特點。5.1線性相位FIR濾波器的特點第一類FIRDF(偶對稱,N為奇)的特點：●恒相時延，相位曲線是過原點的直線。●H(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即Z=-1和1(或零點和л點)都能保證5.3.1式成立,л點相當模擬頻率?

s／2，或者說模擬頻率的最高頻(高頻端),因此,此類FIRDF可靈活設置低通\高通和帶通濾波器.5.1線性相位FIR濾波器的特點第二類FIRDF(偶對稱,N為偶)的特點：●恒相時延，相位曲線是過原點的直線。●H(1)=H(1),

H(-1)=-H(-1),即л點一定是幅度函數(shù)的零點,以保證對稱性成立。л點是零點說明高端不通，所以這類FIR系統(tǒng)只能做低通和帶通,不能設計高通和帶阻濾波器.5.1線性相位FIR濾波器的特點第三類FIRDF(奇對稱,N為奇)

的特點：●恒群時延，有л/2附加相移，相位曲線是截距為л/2、斜率為-(N-1)/2的直線。●對零頻和л頻均為奇對稱,即H(1)=-H(1)，H(-1)=-H(-1)，所以零頻和л頻都必須是H(ω)的零點，以保證對稱性。所以這類FIR系統(tǒng)只能做帶通。5.1線性相位FIR濾波器的特點第四類FIRDF(奇對稱,N為偶)的特點：●恒群時延，有л/2附加相移。相位曲線與第三類相同?！穹惹€對原點奇對稱，H(1)=-H(1)零頻是的零點。幅度曲線對H(-1)=H(-1),即л點偶對稱。所以這類FIR系統(tǒng)只能做高通和帶通濾波器。5.1線性相位FIR濾波器的特點小結：線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應用最廣。實際使用時應根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設計時遵循其約束條件。FIR濾波器設計的基本思想：

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應為，那么FIR濾波器的設計就在于尋找一個系統(tǒng)函數(shù)，頻率響應去逼近

§5.2窗口設計法逼近方法有三種:①窗數(shù)設計法（時域逼近）②頻率采樣法(頻域逼近）③最優(yōu)化設計（最佳一致逼近、等波紋逼近）一、思路與方法：

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應為

，時間窗設計法是從單位沖響應序列著手，使設計的濾波器單位沖激響應h(n)逼近理想的單位脈沖響應序列hd(n)，hd(n)可以從理想頻響通過傅里葉反變換獲得§5.2窗口設計法如理想低通濾波器的單位沖激響應為:一般來說，理想頻響是分段恒定，在邊界頻率處有突變點，這樣得到的理想單位脈沖響應hd(n)往往是無限長序列、非因果的序列。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd(n)。方法是：§5.2窗口設計法特點：

無限長非因果偶對稱解決方法：截短移位保留

這種截取可想象為h(n)是通過一個“窗口”所看到的一段hd(n)，因此這種方法稱為窗函數(shù)法。h(n)也可表達為hd(n)和一個“窗函數(shù)”的乘積，即h(n)=w(n)hd(n)。最簡單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN(n），后面我們還可看到,為了改善設計濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當于在矩形窗內對hd(n)作一定的加權處理。

§5.2窗口設計法即：隱含著使用了窗函數(shù)1）由定義3）卷積插值§5.2窗口設計法設計步驟矩形窗口法則

以一個邊界頻率為ωc的線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設計問題。a.對于給定的理想低通濾波器，計算§5.2窗口設計法

這是一個以為中心的偶對稱的無限長非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時應為h(n)長度N的一半,即理想特性的hd(n)和Hd(ω)如圖所示。§5.2窗口設計法§5.2窗口設計法其中b.計算

c.計算。設為窗口函數(shù)的頻譜:

用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示，則有

其線性相位部分則是表示延時一半長度

§5.2窗口設計法對頻響起作用的是它的幅度函數(shù)§5.2窗口設計法

理想頻響也可以寫成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式其中幅度函數(shù)為

兩個信號時域的乘積對應于頻域卷積，所以有§5.2窗口設計法如果也以幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示H（ejω）,則實際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（ω）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積?！?.2窗口設計法§5.2窗口設計法從四個特殊頻率點看卷積結果§5.2窗口設計法窗函數(shù)對理想特性的影響：①改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為4π/N，等于WR(ω)的主瓣寬度。（決定于窗長）②過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內、帶外起伏），取決于WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對值大，肩峰強，與N無關。（決定于窗口形狀）③N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。

其中x=Nω/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關系，只能改變WR（ω）的絕對值大小和起伏的密度，當N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應?！?.2窗口設計法

改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：①窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；②相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。

但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制?！?.2窗口設計法幾種常用的窗函數(shù)（１）矩形窗：已講過，不再重述§5.2窗口設計法(２)漢寧窗（Hanning、升余弦窗）0N-1/2N-11W(n)n利用DTFT的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W(ω)可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為：§5.2窗口設計法當Ｎ>>1,N-1≈N,則幅度函數(shù)近似為§5.2窗口設計法優(yōu)點由于頻譜是由三個互有頻移的不同幅值的矩形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，從而能量相當有效地集中在主瓣內?？蛇_到減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。代價（缺點）主瓣加寬一倍，過濾帶加大§5.2窗口設計法(３)漢明窗（改進的升余弦窗，Hamming）§5.2窗口設計法它是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度（對應第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣內，主瓣寬度與漢寧窗相同。(４)布萊克曼窗（二階升余弦，Blackman窗）§5.2窗口設計法增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，為。增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：§5.2窗口設計法圖5.7四種常用的窗口函數(shù)§5.2窗口設計法四種窗函數(shù)的比較§5.2窗口設計法圖5.8窗口函數(shù)的頻譜N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|§5.2窗口設計法圖5.9四種窗口函數(shù)在同一指標下設計濾波器的的頻率特性例

用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設N=11,ωc=0.2πrad?！?.2窗口設計法解：1、根據(jù)技術要求確定待求濾波器的單位取樣響應hd(n)，由題意得§5.2窗口設計法2、選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)，計算濾波器的單位取樣響應h(n)用矩形窗設計：用漢寧窗設計：用布萊克曼窗設計：§5.2窗口設計法3、設計出的濾波器頻率響應用下式計算：§5.3頻率采樣設計法

窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)的一種設計法。工程上，常給定頻域上的技術指標，所以采用頻域設計更直接。尤其對于Hd(ejw)公式較復雜，或Hd(ejw)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，頻率抽樣設計法更為方便，有效。一、基本思想

使所設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近?！?.3頻率采樣設計法§5.3頻率采樣設計法

令，則§5.3頻率采樣設計法

單位圓上的頻響為：這是一個內插公式。其中為內插函數(shù)內插公式表明：在每個采樣點上，逼近誤差為零，頻響嚴格地與理想頻響的采樣值H(k)相等；在采樣點之間，頻響由各采樣點的內插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應的曲線形狀有關，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大。在理想頻率響應的不連續(xù)點附近，會產(chǎn)生肩峰和波紋。N增大，則采樣點變密，逼近誤差減小?！?.3頻率采樣設計法§5.3頻率采樣設計法圖5.14頻率采樣的不同頻率特性§5.3頻率采樣設計法1）確定并得到3）計算2）計算二、設計方法為了設計線性相位的FIR濾波器，采樣值H（k）要滿足一定的約束條件。具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應h(n)是實序列，且滿足，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的約束。相頻響應分別滿足§5.3頻率采樣設計法三、線性相位條件對稱性滿足：H(-1)=H(-1),H(-1)=-H(-1),H(-1)=-H(-1),H(-1)=H(-1)，即關于PI點奇對稱或偶對稱，可表示為

情況一:設計第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對稱，則幅度函數(shù)(用H(ω)表示)應具有偶對稱性：§5.3頻率采樣設計法三、線性相位條件

令則必須滿足偶對稱性：而必須取為：

情況二:設計第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的，§5.3頻率采樣設計法因此，Hk

也必須滿足奇對稱性：

相位關系同上，

其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件?！?.3頻率采樣設計法①根據(jù)所設計濾波器的通帶和阻帶的要求,根據(jù)N為奇偶,按線性相位要求指定Hd(k).②計算和,求出所設計濾波器的頻率響應?！?.3頻率采樣設計法綜上所述，頻率抽樣法的設計步驟為例５.６：設計一個FIR數(shù)字LP濾波器，其理想特性為

采樣點數(shù)N=33，要求線性相位。解：根據(jù)分析，能設計低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因為N＝32為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。即h(n)=h(N-1-n)，因此，該系統(tǒng)幅頻特性關于π偶對稱，也即HK偶對稱。利用HK的對稱性,求π－2π區(qū)間的頻響采樣值?！?.3頻率采樣設計法根據(jù)指標要求，在0～2π內有33個取樣點，所以第k點對應頻率為而截止頻率0.5π位于之間，所以，k=0～8時，采樣值為1；根據(jù)對稱性，故k=25～32時，采樣值也為1，因k=33為下一周期，所以0～π區(qū)間有9個值為1的采樣點，π～2π區(qū)間有8個值為1的采樣點，因此：§5.3頻率采樣設計法

§5.3頻率采樣設計法N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(10:17)=0;Hd1=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd1=[Hd1conj(fliplr(Hd1(2:(N1+1)/2)))];h1=real(ifft(Hd1));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H1=freqz(h1,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H1)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');ylabel('幅度/db');title('過渡帶不設采樣點');§5.3頻率采樣設計法§5.3頻率采樣設計法

從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個頻率采樣間隔2π/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。

對大多數(shù)應用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。增大阻帶衰減方法：1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個過渡帶采樣點H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個頻率采樣間隔4π/33，重新計算的H(ejω)見圖，其阻帶衰減增加到約-40dB?！?.3頻率采樣設計法N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(11:17)=0;Ad1(10)=0.5;Hd2=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd2=[Hd2conj(fliplr(Hd2(2:(N1+1)/2)))];h2=real(ifft(Hd2));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H2=freqz(h2,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H2)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('過渡帶設一個采樣點');§5.3頻率采樣設計法§5.3頻率采樣設計法

2）過渡帶的優(yōu)化設計

根據(jù)H(ejω)的表達式，H(ejω)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設定一個過渡帶值）。例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通帶或阻帶內的最大絕對誤差最小化。

要求使阻帶內最大絕對誤差達到最小（也即最小衰減達到最大），可計算得H9=0.3904。對應的H(ejω)的幅頻特性，比H9=0.5時的阻帶衰減大大改善,衰減超過40dB。如果還要進一步改善阻帶衰減，可以進一步加寬過渡區(qū)，添上第二個甚至第三個不等于0的頻率取樣值，當然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值?！?.3頻率采樣設計法

３）增大N,運算量增加

如果要進一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點數(shù)N。例如，同樣邊界頻率ωc=0.5π,以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計算獲得的采樣值H18=H47=0.1065,這時得到的H(ejω)，過渡帶為6π/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達-60dB以上，當然，代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加?！?.3頻率采樣設計法N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=[Hd

conj(fliplr(Hd(2:(N+1)/2)))];h=real(ifft(Hd));w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,[1],w);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('過渡帶設兩個采樣點，總采樣點數(shù)提高一倍');§5.3頻率采樣設計法§5.3頻率采樣設計法圖5.15過渡采樣點不同的３個FIR濾波器設計實例§5.3頻率采樣設計法例5.7用頻率采樣法設計一個線性相位FIR帶通濾波器，設N=32，理想頻率特性為

解

N=32為偶數(shù)，按第二種線性相位FIR濾波器設計。頻率間隔為上邊界點k在9和10之間；下邊界點k在3和4之間?！?.3頻率采樣設計法MATLAB程序如下:N=32;Hk=[zeros(1,4)ones(1,6)zeros(1,13)-ones(1,6)zeros(1,3)];k=0:N-1;hn=real(ifft(Hk.*exp(-j*pi*(N-1)*k/N)));[Hw]=freqz(hn,1);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));axis([01-6010]);grid;xlabel('歸一化頻率/\pi')ylabel('幅度/dB')§5.3頻率采樣設計法§5.3頻率采樣設計法小結頻率采樣設計法優(yōu)點：①

直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便；②

適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)幾個非零值。

缺點：截止頻率難以控制。因頻率取樣點都局限在2π/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加?！?.3頻率采樣設計法§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計

前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設計方法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設計出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ejω)的逼近。說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對“好”“壞”的恒量標準不同，也會得出不同的結論。窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性。如果反過來要求在某種準則下設計濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結果，這就引出了最優(yōu)化設計的概念，最優(yōu)化設計一般需要大量的計算，所以一般需要依靠計算機進行輔助設計。

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計

最優(yōu)化設計的前提是最優(yōu)準則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設計中，常用的準則有：①最小均方誤差準則②最大誤差最小化準則。①最小均方誤差準則（最小平方逼近法）若以E(ejω)表示逼近誤差，則

那么均方誤差為均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差，這一方法注重的是在整個-π－π頻率區(qū)間內總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計

對于窗口法FIR濾波器設計，因采用有限項的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗則有可以證明，這是一個最小均方誤差。其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大,或者說誤差分布不均勻?！?.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計②最大誤差最小化準則（最佳一致逼近法）表示為

其中F是根據(jù)要求預先給定的一個頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇N個頻率采樣值(或時域h(n)值)，在給定頻帶范圍內使頻響的最大逼近誤差達到最小。也叫等波紋逼近。優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標下，可用最少的階數(shù)達到最佳化。§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計設所希望的理想頻率響應為

我們的任務是，尋找一，使其在通帶和阻帶內最佳一致逼近理想頻響。

根據(jù)交錯點組定理，如果H(ejw)是對Hd(ejw)的最佳一致逼近，那么其在通帶和阻帶內應具有如圖5.19的等波動性質。所以最佳一致逼近有時又稱等波動逼近?！?.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計圖5.19等波動逼近的低通濾波器如圖，用等波動逼近法設計濾波器需要確定五個參數(shù)：

N、ωp、ωs、δ1、δ2按上圖所示的誤差容限設計低通濾波器，就是說要在通帶

0ωωp

內以最大誤差δ1

逼近零，在阻帶ωsω內以最大誤差δ2逼近零。要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法：

1）給定N、δ1、δ2，以ωp和ωs、為變量。

缺點：邊界頻率不能精確確定。

2）給定N、ωP和ωS，以δ1和δ2為變量，通過迭代運算，使逼近誤差δ1和δ2最小，并確定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特點：能準確地指定通帶和阻帶邊界頻率。

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計式中為了保證設計的濾波器具有線性相位，仍應遵守h(n)的約束，為了討論方便，現(xiàn)假設h(n)為偶對稱，Ｎ為奇數(shù)，則

定義逼近誤差函數(shù)：

上式中使用加權因數(shù)，是考慮在設計濾波器時對通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同的加權函數(shù)。根據(jù)交錯點組定理，Hg(ejω)在子集F上是對Hd(ejw)唯一最佳一致逼近的充要條件是:誤差函數(shù)在F上至少呈現(xiàn)M十2個“交錯”，使得§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計

如果已知在F上的M+2個交錯頻率,即

則有§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計上式變換為寫成矩陣形式問題:

一是交錯點組ωi事先是不知道的，這樣當然無法求解方程式;二是直接求解方程組比較因難。(1)在頻率子集F上均勻等間隔地選取M+2個極值點頻率

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設計

為此，J.H.Mc