格林函數(shù) 解的積分公式 泊阿松方程

數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題實(shí)質(zhì)上都反映場(chǎng)與產(chǎn)生這個(gè)場(chǎng)的源之間的關(guān)系。例如，波動(dòng)方程反映時(shí)變電磁場(chǎng)與電荷電流分布之間的關(guān)系，熱傳導(dǎo)方程反映溫度場(chǎng)與熱源之間的關(guān)系，泊松方程反映靜電場(chǎng)與電荷分布的關(guān)系，等等。由于這些場(chǎng)源都可以看作點(diǎn)源的疊加，因此當(dāng)知道一個(gè)點(diǎn)源的場(chǎng)，就可以利用疊加原理求出在同樣邊界條件下的任意源的場(chǎng)。這種處理方法的根據(jù)是，上述方程都是線性偏微分方程，它們的解遵守疊加原理。這種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法稱為格林函數(shù)法，在一定邊界條件下點(diǎn)源的場(chǎng)稱為格林函數(shù)。1第十二章格林函數(shù)解的積分公式

格林函數(shù),又稱點(diǎn)源影響函數(shù),是數(shù)學(xué)物理中的重要概念,代表第一節(jié)泊松方程的格林函數(shù)法我們首先來(lái)介紹格林公式.設(shè)u(r)和v(r)在區(qū)域T及其邊界上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),而在T中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),應(yīng)用矢量分析的高斯定理將曲面積分化為體積積分點(diǎn)源的場(chǎng),可以用疊加的方法計(jì)算任意源產(chǎn)生的場(chǎng).一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng),而知道了2第一格林公式同理兩式相減可得即其中表示沿邊界的外法向求導(dǎo)數(shù)第二格林公式3討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問(wèn)題,泊松方程而第一,第二,第三類邊界條件可以統(tǒng)一表示為其中是區(qū)域邊界上的給定函數(shù),為第一類邊界條件為第二類邊界條件,為第三類邊界條件.其中,泊松方程與第一類邊界條件構(gòu)成的定解問(wèn)題叫第一邊值問(wèn)題或狄利希利問(wèn)題,與第二類邊界條件構(gòu)成的定解解問(wèn)題叫第三邊值問(wèn)題.問(wèn)題叫第二邊值問(wèn)題或諾依曼問(wèn)題,與第三類邊界條件構(gòu)成的定4為研究點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng),需要找一個(gè)能表示點(diǎn)源密度分布的函數(shù),乘v(r,r0),上式乘u(r),然后相減在T中求積分應(yīng)用格林公式將左邊的體積分化為面積分,但在點(diǎn)r=r0,具有的奇異性,不能用,先從區(qū)域T中挖去包含ro的小塊,(半徑為的小球,的邊界為,對(duì)于剩下的體積,格林公式就(*)位于r0點(diǎn)的單位強(qiáng)度的正點(diǎn)源在r產(chǎn)生的場(chǎng),即v(r,r0)滿足方程:脈沖函數(shù)正好描述一個(gè)單位正點(diǎn)量的密度分布函數(shù),以v(r,r0)表示可以應(yīng)用了.5代入挖去的公式(*),且故當(dāng)方程的解的點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng)中的電勢(shì),即可得上式右邊而左邊6則(*)成為:泊松方程的基本積分公式7上述公式將泊松方程的解u用區(qū)域T上的體積分及其邊界上的面在邊界上的值,但是,在第一邊值問(wèn)題中,知道的只是u在邊界上的值,在第二邊值問(wèn)題中,知道的是在邊界的值,在第三邊值問(wèn)題中知道的是u和的線性組合在邊界上的值,都沒(méi)有同時(shí)給出

u和在邊界上的值,不能直接應(yīng)用基本積分公式來(lái)解決邊如果我們能對(duì)v(r,r0)提出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件,就可以解決這個(gè)困難對(duì)于第一邊值問(wèn)題,u在邊界上的值是已知的函數(shù),如果要求v滿足齊次的第一類邊界條件值問(wèn)題.積分表示出來(lái).若要解決邊值問(wèn)題,需要知道u和8則基本積分公式中的一項(xiàng)為零,不需要知道在邊界上的值,滿足的解稱為泊松方程第一邊值問(wèn)題的格林函數(shù),用G(r,r0)表示.則基本積分公式為對(duì)第三邊值問(wèn)題,令v滿足齊次的第三類邊界條件滿足以上邊界條件和方程的解稱為泊松方程第三邊值問(wèn)題的格林函數(shù),用G(r,r0)表示.9G(r,r0),乘得U乘且以G代替v,可得(1)(2)(1)和(2)相減得代入基本積分公式得10對(duì)于第二邊值問(wèn)題,同樣的方法無(wú)法解出,因?yàn)槎ń鈫?wèn)題的解不存在!如果把這個(gè)格林函數(shù)看成溫度分布,泛定方程右邊的函數(shù)表明所包圍區(qū)域T中有一個(gè)點(diǎn)熱源,而邊界條件表明邊界是其中VT是T的體積，對(duì)于二維空間，有這個(gè)問(wèn)題,引入推廣的格林函數(shù):區(qū)域T內(nèi)的問(wèn)題不斷升高,其溫度分布不可能是穩(wěn)定的.為解決絕熱的,這樣,點(diǎn)熱源不停釋放熱量,又不能散發(fā)出去,必然導(dǎo)致11其中AT是T的面積，這樣添加的項(xiàng)是均勻分布的熱匯密度，熱匯在上述兩個(gè)公式中，左邊的r0表示觀測(cè)點(diǎn)在r0，而右邊積分中利用格林函數(shù)的對(duì)稱性，可得r點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)，這里就要用到格林函數(shù)的對(duì)稱性，將r和r0對(duì)調(diào)，的f(r)表示源在r，可是，格林函數(shù)g(r，r0)所代表的是r0的點(diǎn)源在正好吸收了點(diǎn)熱源放出的熱量，正好相等。12第一邊值問(wèn)題解的積分表示式第三邊值問(wèn)題解的積分表示式右邊第一個(gè)積分表示區(qū)域T中分布的源f(r0)在點(diǎn)r產(chǎn)生的場(chǎng)的總和第二個(gè)積分則代表邊界上的狀況對(duì)r點(diǎn)場(chǎng)的影響的總和。兩項(xiàng)積對(duì)于拉普拉斯方程，右邊的只要令上述公式右邊的體積分為零，就可得到拉