第03章 圖像變換

第3章圖像變換1內(nèi)容提要主要介紹圖像處理中常用的二維離散變換的定義、性質(zhì)、實(shí)現(xiàn)方法及應(yīng)用。經(jīng)典變換——離散傅里葉變換（DFT）離散余弦變換（DCT）離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（DWT）K-L變換（KLT）離散小波變換（DWT）及其應(yīng)用2知識(shí)要點(diǎn)

余弦型變換：傅里葉變換和余弦變換。方波型變換：沃爾什-哈達(dá)瑪變換?；谔卣飨蛄康淖儞Q：K-L變換。從哈爾變換、短時(shí)傅里葉變換到小波變換。各種變換的定義和有關(guān)快速算法及實(shí)現(xiàn)方法。33.1二維離散傅里葉變換（DFT）3.1.1二維連續(xù)傅里葉變換定義：設(shè)f(x,y)是獨(dú)立變量x和y

的函數(shù)，且在±∞上絕對(duì)可積，則定義積分

為二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換，并定義

為F(u,v)的反變換。f(x,y)和F(u,v)

為傅里葉變換對(duì)。4【例3.1】求圖3.1所示函數(shù)的傅里葉變換。

解：圖3.1二維信號(hào)f(x,y)其幅度譜為5二維信號(hào)的頻譜圖（a）信號(hào)的頻譜圖（b）圖（a）的灰度圖圖3.2信號(hào)的頻譜圖

63.1.2二維離散傅里葉變換尺寸為M×N的離散圖像函數(shù)的DFT

反變換可以通過(guò)對(duì)F(u,v)求IDFT獲得

7F(u,v)即為f(x,y)的頻譜，通常是復(fù)數(shù)：幅度譜

相位譜

8DFT幅度譜的特點(diǎn)

①頻譜的直流成分說(shuō)明在頻譜原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)。②幅度譜|F(u,v)|關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。③圖像f(x,y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生變化。93.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)1．變換可分離性二維DFT可以用兩個(gè)可分離的一維DFT之積表示：式中，結(jié)論：（1）二維變換可以通過(guò)先進(jìn)行行變換再進(jìn)行列變換的兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。（2）也可以通過(guò)先求列變換再求行變換得到二維傅里葉變換。10圖3.3用兩次一維DFT計(jì)算二維DFT112．周期性、共軛對(duì)稱性及頻譜中心化周期性和共軛對(duì)稱性來(lái)了許多方便。首先來(lái)看一維的情況。設(shè)有一矩形函數(shù),求出它的傅里葉變換：12在進(jìn)行DFT之前用輸入信號(hào)乘以（-1）x，便可以在一個(gè)周期的變換中求得一個(gè)完整的頻譜。（a）幅度譜（b）原點(diǎn)平移后的幅度譜圖3.4頻譜圖13用(-1)x+y

乘以輸入的圖像函數(shù)，則有：原點(diǎn)F(0,0)被設(shè)置在u=M/2和v=N/2上。如果是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)，也稱作頻率譜的直流成分。14（a）原始圖像(b)中心化前的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖3.6圖像頻譜的中心化153．離散卷積定理設(shè)f(x,y)和g(x,y)是大小分別為A×B和C×D的兩個(gè)數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理16【例3.2】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。為了增強(qiáng)顯示效果，用對(duì)數(shù)對(duì)頻譜的幅度進(jìn)行壓縮，然后將頻譜幅度的對(duì)數(shù)值用在0～10之間的值進(jìn)行顯示?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('pout.tif'); %讀入圖像imshow(I); %顯示圖像F1=fft2(I); %計(jì)算二維傅里葉變換figure,imshow(log(abs(F1)+1),[010]);%顯示對(duì)數(shù)變換后的頻譜圖F2=fftshift(F1); %將直流分量移到頻譜圖的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[010]);%顯示對(duì)數(shù)變換后中心化的頻譜圖17

（a）原始圖像（b）圖像的頻譜圖（c）中心化的頻譜圖圖3.7傅里葉變換183.2二維離散余弦變換（DCT）任何實(shí)對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項(xiàng)，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡(jiǎn)化DFT的重要方法。3.2.1一維離散余弦變換將一個(gè)信號(hào)通過(guò)對(duì)折延拓成實(shí)偶函數(shù)，然后進(jìn)行傅里葉變換，我們就可用2N點(diǎn)的DFT來(lái)產(chǎn)生N點(diǎn)的DCT。

1．以x=-1/2為對(duì)稱軸折疊原來(lái)的實(shí)序列f(n)得：19-N-10N-1NN+1f(n)圖3.8延拓示意圖2．以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）fc(2N–n–1)=fc(n)

203．對(duì)0到2N－1的2N個(gè)點(diǎn)的離散周期序列作DFT，得＝＋＝令i＝2N－m－1，則上式為＝＋＝21

保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)＝C(k)C(k)=其中DCT逆變換為223.2.2二維離散余弦變換

正變換：逆變換：233.2.3

二維DCT的應(yīng)用典型應(yīng)用是對(duì)靜止圖像和運(yùn)動(dòng)圖像進(jìn)行性能優(yōu)良的有損數(shù)據(jù)壓縮。在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG、運(yùn)動(dòng)圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG等標(biāo)準(zhǔn)中都使用了8×8塊的離散余弦變換，并將結(jié)果進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。DCT具有很強(qiáng)的能量集中在頻譜的低頻部分的特性，而且當(dāng)信號(hào)具有接近馬爾可夫過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，DCT的去相關(guān)性接近于具有最優(yōu)去相關(guān)性的K-L變換的性能。24【例3.3】應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的DCT變換?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('saturn.tif');subplot(1,2,1),imshow(I);%顯示原圖像C1=dct2(I);%對(duì)圖像做DCT變換C2=fftshift(F1);%將直流分量移到頻譜圖的中心subplot(1,2,2),imshow(log(abs(C2))+1,[010]); %顯示DCT變換結(jié)果25圖3.10離散余弦變換

（a）原始圖像（b）DCT系數(shù)263.3二維離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（DHT）前面的變換是余弦型變換，基底函數(shù)選用的是余弦型。圖像處理中有些變換常常選用方波信號(hào)或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。函數(shù)有三種排列或編號(hào)方式，以哈達(dá)瑪排列最便于快速計(jì)算。采用哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)進(jìn)行的變換稱為沃爾什-哈達(dá)瑪變換，簡(jiǎn)稱WHT或直稱哈達(dá)瑪變換。273.3.1

沃爾什變換沃爾什函數(shù)系函數(shù)值僅取+1和–1兩值的非正弦型的標(biāo)準(zhǔn)正交完備函數(shù)系。由于二值正交函數(shù)與數(shù)字邏輯中的兩個(gè)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，所以非常便于計(jì)算機(jī)和數(shù)字信號(hào)處理器運(yùn)算。28圖3.11沃爾什函數(shù)系的前10個(gè)函數(shù)29沃爾什函數(shù)有三種排列或編號(hào)方式列率排列、佩利（Paley）排列和哈達(dá)瑪（Hadamard）排列。沃爾什變換的排列方式為列率排列。與正弦波頻率相對(duì)應(yīng)，非正弦波形可用列率描述。列率表示某種函數(shù)在單位區(qū)間上函數(shù)值為零的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之半。30一維沃爾什變換核g(x,u)設(shè)N=2n，變換核為bk(z)代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。核是一個(gè)對(duì)稱陣列，其行和列是正交的。31一維沃爾什變換正變換：逆變換：32二維沃爾什變換正變換：逆變換：33【例3.5】求圖像f的DWT，并反求f?！窘狻縒=GfG，采用MATLAB程序求解W。f=[2552;3333;3333;2551];G=[1111;11-1-1;1-1-11;1-11-1];W=(1/16)*G*f*G34運(yùn)行結(jié)果為W=3.1875 0.0625-0.8125 0.06250.0625-0.06250.0625-0.06250.1875 0.0625-0.8125 0.06250.0625-0.06250.0625-0.062535反求f的程序如下：W=[3.18750.0625-0.81250.0625;0.0625-0.06250.0625-0.0625;0.18750.0625-0.81250.0625;0.0625-0.06250.0625-0.0625]G=[1111;11-1-1;1-1-11;1-11-1];f=G*W*G36運(yùn)行結(jié)果為f=2552333333332551373.3.2哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪矩陣：元素僅由＋1和－1組成的正交方陣。正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或者說(shuō)它們對(duì)應(yīng)元素之和為零。哈達(dá)瑪變換要求圖像的大小為N＝2n

。一維哈達(dá)瑪變換核為其中，bk(z)

代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。38一維、二維哈達(dá)瑪正、逆變換一維哈達(dá)瑪正變換一維哈達(dá)瑪逆變換二維哈達(dá)瑪正變換二維哈達(dá)瑪逆變換39二維哈達(dá)瑪正、逆變換具有相同形式正反變換都可通過(guò)兩個(gè)一維變換實(shí)現(xiàn)。高階哈達(dá)瑪矩陣可以通過(guò)如下方法求得：N＝8的哈達(dá)瑪矩陣為403.4卡胡南-列夫變換（K-L變換）Kahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。優(yōu)點(diǎn)：能夠完全去除原信號(hào)中的相關(guān)性，因而具有非常重要的理論意義。缺點(diǎn)：基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計(jì)算量很大。41設(shè)原圖像為X，采用KLT恢復(fù)的圖像，則和原圖像X具有最小的均方誤差ε，即對(duì)第i次獲得的圖像fi(x,y)可以用N2維向量Xi表示：42Cx是一個(gè)N2×N2的實(shí)對(duì)稱矩陣。令i和ai（i=1,2,…,N2）分別為Cx的第i個(gè)特征值和特征向量，其特征向量構(gòu)成的矩陣是一個(gè)正交矩陣43

ATCxA=A?1CxA=

（3.51）為Cx的特征值構(gòu)成的對(duì)角線矩陣。K-L變換選取一個(gè)上述的正交變換A，使得變換后的圖像Y滿足

Y=A(X

－

mx)

（3.52）優(yōu)點(diǎn)：能夠完全去除原信號(hào)中的相關(guān)性，因而具有重要的理論意義。缺點(diǎn)：計(jì)算量很大。443.5二維離散小波變換小波分析是20世紀(jì)80年代開(kāi)始逐漸發(fā)展成熟的應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。主要特點(diǎn)：對(duì)時(shí)間（二維信號(hào)為空間）-頻率的雙重分析和多分辨率分析能力。被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，在信號(hào)和圖像處理等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。453.5.1

小波分析的思想來(lái)源哈爾提出了一種正交歸一化函數(shù)系，以其作為正交規(guī)范基的哈爾變換收斂均勻而迅速，在圖像信息壓縮和特征編碼等方面獲得應(yīng)用。哈爾變換特點(diǎn)：（1）具有尺度和位移兩個(gè)特性；（2）變換范圍窄；（3）變換特性與圖像邊界的特性十分接近。46圖3.12Haar函數(shù)系的前幾個(gè)函數(shù)波形47窗口傅里葉變換（WFT）信號(hào)f(x)的窗口傅里葉變換定義為WFT的重構(gòu)公式為常見(jiàn)的窗函數(shù)具有相對(duì)短的時(shí)間窗寬，例如可選為高斯函數(shù)，所以WFT也稱為短時(shí)傅里葉變換（

STFT）。48WFT的不足窗口傅里葉變換是一種大小及形狀均固定的時(shí)頻化分析。實(shí)際信號(hào)進(jìn)行時(shí)間和頻率分析時(shí)，分辨率往往是相對(duì)的，即反映信號(hào)高頻成分需要較高的時(shí)間分辨率，因此窗函數(shù)寬度應(yīng)該窄一些，而反映低頻成分則需要較高的頻率分辨率，窗函數(shù)寬度應(yīng)該寬一些。窗口傅里葉變換不能滿足上述要求。493.5.2

連續(xù)小波變換小波變換的窗口具有大?。娣e）固定但形狀可改變的特點(diǎn)，能滿足上述時(shí)-頻局部化分析的要求。按如下方式生成的函數(shù)族為連續(xù)小波（分析小波）：

(x)稱為基本小波或母波a稱為伸縮因子，b為平移因子。母波可由平移與尺度變換構(gòu)造小波基函數(shù)。

50圖3.13小波函數(shù)的平移與擴(kuò)展51信號(hào)的連續(xù)小波變換正變換：反變換：523.5.3

一維離散小波變換把連續(xù)小波變換離散化更有利于實(shí)際應(yīng)用。對(duì)a和b按如下規(guī)律取樣：其中；；，得離散小波：離散小波變換和逆變換為533.5.4

二維離散小波變換信號(hào)f(x,y)的連續(xù)小波變換Wf

(a,bx,by)為由Wf

(a,bx,by)重構(gòu)f(x,y)的小波逆變換為定義二維離散小波變換逼近，并采用Mallat二維快速算法求解。與DFT類似，可分離二維小波變換最終可轉(zhuǎn)化為兩次一維小波變換。54圖3.14可分離二維小波變換的頻率域分解（a）1層分解（b）2層分解（c）3層分解55重構(gòu)算法按相反的步驟進(jìn)行這樣就構(gòu)成了2DDWT的金字塔結(jié)構(gòu)。由于小波變換的理論和算法比較復(fù)雜，從應(yīng)用的角度看，讀者可以將注意力集中在用MATLAB對(duì)圖像進(jìn)行小波變換和重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中。56【例3.6】對(duì)圖像實(shí)現(xiàn)小波變換bior3.7是雙正交樣條小波對(duì)應(yīng)的濾波器。圖像：wbarb.mat?！窘狻縈ATLAB程序如下：loadwbarb;% %從磁盤調(diào)入磁盤文件wbarb.matimage(X); %將矩陣X顯示為圖像.colormap(map); %配合函數(shù)image()畫出連續(xù)的灰度圖[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'bior3.7');%對(duì)X進(jìn)行DWT，bior3.7是雙正交樣條小波對(duì)應(yīng)的濾波器A1=upcoef2('a',cA1,'bior3.7',1);H1=upcoef2('h',cV1,'bior3.7',1);V1=upcoef2('v',cV1,'bior3.7',1);D1=upcoef2('d',cD1,'bior3.7