第11章能量方法

第十一章能量方法§11–1桿件變形能的普遍表計(jì)算達(dá)式§11–2變形能的普通表達(dá)式§11–3互等定理§11–4卡式定理§11–5用能量法解超靜定§11–6單位載荷法莫爾積分§11–7圖乘法2008.7.16§11–1桿件變形能的普遍表計(jì)算達(dá)式1、彈性應(yīng)變能：桿件發(fā)生彈性變形，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)樽冃文苜A存于桿內(nèi)，這種能成為應(yīng)變能（StrainEnergy）用“Vε

”表示。2、功能原理

——彈性范圍內(nèi)，構(gòu)件受靜載外力產(chǎn)生變形的過程中，能量守恒，即：外力功=變形能略去動(dòng)能及能量損耗一、概論2008.7.16二、

拉壓桿的應(yīng)變能計(jì)算：內(nèi)力為分段常量時(shí)FN(x)dxx不計(jì)能量損耗時(shí)，外力功等應(yīng)變能。2008.7.162、

拉壓桿的比能vε：

單位體積內(nèi)的應(yīng)變能。FN(x)dxxdxFN(x)FN(x)2008.7.16解：方法2：能量法：（外力功等于變形能）（1）求鋼索內(nèi)力：以ABD為對(duì)象：例:設(shè)橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為

76.36mm2的鋼索繞過無(wú)摩擦的定滑輪。設(shè)

P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和

C點(diǎn)的垂直位移。設(shè)剛索的E=177GPa。800400400CPAB60°60°PABCDTTYAXA2008.7.16（2)鋼索的應(yīng)力為：（3)C點(diǎn)位移為：800400400CPAB60°60°能量法：利用應(yīng)變能的概念解決與結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件的彈性變形有關(guān)的問題，這種方法稱為能量法。外載看成緩慢加載2008.7.161.純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度對(duì)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體(圖a)，為計(jì)算其上的外力所作功dW

可使左側(cè)面不動(dòng)，此時(shí)的切應(yīng)力τ僅發(fā)生在豎直平面內(nèi)而只有右側(cè)面上的外力τ

dydz在相應(yīng)的位移γdx上作功。三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能2008.7.162、應(yīng)變比能acddxbdy′′dzzxy單元體微功：2008.7.16在扭矩T為常量時(shí)，長(zhǎng)度為l的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為

3、等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能由可知，亦有2008.7.16當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)，整個(gè)桿內(nèi)蓄積的應(yīng)變能為

在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿在扭矩T為常量，其長(zhǎng)度為l范圍內(nèi)的應(yīng)變能亦可如下求得：2008.7.16例1圖示AB、CD

為等直圓桿，其扭轉(zhuǎn)剛度均為GIp，BC為剛性塊，

D截面處作用有外力偶矩Me。試求：（1）桿系內(nèi)的應(yīng)變能；（2）利用外力偶矩所作功在數(shù)值上等于桿系內(nèi)的應(yīng)變能求D截面的扭轉(zhuǎn)角jD。ABCDMel/2l2008.7.16T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.靜力平衡求扭矩2.桿系應(yīng)變能其轉(zhuǎn)向與Me

相同。ABCDMe3.求D截面的扭轉(zhuǎn)角

jD2008.7.16例2試推導(dǎo)密圈圓柱螺旋彈簧(螺旋線升角a<

5°)受軸向壓力(拉力)F作用時(shí)，簧桿橫截面上應(yīng)力和彈簧縮短(伸長(zhǎng))變形的近似計(jì)算公式。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)n，簧桿材料的切變模量G。2008.7.16解：1.求簧桿橫截面上的內(nèi)力

對(duì)于密圈螺旋彈簧，可認(rèn)為簧桿的橫截面就在包含外力F作用的彈簧軸線所在縱向平面內(nèi)(如圖)，于是有：剪力FS=F扭矩T=FR2008.7.162.求簧桿橫截面上的應(yīng)力簧桿橫截面上與剪力FS相應(yīng)的切應(yīng)力通常遠(yuǎn)小于與扭矩T=FR相應(yīng)的切應(yīng)力，故在求近似解時(shí)將前者略去。又，在通常情況下，簧圈直徑D=2R與簧桿直徑d的比值D/d較大，故在求簧桿橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)，略去簧圈的曲率影響。于是有2008.7.163.求彈簧的縮短(伸長(zhǎng))變形當(dāng)彈簧所受外力F不超過一定限度而簧桿橫截面上的最大切應(yīng)力tmax不超過簧桿材料的剪切比例極限tp時(shí)，變形Δ與外力F成線性關(guān)系(如圖)。于是有外力所作功：2008.7.16至于簧桿內(nèi)的應(yīng)變能Vε，如近似認(rèn)為簧桿長(zhǎng)度l=2pRn，且簧桿橫截面上只有扭矩T=FR，則根據(jù)能量守恒原理W=Vε，即得密圈圓柱螺旋彈簧的縮短(伸長(zhǎng))變形近似計(jì)算公式：如令，則有，式中k為彈簧的剛度系數(shù)(N/m)。2008.7.16等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲時(shí)(圖a)，其曲率為常量，撓曲線為一圓弧，梁的兩個(gè)端面在梁彎曲后對(duì)應(yīng)的圓心角為四、梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能(a)2008.7.16(b)它在數(shù)值上就等于梁在純彎曲時(shí)的應(yīng)變能：將代入上式可得外力功W:工程中常用的梁其剪切變形對(duì)位移的影響通常很小，可略去不計(jì)。梁在橫力彎曲時(shí)其長(zhǎng)為dx的微段內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為2008.7.16從而全梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能為2008.7.16

例題求圖示等直梁的彎曲應(yīng)變能Ve，并利用功能原理求自由端A的撓度wA。2008.7.16解：梁的彎矩表達(dá)式為M(x)=Fx，于是得彎曲應(yīng)變能自由端的集中力由零增加到最終值F的過程中所作的功為根據(jù)功能原理，有W=Ve，即從而得所求得的wA為正值，表示wA的指向與集中力F的指向相同，即向上。2008.7.16§11–2變形能的普通表達(dá)式(a)

軸向拉（壓）桿2008.7.16

(b)

扭轉(zhuǎn)2008.7.16(c)彎曲純彎曲

2008.7.16彎曲應(yīng)變能各種基本變形的應(yīng)變能統(tǒng)一表達(dá)式：MMdMMdx橫力彎曲對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁來(lái)說一般可略去剪切應(yīng)變能2008.7.16也可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成式中，F(xiàn)為廣義力，可以代表一個(gè)力,一個(gè)力偶,一對(duì)力或一對(duì)力偶等。D為廣義位移，可以代表一個(gè)線位移,一個(gè)角位移,一對(duì)線位移或一對(duì)角位移等。拉壓扭轉(zhuǎn)彎曲內(nèi)力FNTM剛度EAGIPEI2008.7.161.構(gòu)件上有一組廣義力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,則（）（）CwCFEIABMel/2l/2qA,2008.7.16

Fi

為廣義力，Di

為Fi

的作用點(diǎn)沿Fi

方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。

2.組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角小變形時(shí)不計(jì)FS

產(chǎn)生的應(yīng)變能，F(xiàn)N

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角有n個(gè)廣義力同時(shí)作用時(shí)2008.7.16對(duì)于dx

微段，F(xiàn)N(x),T(x),M(x)

均為外力。略去高階微量后，dx段的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為2008.7.16(a)由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。小變形時(shí)，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。

3.應(yīng)變能的特點(diǎn):EAF2F1ab例F1F2Me2008.7.16應(yīng)變能與內(nèi)力（或載荷）不是線性關(guān)系，故多個(gè)載荷作用時(shí)，求應(yīng)變能不可隨意用疊加法。注意組合變形分解為各基本變形后（互不偶合），分別計(jì)算并求和：變形能與加載次序無(wú)關(guān)；相互獨(dú)立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加。2008.7.16(b)

應(yīng)變能的大小與加載順序無(wú)關(guān)（能量守恒）

F

和Me

同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值——簡(jiǎn)單加載。在線性彈性范圍時(shí)，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。上圖中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)2008.7.16先加F,再加Me

(圖b，c)式中，為力F在由Me產(chǎn)生的C點(diǎn)處的撓度上作功，所以無(wú)系數(shù)。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),還可以先加Me

，再加F，得到的應(yīng)變能和以上的值相同。2008.7.16FSMNMTAAFNBjT例1圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力P的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）①求內(nèi)力AFR2008.7.16③外力功等于應(yīng)變能②變形能：2008.7.16例題1圖示簡(jiǎn)支梁，在橫截面C處承受載荷F作用。試計(jì)算梁的應(yīng)變能與截面C的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。應(yīng)變能計(jì)算撓度計(jì)算2008.7.16例題2外伸梁ABC的自由端作用有鉛直荷載F，試求C端撓度。應(yīng)變能計(jì)算撓度計(jì)算2008.7.16

Ⅱ.余能圖a為非線性體彈性體的受拉桿，其F－D和s－e關(guān)系如圖b,c

所示。（1）余功的定義為2008.7.16Wc只有幾何圖形上的意義，無(wú)物理概念.FF1WcaWD1Do(d)2008.7.16(2)余能:σσ2008.7.16（3）線彈性體（圖e）

Ve

和Vc

數(shù)值相等，但概念和計(jì)算方法不同，即Ve

=f(D),Vc

=

f(F)。圖e2008.7.16

例圖a中兩桿的長(zhǎng)度均為l,橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時(shí)的s－e關(guān)系如圖b

所示。求結(jié)構(gòu)的余能。解：該題為物理非線性問題，需用求Vc。

由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程，得二桿的軸力為應(yīng)力為2008.7.16余能密度為結(jié)構(gòu)的余能為得（n>1）由2008.7.16Fi

——廣義力Δi——廣義位移各力同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡(jiǎn)單加載）。Ⅰ.卡氏第一定理設(shè)各力和相應(yīng)位移的瞬時(shí)值分別為fi,di，各力在其相應(yīng)的位移上做功,并注意到材料為非線性彈性體，梁的應(yīng)變能為為位移狀態(tài)函數(shù)?！?1–4卡式定理非線性彈性體2008.7.16假設(shè)與第i個(gè)荷載Fi相應(yīng)的位移Di有一微小位移增量dDi，

而與其余荷載相應(yīng)的位移,以及各荷載均保持不變。外力功和應(yīng)變能的增量分別為（dDi不是由Fi產(chǎn)生的，F(xiàn)i

dDi為常力做的功

）（a）(b)式中，為應(yīng)變能對(duì)位移的變化率。2008.7.16（3－11）式為卡氏第一定理。它說明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。以上推導(dǎo)中并沒有涉及到梁的具體性質(zhì)，故（3－11）適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。對(duì)于線彈性體也必須把Ve寫成給定位移的函數(shù)形式。（3－11）得令2008.7.16

例3－8

圖a所示結(jié)構(gòu)中，AB,BC桿中的橫截面面積均為A，彈性模量均為E。兩桿處于線彈性范圍內(nèi)。試用卡氏第一定理，求B點(diǎn)的水平位移D1和鉛垂位移D2

。2008.7.16

解：卡氏第一定理要求把應(yīng)變能寫成位移D1和D2的函數(shù)，D1和D2是由AB,BC桿的變形量dAB,dBC所引起的。首先分析dAB,dBC和D1和D2的幾何關(guān)系。dAB=D1

，d

BC=A1cos45?=設(shè)B點(diǎn)只發(fā)生鉛垂位移D2（圖c），由圖可見設(shè)B點(diǎn)只發(fā)生水平位移D1（圖b），由圖可見2008.7.16D1和D2同時(shí)發(fā)生時(shí)，則有,（1）,由于是線彈性問題，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為（2）2008.7.16（3）（4）聯(lián)立求解（3）,（4），得可以驗(yàn)證（3）,（4）式相當(dāng)于平衡方程。（→）,（↓）由卡氏第一定理，得2008.7.16Ⅱ.卡氏第二定理圖示為非線性彈性桿，F(xiàn)i為廣義力，Di為廣義位移。各力按簡(jiǎn)單加載方式作用在梁上。設(shè)加載過程中各位移和相應(yīng)力的瞬時(shí)值分別為di，fi。梁的余能為（3－12）表明(1)余能定理2008.7.16令上式稱為余能定理?？捎糜谇蠼夥蔷€性彈性結(jié)構(gòu)與Fi相應(yīng)的位移。(3－13)得設(shè)第i個(gè)力Fi有一個(gè)增量dFi，其余各力均保持不變，各位移均不變。余功和余能的改變量分別是2008.7.16

例3－9

圖a中兩桿的長(zhǎng)度均為l，橫截面面積均為A，材料在單軸拉伸時(shí)的s－

e的關(guān)系如圖b所示。試用余能定理求結(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移D1。2008.7.16

解：在例3－5中，已求出結(jié)構(gòu)的余能為由余能定理得設(shè)BC,CD

桿的伸長(zhǎng)量為d，容易驗(yàn)上式的，即為變形的幾何關(guān)系。2008.7.16由平衡方程得兩桿的伸長(zhǎng)量為則BC,CD

桿橫截面上的的應(yīng)力為故2008.7.16(2)卡氏第一定理和余能定理的比較

卡氏第一定理

余能定理Di→Di+dDi，其它位移均不變，所有的力均不變。Fi→Fi+dFi，其它力均不變，所有的位移均不變。2008.7.16

卡氏第一定理

余能定理

續(xù)表(平衡方程)（變形的幾何關(guān)系）適用于非線性和線性彈性體適用于非線性和線性彈性體2008.7.16(3)卡氏第二定理當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性體時(shí)，由于力F和位移D成正比，Vc在數(shù)值上等于應(yīng)變能Ve（如圖）。若把用力表示，即（3－13）式可改寫成（3－14）上式稱為卡氏第二定理，它是余能定理在線彈性情況下的特殊情況。僅適用于線彈性體，它將是研究的重點(diǎn)。VcF1FD

D1

a(e)O2008.7.16它表明，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于作用其上的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移。注意:組合變形（不計(jì)剪力的影響）時(shí)也可以寫成用該式計(jì)算時(shí)，可減少計(jì)算工作量。2008.7.16卡氏定理卡氏一定理:余能定理:在線彈性桿件中卡氏二定理:2008.7.16例題3圖示桁架，節(jié)點(diǎn)B承受載荷F作用。試用卡氏第二定理計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移。已知兩桿各截面的抗拉壓剛度均為EA。應(yīng)變能計(jì)算BFL2008.7.16例題4圖示簡(jiǎn)支梁AB，承受均布荷載q作用。試用卡氏第二定理計(jì)算橫截面B的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度EI為常值。2008.7.16

彎曲剛度為EI的剛架，在自由端C承受集中荷載F如圖示。剛架材料為線彈性的，不計(jì)軸力和剪力的影響。試用卡氏第二定理求自由端C的水平和鉛垂位移。LLABCFBC段AB段x2例題52008.7.16

例3－10

圖示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求梁A端的撓度wA。

解：因?yàn)锳截面處無(wú)與wA相應(yīng)的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虛加一個(gè)與wA相應(yīng)的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即2008.7.16梁的彎矩方程以及對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分別為利用卡氏第二定理，得（和假設(shè)的F的指向一致）這種虛加F力的方法，也稱為附加力法。(↓)這是因?yàn)闉閚個(gè)獨(dú)立廣義力的二次齊次式,其中

也可以作為一個(gè)廣義力。2008.7.16

例3－11

圖

a所示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI。用卡氏第二定理求中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。2008.7.16在中間鉸B兩側(cè)截面處各加一個(gè)外力偶矩MB

，并求出在一對(duì)外力偶MB及q共同作用下梁的支反力（圖b）。解：B截面兩側(cè)的相對(duì)轉(zhuǎn)角，就是與一對(duì)外力偶MB

相應(yīng)的相對(duì)角位位移，即2008.7.16（0<x≤l）梁的彎矩方程及其對(duì)MB的偏導(dǎo)數(shù)分別為AB段2008.7.16中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為結(jié)果為正，表示廣義位移的轉(zhuǎn)向和MB的轉(zhuǎn)向一致。()（0≤x≤

l），BC段2008.7.16

例3－12

圖a所示為一等截面開口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材料為線彈性。用卡氏第二定理求圓環(huán)開口處的張開量D。不計(jì)剪力和軸力的影響。2008.7.16圓環(huán)開口處的張量就是和兩個(gè)F力相對(duì)應(yīng)的相對(duì)線位移，即（←→）用

角表示圓環(huán)橫截面的位置，并規(guī)定使圓環(huán)內(nèi)側(cè)受拉時(shí)彎矩為正，則彎矩方程及其對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分別為解：，2008.7.16結(jié)果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。（）←→利用對(duì)稱性，由卡氏第二定理，得2008.7.16

例3－13

圖a所示Z字型平面剛架中，各桿的彎曲剛度均為EI，材料為線彈性，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響。用卡氏第二定理求A截面的水平位移DAx

及鉛垂位移DAy和A截面的轉(zhuǎn)角qA。2008.7.16

解：在A截面處虛加Fx

，MA（圖b），則各段的彎矩方程及其對(duì)各力的偏導(dǎo)數(shù)分別為M(x)=-Fx-MA(0≤

x≤3a)，，AB段2008.7.16B

(c)M(x)F3FaxqABC段將力F向B截面簡(jiǎn)化，得到作用于B的豎直力F和力偶矩3Fa，F(xiàn)x和F在垂直于BC

桿方向上的力分別為Fxsin

q，F(xiàn)cos

q

，指向如圖c中虛線所示。2008.7.16B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，2008.7.16M(x)=Fx4a－Fx－MA

(0

≤

x≤

3a)CD段，，由卡氏第二定理可得（←）2008.7.16（↓）（）2008.7.16

例

懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為w1

和w2。試證明：w11FF2w2

證明：設(shè)作用在1,2兩截面的外力分別為F1和F2，且F1

=F

,F2＝F，則梁的應(yīng)變能為Ve=Ve(F1,F2)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有2008.7.16因此，若結(jié)構(gòu)上有幾個(gè)外力的字符相同時(shí)，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點(diǎn)沿該力方向的位移時(shí)，應(yīng)將該力與其它力區(qū)分開。w11FF2w22008.7.16

例

圖示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求A截面的鉛垂位移DAy。

解：由于剛架上A,C

截面的外力均為F，求A截面的鉛垂位移時(shí)，應(yīng)將A處的力F和C處的力F區(qū)別開（圖b），在應(yīng)用卡氏第二定理后，令FA=F。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y22008.7.16即

AB段（0≤x≤l）

M(x)=?FAx,各段的彎矩方程及其對(duì)FA的偏導(dǎo)數(shù)分別為

BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=?FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y22008.7.16

CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=?FAl?Fy2,令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得（↓）2008.7.16

例圖示各桿的直徑均為d，材料的彈性常數(shù)G=0.4E。試用卡氏第二定理求A端的鉛垂位移（不計(jì)剪力對(duì)位移的影響）。解：AB段的彎矩方程及其對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分別為lCBAFlxxzyO（0≤x≤l），2008.7.16（0≤y≤l）

A端的鉛垂位移為，，（↓）

BC段的彎矩和扭矩方程及其對(duì)F的偏導(dǎo)數(shù)分別為2008.7.16Ⅰ.

卡氏第一定理（）

例

各桿的彈性模量均為E，橫截面面積均為A。試用卡氏第一定理求各桿的軸力?！?1－5用能量法解超靜定系統(tǒng)2008.7.16(2)

解：設(shè)1,2,3

桿的軸力分別為,和（圖b），相應(yīng)的位移為D1,D2和D3（圖c）。由對(duì)稱性可知，，D1＝D2。由圖c可知：

結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為(1)若求出D3，可由（1）求出D1（D2）。再由胡克定律求出軸力。以D3為基本未知量，該題為一次超靜定。2008.7.16解得由胡克定律得將（4）式代入（1）得(4)(3)得由，2008.7.16

以位移作為基本未知量求解超靜定問題的方法，稱為位移法。（1）式為變形的幾何方程，（3）式為平衡方程。求軸力時(shí)又應(yīng)用了物理方程。故位移法仍然是綜合考慮了平衡方程,幾何關(guān)系和物理方程來(lái)求解超靜定問題的。2008.7.16解：若以各桿的軸力為未知量，該題為（k-2）次超靜定問題。若以A點(diǎn)的水平位移Dx和鉛垂位移Dy為未知量，各桿的位移均可用Dx,Dy表示，再由胡克定律求出軸力，該題為二次超靜定問題。

例圖a中k≥3。各桿的彈性模量均為E，橫截面面積分別為A1,A2

…，Ak

。試用卡氏第一定理求各桿的軸力。2008.7.16第

i根桿的長(zhǎng)度為（1）由圖b可知，第i根桿的伸長(zhǎng)量為（2）結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為（3）2008.7.16由，得（5）聯(lián)解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根桿得軸力（4）2008.7.16Ⅱ.

余能定理（）

例三桿的材料相同，s=Ke1/n(n>1)，橫截面面積均為A，1,2兩桿長(zhǎng)度為l。用余能定理求各桿的軸力。2008.7.16解：以鉸鏈D

的支反力X

為多余未知力，基本靜定系如圖b

所示，F(xiàn),X看作基本靜定系上獨(dú)立的外力，所以Vc=Vc

(F,X)

（不能含有其它未知力）因?yàn)殂q鏈D

處沿鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有由該式求出X

后，再利用平衡方程求各桿的軸力。2008.7.16(1)（軸力均用F

和X

表示）由平衡方程得各桿的軸力分別為各桿的應(yīng)力分別為(2)(3)由得2008.7.16結(jié)構(gòu)的余能為(4)三桿的余能密度分別為2008.7.16（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示變形的幾何關(guān)系。由，得將X值代入（1），得

以力為基本未知量解超靜定問題的方法，稱為力法。2008.7.16Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理來(lái)解超靜定問題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載及選定的多余未知力作為基本靜定系上獨(dú)立的外力，應(yīng)變能只能為荷載及選定的多余未知力的函數(shù)，即變形幾何關(guān)系為，Di為和

的相應(yīng)位移，它是和約束情況有關(guān)的已知量。2008.7.16

例剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求支反力。CABqll(a)2008.7.16解：該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X為多余未知力，基本靜定系如圖b

所示。由于,但是在中，出現(xiàn)(Ve

也將出現(xiàn))，必須把CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得2008.7.16CB,AB段的彎矩方程及其對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)分別為，由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql2008.7.16解得（↓）和圖示方向相反。（↑）（←）（←）由平衡條件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql2008.7.16

例半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響，用卡氏第二定理求對(duì)稱截面上的內(nèi)力。2008.7.16

解：沿半圓環(huán)的對(duì)稱截面處截開，取兩個(gè)1/4圓環(huán)為基本靜定系（圖b)，多余未知力為軸力X1,彎矩X2,剪力X3。該題為三次超靜定。(a)

但由于結(jié)構(gòu)與荷載均是對(duì)稱的，內(nèi)力也應(yīng)該是對(duì)稱的，但X3是反對(duì)稱的，故X3＝0，問題簡(jiǎn)化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為F，X1，X2的函數(shù)，即2008.7.16與X1，X2相應(yīng)的位移條件分別為兩截面的相對(duì)線位移和相對(duì)角位移為零，即(b)彎矩方程及其對(duì)X1，X2的偏導(dǎo)數(shù)分別為(c)2008.7.16注意到基本靜定系為兩個(gè)1/4圓環(huán)，(b)式成為(d)(e)將(c)式代入(d)和(e)式，可解得2008.7.16求任意點(diǎn)A的位移fA。一、定理的證明：能量方法aA圖fAq(x)圖c

A0P=1q(x)fA圖b

A=1P0§11–6莫爾定理(單位力法)2008.7.16

莫爾定理(單位力法)二、普遍形式的莫爾定理能量方法2008.7.16三、使用莫爾定理的注意事項(xiàng)：④M0(x)與M(x)的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立。⑤莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)。②M0——去掉主動(dòng)力，在所求廣義位移

點(diǎn)，沿所求

廣義位移

的方向加廣義單位力

時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力。①M(fèi)(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力。③所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。能量方法2008.7.16例3

用能量法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x2008.7.16③變形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx2008.7.16④求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）

能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1

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