第4章 費率厘定

4.1基本術語危險（風險）單位危險（風險）單位(exposureunit)：風險進行度量的基本單位，不同的險種有不同的風險單位；承保（到期）危險(writtenexposures)：指一定時期內(nèi)保險人已經(jīng)簽訂了保險合同的風險單位數(shù)；承擔危險(earnedexposures)：指各個相應時間內(nèi)已經(jīng)承擔責任的危險單位數(shù)量；有效危險(in-forceexposures)：指在一個給定的時刻危險單位數(shù)量。生效日期(月/日/年)承保危險承擔危險有效危險20002001200020011/1/20011/1/20001.000.001.000.000.004/1/20001.000.000.750.251.007/1/20001.000.000.500.501.0010/1/20001.000.000.250.751.00合計4.000.002.501.503.00索賠索賠(Claim)：是指保險事故發(fā)生后，索賠人(claimant)根據(jù)保險合同的條款提出的賠付要求。事故日期(Accidentdate)：引起索賠的事故發(fā)生日期。報告日期(reportdate)：保險人收到索賠通知的日期。報告延遲(reportinglag)：從發(fā)生到發(fā)現(xiàn)并報告所需要的時間導致的延遲。理算延遲(settlementlag)：在非壽險事故報告后，往往不能立即認定責任達成賠付協(xié)議，期間所需要的時間導致的延遲。結(jié)案延遲：對一次性賠付的案件來說，理算完畢即可結(jié)案。對多次定期賠付的案件來說，理算完畢和結(jié)案之間的延遲會很長。索賠頻率索賠頻率(frequency)：F為索賠頻率；C為索賠總次數(shù)；E為危險單位總數(shù)2001年有5,750個車年的承擔危險，并且有287個事故日期在2001年的索賠，那么索賠頻率為多少？損失和損失調(diào)整費用損失(losses)：已付和應付給索賠人的數(shù)額。已付損失(paidlosses)：在一個特定時期實際已經(jīng)支付給索賠人的損失。個案準備金(casereserve)：對每一個在預期的未來將有支付發(fā)生情形的索賠，未來支付數(shù)額的估計。已發(fā)生損失(case-incurredlosses)：某個事故年(accidentyear)所有已付損失和個案準備金的總和。最終損失(ultimateincurredlosses)：包括在計算已發(fā)生損失時還沒有報告到保險公司的損失。事故年年齡(accidentyearage)：事故年年齡一般以月為單位。按慣例，到某事故年的最后一天,該事故年具有12個月的年齡。如在6/1/2001對事故年2000年已發(fā)生損失的評估被稱為事故年2000年已發(fā)生損失在年齡18個月時的評估。損失調(diào)整費用(lossadjustmentexpense)分攤損失調(diào)整費用(allocatedlossadjustmentexpense)：與索賠直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費用。非分攤損失調(diào)整費用(unallocatedlossadjustmentexpense)：與索賠不直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費用。索賠強度：每個索賠的平均損失S為索賠強度；L為損失；C為索賠總次數(shù)。純保費(purepremium)：每危險單位的平均損失P為純保費；L為損失；E為危險單位總數(shù)。純保費也可以表示為每危險單位的索賠頻率與索賠強度的乘積：費率厘定的數(shù)據(jù)發(fā)生年度數(shù)據(jù)在一個日歷年度內(nèi)所有發(fā)生的損失事件的保單數(shù)據(jù)稱為發(fā)生年度數(shù)據(jù)。報告由已付賠款和未付賠款準備金組成。例：發(fā)生年度數(shù)據(jù)發(fā)生年進展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,445$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,765

19962,743,6574,051,9504,593,4724,797,194

19973,130,2624,589,4305,230,437

19983,625,4185,380,617

19993,919,522

保單年度數(shù)據(jù)在一個日歷年度內(nèi)所有簽發(fā)的保單數(shù)據(jù)稱為保單年度數(shù)據(jù)。

例：1999年的保單年度數(shù)據(jù)是指1999年簽發(fā)的所有保單數(shù)據(jù)。平均事故日期若假設所有的簽單日期和事故發(fā)生日期均勻分布，則1999年內(nèi)簽發(fā)保單的事故發(fā)生日期中點是12/31/1999子夜（或1/1/2000零點）

保單年度的數(shù)據(jù)由已付賠款和未付賠款準備金組成。

費用、利潤與安全負荷厘定費率需要考慮的因素：純保費(purepremium)可變費用(variableexpenses)：隨保單價格的變化而變化的費用。固定費用(fixedexpenses)：和保單的價格無關的費用。利潤為什么保費大于純保費對于保險人從風險理論中可以知道,保費大于純保費使保險人不至于破產(chǎn)。在實踐中，保險公式的營業(yè)費用和合理的利潤都要在收取的保費中加以考慮。對于投保人－效用角度假定某投保人擁有價值為100單位的財產(chǎn)，但這筆財產(chǎn)將面臨某種損失，這一風險被表示為隨機變量Y，Y是服從0到36之間均勻分布的隨機變量。假設此人的效用函數(shù)為其中X是他的財富。問他應付出多大一筆保費G去全額投保這筆財產(chǎn)？解答：由隨機損失的概率密度函數(shù)得到。保險人將收取大于18的保費如果投保人購買了保險，則他的財富是確定的，即100－G，效用為。如果他不購買保險，則他的財富是隨機變量100－Y，那么他剩余財富的期望效用可以計算如下解答（續(xù)）投保人愿意支付的保費G應該使得不管他購買保險與否其剩余財富的期望效用值相等。因此，我們通過解得到G＝18.33。投保人購買保險最高愿意支付18.33，這超過了他的期望損失18。如果保險人收取的保費小于18.33。這個投保人就會購買該保險。費率厘定每個危險單位的費率:R為每危險單位的費率；P為純保費；F為每個危險單位的固定費用；V為可變費用因子；Q為利潤因子。因此有：RV為可變費用；RQ為利潤。假設：純保費為75.00，每個危險單位的固定費用為12.50，可變費用因子為17.5%，利潤因子為5.00%，則費率為該費率的各個組成部分如下：純保費為75.00，固定費用為12.50，可變費用為19.76，利潤為5.64，總計為112.90保費(premium)上面的例子中，假設危險單位是一輛保險期為1年的商用汽車。如果某份保單有15輛商用汽車，則其保費為：112.90×15=1693.50承保保費(writtenpremium)、承擔保費(earnedpremium)和有效保費(in-forcepremium)。如果上面所討論的保單是從7/1/2000開始，承保時間為12個月，那么到12/31/2000為止，這份保單的上述幾種保費如下所示：

2000日歷年承保保費1693.502000日歷年承擔保費846.7512/31/2000有效保費1693.50損失率（賠付率）損失率(lossratio)是在保險損失分析中最廣泛使用統(tǒng)計量中的一個。它等于損失除以保費。損失率可以基于純損失而不包括各種損失調(diào)整費用，也可包括分攤的或總的損失調(diào)整費用。損失可以是已付的，已發(fā)生的，或者預測的最終損失。保費可以是承?；虺袚ＹM。費率厘定的目標供足夠的資金去支付預期的損失和費用，并且能給投資者產(chǎn)生一個合理的回報提供足夠的準備金，以應付突發(fā)事件和不利的偏差。費率一般要經(jīng)過監(jiān)管機構(gòu)的審核。審核通常是基于這樣一個監(jiān)管標準，即類型和特性相似的風險，他們之間的費率不應該有不適當，過分，或不公平的差別。費率厘定系統(tǒng)費率厘定系統(tǒng)(ratingplan)：在為某個危險單位厘定費率時，綜合所考慮的各種因素而形成的結(jié)構(gòu)。其中的各個因素通常稱為費率因子(ratingfactor)。沒有被考慮對損失有影響的費率因子將導致的兩種不同情況：當費率厘定系統(tǒng)沒有考慮某個含有傾向于減少損失趨勢有利特征的費率因子，厘定的費率太高了。如果沒有考慮某個含有不利特征的費率因子，將導致使用過低的費率。費率因子的風險特征：主要影響索賠頻率的特征和主要影響索賠強度的特征。4.2費率厘定過程費率厘定所根據(jù)的保費計算原理有許多。這里的方法是基于期望值原理的費率厘定的兩個基本的方法：（1）純保費法（2）損失率法（1）純保費法純保費法確定的費率預期能夠滿足期望損失與費用的需要，并提供預期的利潤水平。

，這里的損失L除了保險公司已付和應付給索賠人的損失外，還要加上損失調(diào)整費用。(2)損失率法損失率法來源于純保費法,純保費法厘定費率為EF剛好是在經(jīng)驗期的總的固定費用,記G=EF/L,它表示經(jīng)驗期的總的固定費用與損失之比。令R0為當前費率，則ER0是經(jīng)驗期里總的承擔保費,則令：經(jīng)驗損失率。目標損失率：公司希望得到的目標保費損失損失率法由下面的公式厘定費率：

：調(diào)整因子，經(jīng)驗損失率/目標損失率損失率法直接來源于純保費法，它們只是表現(xiàn)的形式不同。損失率方法得到的公式

實際上給出了一個逐步改進的費率估計公式。（3）如何選擇合適的方法純保費法損失率法基于危險單位基于保費不需要當前費率需要當前費率不需要使用當前水平承擔保費使用當前水平承擔保費得到新費率得到新費率關于當前費率的比值純保費法是建立在每個危險單位的損失基礎上的，它需要嚴格定義的危險單位。若危險單位不知道或各危險單位間有差異，比如在火災險的情形，則純保費法不適用。因為損失率法得到的是當前費率的變化，所以它需要當前的費率和保費的歷史記錄。而新業(yè)務的費率厘定，我們只能利用相關公司或相關險種的損失數(shù)據(jù)，沒有歷史記錄，那么只能使用純保費法。損失率法不適用于新業(yè)務的費率厘定。當然，如果沒有任何的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可用，則這兩種方法都不適用。損失率法需要的是當前水平承擔保費，所以在當前水平承擔保費難以計算時，純保費法更為適用。在某些險種中，對保單需要進行個體風險的費率調(diào)整，此時就很難確定損失率法中需要的當前水平承擔保費，在這種情況下若采用純保費法更為合適。關于歷史數(shù)據(jù)中的不同費率調(diào)整到一個統(tǒng)一費率的問題，下面會專門論述。注意事項（1）經(jīng)驗期的選擇使用可以獲得的最近期的損失經(jīng)驗數(shù)據(jù)，而同時這樣的損失經(jīng)驗數(shù)據(jù)很可能比成熟期（指具有較多的已經(jīng)結(jié)案的保單的經(jīng)驗期）包含了更高比例的未付損失，因此更有可能會在對損失進行預測時帶來誤差。當所涉及的業(yè)務會有災害性的損失時，比如在易出現(xiàn)龍卷風地區(qū)的風暴險項目，經(jīng)驗期必須足夠長，以致于能代表災害的平均發(fā)生率。經(jīng)驗期必須包含足夠的損失經(jīng)驗數(shù)據(jù)以使最后的結(jié)果具有統(tǒng)計的可信性。（2）再保險的影響費率的分析要基于再保險之前的保費和損失數(shù)據(jù)。當再保險的成本很大時，再保險費經(jīng)常作為費用準備的一個獨立的部分。（3）保險項目的差異一個保險業(yè)務中各個主要的保險項目應該分別處理。不僅各項目的經(jīng)驗損失數(shù)據(jù)要分開考察，而且保費和危險單位數(shù)據(jù)也要分離。（4）提高限額時的處理方法限額(Limit)：當索賠發(fā)生時，保險公司的賠付不超過限額。保險公司的賠付為Min(X,u)，費率為E[Min(X,u)]。在實踐中，保險公司通常會對同樣的標的提供不同的限額，供投保人選擇。最低的限額叫基本限額(BasicLimit)，其他限額叫提高限額(IncreasedLimit)。責任險費率的厘定首先確定基本責任限額的費率，然后厘定出提高限額因子。更高的限額的費率等于基本限額費率乘以提高限額因子(IncreasedLimitFactor)。例如，某保險公司提供兩種限額，u1和u2，u1<u2，u1稱為基本限額，而u2稱為提高限額，基本責任限額的費率為E[Min(X,u1)]，而提高限額的費率為E[Min(X,u2)]。若記提高限額因子為IFL，則有所以，若基礎限額的費率為R1，則提高限額的費率為R2=R1×IFL。這些提高限額因子會隨時間變化。另外，當通貨膨脹影響購買力時，投保人一般會傾向于購買有更高限額的保險產(chǎn)品。在費率厘定過程中，應該將不同限額下的保費和損失調(diào)整到基本限額的基礎上。(5)均衡保費均衡保費(On-levelPremium)：根據(jù)當前費率水平算得的保費稱為均衡保費。危險擴展法（ExtensionofExposureTechnique）：如果時間和能力上允許，我們可以對每份保單都使用當前費率重新計算。(5)均衡保費平行四邊形法：假定危險單位在經(jīng)驗期內(nèi)均勻分布。假設考察的損失經(jīng)驗期包括2000年、2001年、2002年，并假定各個保單的保險期限為12個月，最后設費率增長情況如下：經(jīng)驗期的第一年（2000）的承擔危險：有1997/7/1費率水平上承保的，有的是1999/7/1費率水平上承保的。生效1997/7/11999/7/12001/7/1費率增長（%）17.812.510若假設7/1/1997費率水平相對值為1.000，則7/1/1999費率水平相對值是1.125，7/1/2001費率水平的相對值為1.1251.100=1.2375。圖4.2.1提供了一種平行四邊形法下的數(shù)據(jù)表示。X—軸代表保單生效日，Y—軸表示承擔危險比例。圖4.2.1圖4.2.2：對2000年的承擔危險進行這種處理的結(jié)果。圖4.2.22000年中分別在1.000和1.125相對水平上承保的承擔危險的比例，如圖4.2.3所示。圖4.2.3根據(jù)平行四邊形模型，2000的承擔危險中的0.125（=0.5×0.5/2，即圖4.2.3中A的面積）是在1/1/1999和7/1/1999之間承保的。它們的相對費率水平是1.000。而承擔危險中的0.875(=1-0.125，即圖4.2.3中B的面積)是在1.125的相對費率水平上承保的。2000年相對費率的平均水平為:（0.1251.000）+（0.8751.125）=1.1094。等費率因子（均衡保費因子，On-levelfactor）：1.2375/1.1094=1.1155對2001年和2002年重復上述方法計算，可得如下結(jié)果：日歷年在相對水平下承擔危險的比例等費率因子1.0001.1251.237520000.1250.8750.0001.115520010.0000.8750.1251.086420020.0000.1250.8751.0115各年的等費率因子分別乘以各日歷年的承擔保費就可近似得到當前等費率承擔保費，即均衡保費日歷年日歷年承擔保費當前費率因子均衡保費（近似）2000$1,926,9811.1155$2,149,5472001$2,299,8651.0864$2,498,5732002$2,562,9961.0115$2,592,470合計$6,789,842$7,240,5904.3最終損失的預測及其趨勢分析4.3.1最終損失(L)的預測—損失進展法損失進展法：假設賠案發(fā)生之后，索賠以某種模式經(jīng)歷“未報告已報告未賠付賠付完畢”這一過程，并且這樣的模式是平穩(wěn)的,和賠案何時發(fā)生沒有關系。流量三角形：將觀測數(shù)據(jù)中的索賠次數(shù)或索賠損失都分別按事故年（或報告年，或其他原則）與事故年年齡（進展年）排列。損失進展的預測－流量三角形法步驟：（1）建立流量三角形；（2）計算同一個發(fā)生年的賠案相鄰年齡進展因子；（3）選定相鄰年的進展因子；（4）將各發(fā)生年的選定進展因子連乘得到最終進展因子;（5）將最終進展因子乘以最近一個評價日記錄已發(fā)生的賠款可得到各發(fā)生年的最終索賠預測值。

（1）建立流量三角形事故年年齡(進展年)12(0)24(1)36(2)48(3)60(4)72(5)19971,8042,1732,3742,4162,4162,41619981,9352,3792,4242,5522,55219992,1032,3842,5142,64620002,1692,5802,72220012,3462,78320022,337表4.3.1流量三角形橫向運動：表示同一個事故年發(fā)生的賠案已報告索賠次數(shù)的進展情況。流量三角形縱向運動：代表同一個事故年年齡的已報告索賠次數(shù)的變化情況。由左下至右上的對角線則代表了同一個會計年度末的記錄。最下面的對角線代表最近一個會計年度末，即12/31/2002各個事故年的累積索賠次數(shù)的情況。12/31/2002各個事故年的累積索賠次數(shù)事故年年齡12243648607219972,41619982,55219992,64620002,72220012,78320022,337索賠次數(shù)流量三角形的一般形式：下表（表4.3.2）的事故年年齡以12個月，即以年為單位。Ni,j：發(fā)生在第i個事故年的賠案，事故年年齡j年底（即在第i+j–1年年底）累積已報告的索賠次數(shù)。年齡（j）事故年（i）12…k-1k1N1,1N1,2…N1,k-1N1,k2N2,1N2,2…N2,k-1k-1Nk-1,1Nk-1,2kNk,1最終損失的預測：填滿表4.3.2的右下角的空白部分令nij表示發(fā)生在第i個事故年的賠案，事故年年齡j年間（即在第i+j–1年間）已報告的索賠次數(shù)，則有假設可以分離事故年以及事故年年齡對nij的影響，存在αi和βj，使得nij的均值為：E(nij)=αiβj。假設nij~Poisson(αiβj)，則從而有：流量三角形橫向自左向右每一步增加的比例，

都僅和事故年年齡j有關，而和賠案發(fā)生在哪一年沒有關系，即與事故年i沒有關系。模式是平穩(wěn)的：流量三角形橫向自左向右增加的比例和賠案在哪一年發(fā)生沒有關系。記為相鄰年齡（j—（j+1））進展因子：在

時，我們有如果所有的進展因子

都被估計出來了，其估計分別為

（

），則我們?nèi)∥磥淼乃髻r次數(shù),的估計為相鄰進展因子的估計：極大似然估計法似然函數(shù)和對數(shù)似然函數(shù)：對數(shù)似然函數(shù)對未知參數(shù)求偏導數(shù)：似然方程組：該似然方程組共有2k個方程，它們分別為求解上述方程組，得相鄰年(j—(j+1))的進展因子的估計為*事故年年齡j+1列前k-j個數(shù)的和除以事故年年齡j+1列前k-j個數(shù)的和。（2）計算同一個發(fā)生年的賠案相鄰年齡進展因子

接表4.3.1為例：將表4.3.1自第2列起的每一個數(shù)分別除以同一個事故年的前一個數(shù)。得到的比值稱為同一個事故年的賠案相鄰年齡進展因子。事故年12-2424-3636-4848-6060-7219971.20451.09251.01771.00001.000019981.22951.01891.05281.000019991.13361.05451.052520001.18951.055020011.1863估計1.18751.05441.04131.00001.0000（3）預測最終損失（索賠數(shù)）的值

最終年齡的進展因子的估計值：將相鄰年齡進展因子的估計值連乘1-62-63-64-65-6進展因子1.30381.09791.04131.00001.0000例如，年齡（2—6）進展因子的估計值為1.0979=1.0544×1.0413×1×1（3）預測最終損失（索賠數(shù)）的值

最終損失（索賠）的預測值事故年事故年年齡相鄰年齡進展因子至最終年齡進展因子12/31/2002已報告索賠最終索賠預測值199772—1.00002,4162,4161998601.00001.00002,5522,5521999481.00001.00002,6462,6462000361.04131.04132,7222,8342001241.05441.09792,7833,0552002121.18751.30382,3373,047表4.3.34.3.2趨勢的識別新費率將什么時候開始實施？該費率預計將應用多長時間？在新費率實施之和，預計從何時開始將發(fā)生索賠？索賠經(jīng)驗中是否存在一定趨勢？4.3.2趨勢的識別表4.3.3最終索賠次數(shù)的預測值分別表示在1997、1998，…，2002年發(fā)生的損失。各事故年的索賠頻率預測值=最終索賠次數(shù)的預測值/各年的承保危險索賠強度=損失/最終索賠次數(shù)的預測值如果這些預測值具有隨時間（事故年）發(fā)展的趨勢，那么根據(jù)此潛在的趨勢可以預測未來事故年的損失?！兄谛沦M率的厘定。4.3.2趨勢的識別分析基于2000事故年的損失數(shù)據(jù)新的費率在1/7/2003開始使用，假定新費率有效期為12個月（1/7/2003——6/30/2004），并且假定保險期限為一年。新費率保單的平均有效期從1/1/2004（1/7/2003承保的保單）到12/31/2004（31/6/2004承保的保單）。則新費率保單損失發(fā)生的中點是1/7/2004?；?000事故年數(shù)據(jù)預測的最終損失僅代表了大約到1/7/2000（事故年中點）為止的損失，而根據(jù)新費率收的保費必須覆蓋大約到1/7/2004為止的損失。如果損失數(shù)據(jù)有可識別的趨勢，則那些趨勢的影響一定會在從1/7/2000到1/7/2004的48個月中被反映出來。4.3.2趨勢的識別1/1/200031/12/20001/7/2003新費率生效30/6/2004經(jīng)驗期31/6/20051/1/200412/31/2004經(jīng)驗期計算日期新費率生效日期期望有效期4.3.2趨勢的識別4.3.2趨勢的識別索賠強度的趨勢變化顯著影響費率厘定：索賠強度會隨時間而增加（通貨膨脹、訴訟費的增加以及醫(yī)療費用的上漲等）。索賠頻率也會具有某種趨勢。索賠頻率和索賠強度的趨勢常是分開分析的，但有時也寧可考察純保費的變化趨勢,即將索賠頻率與索賠強度的影響結(jié)合起來考慮。例：考察下面事故年索賠強度的預測數(shù)據(jù)：

事故年19951996199719981999200020012002預測的索賠強度（元）3095327639961225144416471828其中x＝發(fā)生年－1994用下面曲線去擬合4.3.2趨勢的識別延長x軸發(fā)現(xiàn)，盡管此三次多項式對觀察數(shù)據(jù)擬合得非常好，但它并不是預測索賠強度趨勢變化的合理的模型。4.3.2趨勢的識別常用的兩種模型：線性模型：指數(shù)模型：由于指數(shù)模型能表示成：故作變換

和

，從而得：幾點注意索賠頻率和索賠強度的趨勢常是分開分析。模型的選擇對線性模型來說，x每增加一個單位，預測值y將增加一個常量a。對指數(shù)模型來說，x每增加一個單位，預測值y將增加一個常數(shù)倍，預測值是它前面的一個預測值的ea－1倍。我們所預測的趨勢化的最終索賠強度就是損失率法和純保費法中經(jīng)驗損失。例：假設已知發(fā)生年1994－1999年的最終賠款損失、最終索賠數(shù)和風險單位數(shù)，如表3。假設新修訂的保單費率將從2000年1月1日開始施行。請用趨勢預測事故平均發(fā)生日期為2001年7月1日的最終賠款損失。發(fā)生年最終賠款損失最終索賠數(shù)承保風險單位19943,928,8052,41637,84619954,425,5402,55239,77119965,081,6682,64642,13519975,790,0942,84445,23119986,760,2073,06848,58319997,288,3513,06652,267首先我們對索賠強度進行趨勢預測。采用一元線性回歸方程，

x＝發(fā)生年－1993進行擬合，應用最小二乘法得到

a＝1455.13，b＝150.77，

從而得到各發(fā)生年的索賠強度的線性擬合值如下。發(fā)生年索賠強度索賠強度的線性擬合值19941,6261,605.9019951,7341,756.6819961,9211,907.4519972,0362,058.2219982,2032,208.9919992,3772,359.76表4對此回歸方程進行顯著性檢驗，F(xiàn)統(tǒng)計量的值829.26，大于1％的顯著水平，說明方程整體顯著。再將1999年的擬合值2359.91除以1998年的擬合值2209.1得到索賠強度的趨勢因子為1.0683。

類似的，使用模型，x＝發(fā)生年－1993對索賠頻率進行擬合得到索賠頻率的趨勢因子等于0.0605÷0.0613＝0.9869.將索賠強度和索賠頻率的趨勢因子相乘就得到相鄰發(fā)生年的最終損失的趨勢因子，表5給出了2001年最終損失的趨勢化預測值。

發(fā)生年最終損失（元）平均事故日期索賠強度趨勢因子索賠頻率趨勢因子2001年的趨勢化最終損失（元）19975,790,0947/1/971.30250.94797,148,68019986,760,2077/1/981.21920.96067,917,30819997,288,3517/1/991.14130.97358,097,763例如，如果用1997年的最終損失預測得到2001年趨勢化最終損失等于最后將1997、1998、1999年計算得到的預測值取平均即得2001年的趨勢化最終損失的預測值。

4.4費用分析假設在過去一年里，某個險種的收入和支出的費用如下——損失率法承保保費11,540,000承擔保費10,832,000已發(fā)生損失和分攤損失調(diào)整費用7,538,000非分攤損失調(diào)整費用484,000傭金1,731,000稅收、執(zhí)照及其他費用260,000其他承保費用(展業(yè)費用)646,000一般管理費用737,000總的損失和費用11,396,000當前正在使用的費率是否合適？目標損失率：T=(1-V-Q)/(1+G)V：與保費相關的費用因子V的計算方法：

傭金與承保保費的比1731/11540=0.1500

稅收、執(zhí)照費用與承保保費的比260/11540=0.0225

其他承保費用與承保保費的之比646/11540=0.0560

一般管理費用承擔保費的之比737/10832=0.0680

與保費有關的費用因子合計V=0.2965G：與保費無關的費用與損失之比G=484/7538=0.0624Q：利潤因子,利潤因子為0目標損失率為：4.5利潤與安全附加保險利潤的來源：保險利潤來源于承保利潤和投資利潤。費率中的利潤分析：宏觀環(huán)境的變化，保險公司比以往更加重視從財務分析其經(jīng)營決策，從而下調(diào)了傳統(tǒng)的5%的利潤因子。風險因素:利潤因子中的一部分是用來為不利偏差做準備的，稱為風險附加。在費率厘定的過程中有兩個不同類型的風險，被稱為參數(shù)風險和過程風險。他們都可能產(chǎn)生不利偏差。參數(shù)風險是與參數(shù)的選擇相聯(lián)系的風險,這些參數(shù)用來構(gòu)成費率厘定過程中使用的模型。過程風險是與對未來的隨機事件，例如損失的預測相聯(lián)系的風險。過程風險是客觀存在著的。保費計算原理期望值原理方差原理

標準差原理

零效用原理R為保險公司的風險準備金P為承保隨機風險S所要求的保費。U(.)為保險公司的效用函數(shù)4.6分類費率在為某個危險單位厘定費率時，我們必須考慮各種因素，甚至考慮該危險單位所在的區(qū)域位置。不同水平的因素和不同的地域位置，通常有不同的費率水平，這種情況稱為費率分類。本節(jié)將說明費率中的兩個基本問題，基礎費率問題和其它類別的費率關于基礎費率的相對程度的度量問題。4.6分類費率費率因子(ratingfactor)：對個體風險進行分類的特征。如汽車保險中被保險人的性別、年齡、駕齡和索賠經(jīng)驗等。風險因子(riskfactor)：對索賠頻率或索賠強度有直接影響，但有時不易度量，通常用費率因子代替。如交通密度，可用保單持有人的地址或汽車的用途來代替。在一個風險體系中，各個類別的費率通常被表示為相對關系的形式，包括相加關系（假設基礎類別費率為0）和相乘關系（假設基礎類別費率為1）。4.6分類費率假設只有兩個費率因子（AandB)，其中A有I個水平Ai(i=1,….,I),其對應的相對費率為；費率因子B有J個水平Bj(j=1,….,J)，其對應的相對費率分別表示為。對于風險類別，用表示該類別的風險單位數(shù)，用表示每個風險單位的損失，用表示每個風險單位的純保費（期望損失），則乘法模型：加法模型：估計上述參數(shù)的方法：單項分類法、迭代法、廣義線性模型。4.6.1單項分析法單項分析法(one-wayanalysis)：每次僅計算一個分類變量的不同水平所對應的相對費率。假設一組汽車保單根據(jù)車型和地區(qū)兩個變量進行分類，每個類別的風險單位數(shù)和賠付率如表6-1。車型1車型2合計風險單位數(shù)賠付率風險單位數(shù)賠付率風險單位數(shù)賠付率地區(qū)A200040%800080%1000072%地區(qū)B800040%200080%1000048%合計1000040%1000080%2000060%表6-1應用單項分類法計算的相對費率分析：地區(qū)相對賠付率，以地區(qū)A為基礎費率，則地區(qū)B的相對賠付率。車型相對賠付率，以車型1為基礎費率，則車型2的相對賠付率為。車型1車型2地區(qū)A12地區(qū)B0.66671.3334表6-2單項分類法的應用1、賠付率法例1：假設汽車保險中使用兩個分類變量，即車型和地區(qū)，其中車型分為A,B和C三個水平，地區(qū)分為甲和乙兩個水平。根據(jù)車型進行分析：可獲得數(shù)據(jù)為過去兩年的已賺保費和最終賠款。有關數(shù)據(jù)見表6-3.車型A車型B車型C合計或平均（1）第一年的已賺保費750002500015000115000（2）第一年的費率1008060（3）第二年的已賺保費850002600024000135000（4）第二年的費率1209070（5）當前業(yè)務的已賺保費880002900027000144000（6）當前的費率1309080（7）當前費率水平下前兩年的已賺保費（=（1）*（6）/（2）+（3）*(6)/(4))1895835412547428.57291136.9表6-3車型的相對費率單項分類法的應用（1）對過去兩年的已賺保費按當前費率水平進行調(diào)整，計算當前費率水平下的已賺保費（表6-3的（7））和經(jīng)驗賠付率（表6-3的（10））（2）根據(jù)經(jīng)驗賠付率計算初步的費率調(diào)整系數(shù)，等于各車型的經(jīng)驗賠付率除以所有車型平均的經(jīng)驗賠付率。（3）計算經(jīng)驗數(shù)據(jù)的可信度（平方根原則計算，表6-3的（12）），并應用可信度對上述的調(diào)整系數(shù)進行修正（表6-3的（13）），例:對于車型B，初步調(diào)整系數(shù)表面費率應提高2.93%，但可信度為0.2171，因此經(jīng)可信度修正后的提高幅度為0.2171*0.0293=0.64%，即可信度調(diào)整系數(shù)應為1.0064.單項分類法的應用（4）對可信調(diào)整系數(shù)進行平衡處理，以保證當前費率總水平保持不變（表6-3的（15）行）。（5）用平衡處理以后的可信調(diào)整系數(shù)乘以當前的相對費率（（16）行），再把車型A的相對費率調(diào)整為1，即可得到新的相對費率（（18）行）。同理，可以根據(jù)地區(qū)對該例進行分析，參加表6-4.經(jīng)過調(diào)整后，各個風險類別的相對費率為表6-5：獲得調(diào)整以后的相對費率后，即可計算各個風險類別的實際費率。例：如需將總平均保費水平上調(diào)5%，首先應用調(diào)整后的相對費率（表6-3，6-4中第（17）行）把基礎類別的費率從當前的130調(diào)整為130*0.9984*1.038=134.7241，然后再上調(diào)5%為：134.7241*1.05=141.4603.其它類別的新費率可根據(jù)表6-5得到，如車型A在乙地區(qū)的費率為141.4603*1.0093=142.7759.單項分類法的應用車型A車型B車型C地區(qū)甲10.6980833050.615009585地區(qū)乙1.0093410550.704604140.620754424表6-5單項分類法的應用賠付率的應用步驟：預測經(jīng)驗期的最終賠款，并計算經(jīng)驗期在當前費率水平下的已賺保費。計算經(jīng)驗賠付率，等于最終賠款與當前費率水平下的已賺保費之比。計算初步的費率調(diào)整系數(shù)，等于各類別的經(jīng)驗賠付率除以總水平的經(jīng)驗賠付率。計算經(jīng)驗數(shù)據(jù)的可信度。用可信度對初步的費率調(diào)整系數(shù)進行修正。進行平衡處理，得到平衡后的調(diào)整系數(shù)。用平衡后的費率調(diào)整系數(shù)對當前的相對費率進行調(diào)整，得到新的相對費率。如果需要調(diào)整保費的總體水平，則只需要調(diào)整基礎類別的費率水平即可。單項分類法的應用2、純保費法賠付率法基于最終賠款與已賺保費之比計算相對費率，而純保費法基于最終賠款與風險單位數(shù)之比計算相對率?；撅L險單位數(shù)：保險公司承保的自然風險單位數(shù)（如車年數(shù)）乘以每個分類變量的相對費率?！龢I(yè)務構(gòu)成的影響，從而為純保費在同一個數(shù)量級上進行比較創(chuàng)造條件。賠付率法中，初步的調(diào)整系數(shù)是根據(jù)賠付率的相對大小確定的；純保費法中，初步的調(diào)整系數(shù)是根據(jù)純保費的相對大小確定的，純保費是最終賠款與基本風險單位數(shù)的比率。單項分類法的應用表6-7和表6-8是用純保費法對車型和地區(qū)的相對費率進行調(diào)整的結(jié)果。在純保費法中，如果用第一次迭代求得的相對費率代替當前的相對費率，并重新計算基本風險單位數(shù)，則可獲得有一個新的相對費率。不斷重復上述過程，最終可得一個收斂的相對費率，與第一次迭代獲得的結(jié)果相比這個相對費率將是一個更加精確的結(jié)果。如此不斷交叉進行，初步的調(diào)整系數(shù)、可信調(diào)整系數(shù)和平衡后的可信調(diào)整系數(shù)都將接近于1——調(diào)整后的相對費率最終將收斂于一個確定值。單項分類法的應用純保費法的應用過程：預測經(jīng)驗期的最終賠款，并計算經(jīng)驗期的基本風險單位數(shù)。計算經(jīng)驗純保費，等于最終賠款與基本風險單位數(shù)之比。計算經(jīng)驗數(shù)據(jù)的可信度用可信度對初步的費率調(diào)整系數(shù)進行修正，得到可信調(diào)整系數(shù)用可信度對初步的費率調(diào)整系數(shù)進行修正，得到可信調(diào)整系數(shù)。進行平衡處理，得到平衡后的調(diào)整系數(shù)。用平衡后的費率調(diào)整系數(shù)對當前的相對費率進行調(diào)整，得到新的相對費率。如果需要調(diào)整保費的總體水平，則只需要調(diào)整基礎類別的費率水平即可。4.6.2迭代法各個類別間的相對關系：相乘關系、相加關系相乘關系：假設一個基礎類別的費率為1，其他類別的費率是基礎類別的若干倍。——乘法模型相加關系：假設一個基礎類別的費率為0，其他類別的費率在此基礎上增加一定數(shù)量?！臃Ｐ头诸愘M率（相對費率）可以使得費率的表現(xiàn)形式更加簡潔。如汽車保險的被保險人可以根據(jù)地區(qū)（10個水平）和車型（10個）分成100類，如果給每個類別厘定保費需要制定100各不同的費率，但通過基礎費率和相對費率的形式，只需要確定一個基礎費率和20各相對費率即可（2各費率因子，每個因子有10個水平，給每個水平確定一個相對費率），從而大大簡化了費率的表現(xiàn)形式。4.6.2迭代法假設只有兩個費率因子（分別用A和B表示)，其中費率因子A有I個水平Ai(i=1,2,.......,I)，其對應的相對費率分布表示為

；費率因子B有I個水平Bj(j=1,2,.......,J)，其對應的相對費率分布表示為

。

：風險類別

的風險單位數(shù)。

：每個風險單位的損失。

：每個風險單位的純保費。乘法模型：加法模型：Majorissue：估計模型中的參數(shù)。4.6.2迭代法迭代法(iterationmethod)：最早由RobertBailey和LeRoySimon于1960年提出，當時被稱作最小偏差法(minimumbiasmethod)，用于同時確定兩個或兩個以上分類變量的相對費率。這種方法后來有了各種變形和發(fā)展，形成了一類特定的分類費率厘定方法。這類方法的一個共同特點是通過迭代公式求解相對費率。確定迭代公式：平衡法（邊際總和法）、最小二乘法、最小χ2法和極大似然法。4.6.2迭代法（1）邊際總和法(marginaltotalmethod)：根據(jù)保費和賠款的邊際總和相等的原則厘定相對費率的方法。也稱為平衡法(balanceprinciplemethod)。

：各個類別的經(jīng)驗賠款各個類別的經(jīng)驗保費：各個類別的純保費（期望賠款）：4.6.2迭代法（1）邊際總和法(marginaltotalmethod)：（1）（2）由迭代公式（1）（2）估計參數(shù)的過程：令一個分類變量的初始值為1，如，并將其帶入（2）求解。把得到的代入（1），可以求得一組新的。重復前面兩步，如此不斷循環(huán)直到收斂，便可得到參數(shù)的估計。（2）

最小χ2法最小χ2法在下述目標函數(shù)最小化的條件下估計相對費率：上述目標函數(shù)與χ2

統(tǒng)計量具有完全相同的形式。上式關于參數(shù)分別求偏導數(shù)，并令其等于零，即得：（3）

最小二乘法最小二乘法在下述目標函數(shù)最小化的條件下估計相對費率：使上述目標函數(shù)得到最小的參數(shù)估計為：（4）

極大似然法極大似然法的參數(shù)估計取決于具體的分布假設，因此沒有一般形式的迭代公式。假設風險類別（i,j）的損失服從指數(shù)分布，均值為似然函數(shù)：求解得：4.6.3廣義線性模型單項法：會產(chǎn)生較大偏差，且缺乏統(tǒng)計理論的支持。最小偏差法：比單項法有了很大進步，但仍然不能提供一個完整的統(tǒng)計分析框架。20世紀末開始，廣義線性模型在分類費率厘定中的應用得到了迅速發(fā)展，在某些國家已經(jīng)成為厘定分類費率的行業(yè)標準，尤其是在個人保險業(yè)務中，廣義線性模型得到了精算師的廣泛認可和接受。4.6.3廣義線性模型（1）古典線性回歸模型

：表示為其均值和一個隨機變量之和，即古典線性回歸模型的假設：4.6.3廣義線性模型（1）古典線性回歸模型假設汽車保險的風險分類系統(tǒng)包括兩個變量：行駛區(qū)域和駕駛員性別。行駛區(qū)域取值為城市和鄉(xiāng)村兩個水平，駕駛員性別的取值為男和女兩個水平。假設實際觀察到的索賠次數(shù)如表4-21所示。城市鄉(xiāng)村男40002500女20001000表4-21索賠次數(shù)的觀察值4.6.3廣義線性模型四個解釋變量：男性、女性、城市、鄉(xiāng)村，取值為1或0.古典線性回歸模型：該模型存在線性關系：因此，可以刪除一個變量，改寫為：4.6.3廣義線性模型將表4-21中的觀測數(shù)據(jù)帶入模型得：最小二乘法可得：索賠次數(shù)的擬合值：表4-22城市鄉(xiāng)村男38752625女2125875（1）古典線性回歸模型是建立在下列假設之上：因變量的每個觀測值相互獨立且服從正態(tài)分布解釋變量的一個線性組合可以估計因變量的期望值精算應用中，上述假設很難得到滿足：要求因變量服從正態(tài)分布且具有相同方差在很多情況下是不現(xiàn)實的.在保險實際中，因變量的取值通常是非負的。如果因變量是嚴格非負的，那么從直觀上看，當因變量的均值趨于零時，其方差也應該趨于零。（因變量是均值的函數(shù)）古典線性模型中，假設解釋變量通過加法關系對因變量產(chǎn)生影響，但在某些情況下，解釋變量之間可能存在乘法關系。4.6.3廣義線性模型（2）廣義線性模型(Generalizedlinearmodels,GLM)簡介GLM假設因變量來自指數(shù)分布族，其方差隨著均值而變化，解釋變量通過線性相加關系對因變量的期望值的某種變換產(chǎn)生影響。GLM的假設可以歸納如下：隨機成分，即因變量或誤差項的概率分布屬于指數(shù)分布族。系統(tǒng)成分，即解釋變量的線性組合表示為聯(lián)結(jié)函數(shù)：

或4.6.3廣義線性模型指數(shù)分布族：其概率密度函數(shù)可以表示為

為已知函數(shù)，且

大于零，且為聯(lián)系函數(shù)，通常的形式為。

的二階導數(shù)存在且大于零，且。

與參數(shù)無關。

：自然參數(shù)(naturalparameter)，與均值有關；

：離散參數(shù)(dispersionparameter)，與方差有關，其方差為常見的指數(shù)分布族：正態(tài)分布、泊松分布、二項分布、伽馬分布、逆高斯分布。常見的聯(lián)結(jié)函數(shù)：恒等：對數(shù)：倒數(shù)：Logit：非壽險精算中，常用的聯(lián)結(jié)函數(shù)是對數(shù)函數(shù)、Logit函數(shù)和倒數(shù)函數(shù)。對數(shù)函數(shù)：

即認為解釋變量對因變量的影響不是簡單的線性相加關系，而是相乘關系。Logit函數(shù)：因變量的預測值落在0~1之間，適合續(xù)保率或新單簽約率的擬合。倒數(shù)函數(shù)可以表示成一種比例關系：保險費通常表示為每年多少元，因此其倒數(shù)的含義就是美元的保險費可以承保多長時間。4.6.3廣義線性模型（3）典型廣義線性模型廣義線性模型的應用中，可以根據(jù)保險數(shù)據(jù)的先驗信息選擇誤差項的分布類型。如：如果因變量的方差為常數(shù)，可以選擇正態(tài)分布；如果因變量的方差等于其均值，可以選擇泊松分布；如果因變量的方差等于其均值的平方，可以選擇伽馬分布；如果因變量的方差等于其均值的三次方，可以選擇逆高斯分布。4.6.3廣義線性模型非壽險費率厘定中，通常需要估計索賠次數(shù)、索賠頻率、索賠強度和續(xù)保率等，根據(jù)這些數(shù)據(jù)的特征，各類典型的廣義線性模型分別是：估計索賠次數(shù)或索賠頻率時，典型的廣義線性模型是泊松乘法模型，即使用對數(shù)聯(lián)結(jié)函數(shù)和泊松分布的誤差項。估計索賠強度時，典型的廣義線性模型是伽馬乘法模型，即使用對數(shù)聯(lián)結(jié)函數(shù)和伽馬分布的誤差項。估計續(xù)保費率和新業(yè)務轉(zhuǎn)換率時，典型的廣義線性模型是Logistic模型，即采用Logit聯(lián)結(jié)函數(shù)和二項分布的誤差項。例：假設汽車保險的索賠次數(shù)觀測值如下表，下面用廣義線性模型擬合各個類別的期望索賠次數(shù)。城市鄉(xiāng)村男40002500女20001000本例中，給類別的索賠次數(shù)觀測值可以表示為：本例有四個解釋變量，與前述的古典線性回歸模型一樣，去掉一個參數(shù)，則各個類別的期望索賠次數(shù)為：本例的設計矩陣為：選用對數(shù)聯(lián)結(jié)函數(shù)，則各個類別的期望索賠次數(shù)（泊松分布參數(shù)）為：參數(shù)為泊松隨機變量發(fā)生次索賠的概率為：對數(shù)似然函數(shù)為：將各均值代入上式可得本例的似然函數(shù)，最大化似然函數(shù)便可得到本例的參數(shù)估計。參數(shù)估計值：索賠次數(shù)的擬合值為：城市鄉(xiāng)村男4105.22394.7女1894.71105.2混合泊松回歸與索賠頻率預測非負離散非常數(shù)方差方差>均值：過離散（over-dispersion）大量保單沒有索賠發(fā)生：零膨脹（zero-inflation）分層（組內(nèi)相關）索賠頻率數(shù)據(jù)的特點索賠頻率預測模型傳統(tǒng)的線性回歸模型最小偏差模型（minimumbiasprocedure)廣義線性模型及其推廣泊松回歸模型過離散回歸模型零膨脹回歸模型分層（多層）回歸模型傳統(tǒng)線性回歸模型的問題：正態(tài)，同方差。索賠頻率：非負，離散，均值越大，方差越大。最小偏差模型的問題：統(tǒng)計檢驗廣義線性模型：解決上述問題泊松分布：方差等于均值實際索賠次數(shù)：方差大于均值（過離散）風險防范意識增強，大多數(shù)保單不會發(fā)生事故；應用了免賠額或無賠款折扣等條款，許多被保險人在發(fā)生輕微事故時不會提出索賠；個別被保險人的風險太大，遠遠高于總體平均水平。問題：低估標準誤，高估顯著性水平，保留多余的解釋變量，最終導致不合理的費率厘定結(jié)果泊松回歸模型假設泊松分布的概率函數(shù)為結(jié)構(gòu)函數(shù)為混合泊松分布的概率函數(shù)可以表示為混合泊松回歸:假設Yi服從混合泊松分布過離散：混合泊松回歸模型結(jié)構(gòu)函數(shù)與混合泊松分布：伽瑪結(jié)構(gòu)——負二項分布逆高斯結(jié)構(gòu)——泊松-逆高斯分布對數(shù)正態(tài)結(jié)構(gòu)——泊松-對數(shù)正態(tài)分布。廣義泊松分布：結(jié)構(gòu)函數(shù)沒有顯式表達（JoeandZhu,2005）。結(jié)構(gòu)函數(shù)的尾部越厚，混合泊松分布的尾部將會越長：泊松-對數(shù)正態(tài)

》泊松-逆高斯》負二項雙泊松分布：方差可以大于均值。負二項回歸模型:索賠頻率預測模型的比較泊松-逆高斯回歸模型：泊松-對數(shù)正態(tài)回歸模型：廣義泊松回歸模型：雙泊松回歸模型：

當q

在區(qū)間（0，1）之間變化時，q越小，雙泊松的過離散程度越嚴重。當q

1時，雙泊松分布退化為泊松分布。實際應用序號費率因子因子水平1保單類型（Coveragetype）綜合險（Comprehensive）非綜合險(Non-comprehensive)2駕駛員性別（Driver'sgender）男性（Male）女性（Female）3車輛用途（Vehicleuse）個人（Private）商業(yè)（Business）4車輛品牌和年限（VehiclemakeandVehicleyear）國產(chǎn)，0-1年（Local，0-1year）國產(chǎn)，2-3年（Local，2-3year）國產(chǎn)，4-5年（Local，4-5year）國產(chǎn)，6年以上（Local，6+year）進口，0-1年（Foreign，0-1year）進口，2-3年（Foreign，2-3year）進口，4-5年（Foreign，4-5year）進口，6年以上（Foreign，6+year）5行駛區(qū)域（Location）其他地區(qū)（Otherplace）北部（North）東部（East）東馬來西亞（EastMalaysia）

費率因子及其水平

回歸模型的參數(shù)估計值

參數(shù)因子水平泊松回歸負二項回歸泊松