第4章 梁的彎曲

機械設(shè)計基礎(chǔ)

FundamentalsofMachineDesign

劉建軍廣東工業(yè)大學機電學院電話MAIL：teach_jj@163.com§4-1

彎曲的概念§4-2梁的彎曲應力§4-3

彎曲正應力和強度計算§4-4

提高梁彎曲強度的措施§4-5梁的剛度條件§4-6組合變形時的強度計算第4章梁的彎曲重點：熟練掌握梁剪力、彎矩的計算及剪力圖、彎矩圖的繪制。掌握彎曲正應力強度的計算。難點：梁的內(nèi)力分析。梁最大彎矩的確定。第4章梁的彎曲外伸梁

1.彎曲的概念簡支梁懸臂梁§4-1

彎曲的概念一、平面彎曲的概念受力特點：外力垂直于桿的軸線，或位于其軸線所在平面內(nèi)的外力偶作用。變形特點：軸線由直線變?yōu)榍€，稱彎曲變形;發(fā)生彎曲或以彎曲為主要變形的構(gòu)件，通常稱為梁。

2.平面彎曲§4-1

彎曲的概念一、平面彎曲的概念

1.梁的內(nèi)力——彎矩和剪力

取左段為研究對象：ABxaF1FBFAF2簡支梁(一端固定鉸支座，一端活動鉸支座)mmxyFAF1FQM剪力C若把左段上所有外力和內(nèi)力對截面mm的形心C取矩，應滿足力矩平衡，這就要求在截面mm上有一內(nèi)力偶矩M彎矩§4-2

梁的彎曲內(nèi)力一、梁的內(nèi)力、彎矩圖

1.梁的內(nèi)力——彎矩和剪力

取左段為研究對象：ABxaF1FBFAF2mmxyFAF1FQMFQ’M’FBF2剪力C彎矩取右段為研究對象：剪力FQ’、彎矩M’§4-2

梁的彎曲內(nèi)力一、梁的內(nèi)力、彎矩圖

1.梁的內(nèi)力——彎矩和剪力

ABxaF1FBFAF2mmxyFAF1FQMFQ’M’FBF2C規(guī)定：剪力FQ的正負FQFQ(+)(-)FQFQ左段對右段：向上相對錯動為正向下相對錯動為負§4-2

梁的彎曲內(nèi)力一、梁的內(nèi)力、彎矩圖

1.梁的內(nèi)力——彎矩和剪力

ABxaF1FBFAF2mmxyFAF1FQMFQ’M’FBF2C規(guī)定：彎矩M的正負(+)(-)凸向下為正凸向上為負mmmm§4-2

梁的彎曲內(nèi)力一、梁的內(nèi)力、彎矩圖例求簡支梁n-n截面的彎矩解:(1)求支反力

AB1.5mF=10kNFBFAnnFAFQMFQ’M’FBF2.5m0.8m(2)求彎矩取左段為研究對象CC或:取右段為研究對象例求簡支梁n-n截面的彎矩解:(1)求支反力

AB1.5mF=10kNFBFAnnFAFQMFQ’M’FBF2.5m0.8m(2)求彎矩取左段為研究對象CC或:取右段為研究對象凸向下為正凸向上為負截面左側(cè)外力對截面形心的力矩順時針轉(zhuǎn)向取正值，逆時針轉(zhuǎn)向取負值；截面右側(cè)外力對截面形心的力矩逆時針轉(zhuǎn)向取正值，順時針轉(zhuǎn)向取負值。

1.梁的內(nèi)力——彎矩和剪力

2.彎矩圖

彎矩方程

例

(增)寫出彎矩方程,并畫出彎矩圖

解:AC段:

CB段:AB1.5mF=10kNFBFA2.5mxxxMO9.375+§4-2

梁的彎曲內(nèi)力一、梁的內(nèi)力、彎矩圖例4-1圖示簡支梁AB,在梁的全長受均布載荷q的作用,試畫出梁的彎矩圖解:(1)求支反力ABFBFAq(2)列彎矩方程lx(3)畫彎矩圖x=0和x=l兩處,M=0二次方程，拋物線,x=?,M→max+xMO例4-2圖示為一長度為l的簡支梁,在C點處受集中力F的作用,試畫出梁的彎矩圖解:(1)求支反力ABFBFA(2)列彎矩方程lx1(3)畫彎矩圖FxMOabCx2+例4-3圖示為一長度為l的簡支梁,在C點處受集中力偶MO的作用,試畫出梁的彎矩圖解:(1)求支反力

ABFBFA(2)列彎矩方程lx(3)畫彎矩圖xMOabCMOAC段:CB段:C點左側(cè)截面C點右側(cè)截面或+-彎矩突變課堂練習一圖示懸臂梁,在B點處受集中力P的作用,試畫出梁的彎矩圖。解:(1)求支反力PlFAMAx(2)列彎矩方程(3)畫彎矩圖xOM-課堂練習二試列圖示梁的彎矩方程，作彎矩圖，并求出。(2)列彎矩方程AB段：BC段：(3)畫彎矩圖解:(1)求支反力ABFBFA20cmCM0=1000N·cm10cmxM(N·cm)O+1000注意BC段剪力=0彎矩M=常量純彎曲課堂練習三試列圖示梁的彎矩方程，作彎矩圖。(2)列彎矩方程AC段：CD段：DB段：(3)畫彎矩圖解:(1)求支反力xMO注意CD段:剪力Q=0

彎矩M=常量純彎曲ABFFBFAaaFCD+求出梁橫截面上的剪力和彎矩后,為了解決梁的強度問題,必須進一步研究橫截面上各點的應力分布情況。若梁橫截面上只有彎矩而無剪力，則所產(chǎn)生的彎曲稱為純彎曲。ABFFBFAaaFCDxMO+CD段純彎曲1.正應力的分布規(guī)律

(1)變形幾何關(guān)系

(2)應力應變關(guān)系2.最大正應力的計算公式§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

1.正應力的分布規(guī)律

(1)變形幾何關(guān)系基本假設(shè)梁的橫截面在變形后仍為平面，并垂直于變形后梁的軸線。只是繞橫截面內(nèi)的某一軸線轉(zhuǎn)過一個角度，橫截面間沒有相對錯動?！?-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

1.正應力的分布規(guī)律

(1)變形幾何關(guān)系§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

1.正應力的分布規(guī)律

(1)變形幾何關(guān)系凹入一側(cè)變短外凸一側(cè)變長中性層縱向纖維長度不變縱向?qū)ΨQ平面梁軸線橫截面對稱軸中性軸§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

1.正應力的分布規(guī)律

(1)變形幾何關(guān)系取微段(長為dx)；變形后中性層長(O1O2)保持為dx；中性層曲率半徑為ρ；距中性層y處縱向線長變?yōu)?；伸長量為：正應變：︵︵§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

1.正應力的分布規(guī)律

(1)變形幾何關(guān)系正應變：縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比(2)應力應變關(guān)系關(guān)鍵是ρ=?需求出!︵§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

2.最大正應力計算公式

取微面積dA,微內(nèi)力為σdAσdA簡化成3個內(nèi)力分量軸力:對z軸的力偶矩:對y軸的力偶矩:§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

2.最大正應力計算公式(軸慣性矩)抗彎剛度§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力

2.最大正應力計算公式Iz

——軸慣性矩Wz——抗彎截面系數(shù)Ip

——極慣性矩Wp——抗扭截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)拉壓剪切扭轉(zhuǎn)彎曲§4-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力3.梁彎曲時的強度計算適用于抗拉和抗壓強度相等的材料對于象鑄鐵等脆性材料制成的梁，因材料的抗壓強度遠高干抗拉強度，其相應強度條件為:強度計算目的:(1)即校核梁的強度(2)設(shè)計梁的截面尺寸(3)確定梁的許用載荷?！?-3

彎曲正應力和強度計算一、彎曲時的正應力例圖示車軸，已知a=310mm，l＝1440mm，F(xiàn)＝15.15kN，[σ]=100MPa，若車軸的橫截面為圓環(huán)形，外徑D＝100mm,內(nèi)徑d＝80mm，試校核車軸的強度。解:(1)求支反力(2)畫彎矩圖(3)校核車軸的強度例圖示螺旋壓板裝置，已知a=50mm，壓板的許用彎曲應力[σ]=140MPa，試計算壓板給工件的最大允許壓緊力F。解:將壓板簡化為外伸粱，受力如圖

畫彎矩圖1.集中力遠離簡支梁的中點2.將載荷分散分布§4-4

提高梁彎曲強度的措施一、降低梁的最大彎曲3.合理安排支座的位置§4-4

提高梁彎曲強度的措施三、梁截面的合理形狀§4-4

提高梁彎曲強度的措施二、采用等強度梁由于截面上的應用分布不均，為了充分利用材料，使截面尺寸隨截面彎矩的大小而改變，如階梯軸盡量考慮抗彎截面系數(shù)大而截面面積小的截面形狀

у——撓度

θ——轉(zhuǎn)角Fуθуmaxθmax一、梁的剛度概念§4-5

梁的剛度條件在工程實際中有許多構(gòu)件在載荷作用下，常常同時產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，這種情況稱為組合變形。如：

(1)“彎曲和扭轉(zhuǎn)”組合變形

(2)“拉伸和扭轉(zhuǎn)”組合變形

(3)“拉伸和彎曲”組合變形一、組合變形下強度計算