2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解三角形1.1正弦定理(一)學(xué)案5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．1正弦定理(一）學(xué)習(xí)目標1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2。能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題．知識點一正弦定理的推導(dǎo)思考1如圖，在Rt△ABC中，eq\f(a，sinA）、eq\f(b，sinB)、eq\f(c,sinC）各自等于什么?思考2在一般的△ABC中，eq\f（a，sinA）＝eq\f(b，sinB）＝eq\f（c，sinC)還成立嗎?課本是如何說明的？梳理任意△ABC中，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB）＝eq\f（c,sinC)，證明方法除課本提供的方法外，還可借助邊AB上的高CD＝bsinA＝asinB、三角形面積公式、外接圓來證明．知識點二正弦定理的呈現(xiàn)形式1.eq\f（a，sinA)＝________＝____________＝2R(其中R是____________);2．a(chǎn)＝eq\f（bsinA，sinB）＝eq\f(csinA,sinC）＝2RsinA;3．sinA＝eq\f（a，2R)，sinB＝________，sinC＝________.知識點三解三角形一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a，b,c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形．類型一定理證明例1在鈍角△ABC中,證明正弦定理．反思與感悟(1)本例用正弦函數(shù)定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使你理解更深刻，記憶更牢固．（2)要證eq\f（a,sinA）＝eq\f(b，sinB)，只需證asinB＝bsinA，而asinB,bsinA都對應(yīng)CD。初看是神來之筆，仔細體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題能力．跟蹤訓(xùn)練1如圖，銳角△ABC的外接圓O半徑為R，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.求證:eq\f（a，sinA)＝2R。類型二用正弦定理解三角形例2在△ABC中,已知A＝32。0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．反思與感悟(1)正弦定理實際上是三個等式：eq\f（a,sinA)＝eq\f（b,sinB)，eq\f（b，sinB)＝eq\f（c,sinC)，eq\f(a，sinA)＝eq\f(c，sinC），每個等式涉及四個元素,所以只要知道其中的三個就可以求另外一個．（2）具體地說，以下兩種情形適用正弦定理：①已知三角形的任意兩角與一邊；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角．跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，已知a＝18，B＝60°,C＝75°，求b的值．類型三邊角互化命題角度1邊化角例3在任意△ABC中，求證：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA）＋c(sinA－sinB)＝0。命題角度2角化邊例4在△ABC中，A＝eq\f（π,3)，BC＝3，求△ABC周長的最大值．反思與感悟利用eq\f（a,sinA）＝eq\f（b，sinB）＝eq\f（c,sinC）＝2R或正弦定理的變形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC（k〉0)能夠使三角形邊與角的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3,求a∶b∶c的值．1.在△ABC中，一定成立的等式是()A．a(chǎn)sinA＝bsinB B．a(chǎn)cosA＝bcosBC．a(chǎn)sinB＝bsinA D．a(chǎn)cosB＝bcosA2．在△ABC中,sinA＝sinC，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形3．在△ABC中，已知BC＝eq\r（5），sinC＝2sinA，則AB＝________.4．在△ABC中，a＝eq\r（3），b＝eq\r（2）,B＝eq\f（π,4)，則A＝________。1.定理的表示形式：eq\f(a,sinA)＝eq\f（b，sinB）＝eq\f(c,sinC）＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC（k〉0)．2.正弦定理的應(yīng)用范圍：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角．3。利用正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：一方面可以化邊為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來解決；另一方面，也可以化角為邊，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB）＝eq\f(c，sinC）＝c.思考2在一般的△ABC中，eq\f(a，sinA）＝eq\f（b，sinB）＝eq\f(c,sinC)仍然成立，課本采用向量來證明的．知識點二1.eq\f(b，sinB）eq\f（c，sinC）△ABC外接圓的半徑3。eq\f（b，2R)eq\f（c，2R)題型探究例1證明如圖,過C作CD⊥AB，垂足為D，D是BA延長線上一點，根據(jù)正弦函數(shù)的定義知：eq\f(CD,b）＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f（CD,a）＝sinB?！郈D＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a，sinA)＝eq\f(b，sinB）.同理,eq\f(b，sinB）＝eq\f(c，sinC）.故eq\f(a,sinA）＝eq\f(b,sinB）＝eq\f（c,sinC).跟蹤訓(xùn)練1證明連接BO并延長，交外接圓于點A′，連接A′C,則圓周角∠A′＝∠A?！逜′B為直徑,長度為2R,∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B）＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R），即eq\f（a，sinA）＝2R。例2解根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C＝180°－(A＋B）＝180°－（32。0°＋81。8°)＝66。2°。根據(jù)正弦定理,b＝eq\f（asinB，sinA)＝eq\f(42。9sin81.8°,sin32。0°)≈80。1（cm)；根據(jù)正弦定理，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(42。9sin66.2°，sin32.0°)≈74。1(cm)．跟蹤訓(xùn)練2解根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，A＝180°－（B＋C）＝180°－(60°＋75°）＝45°.根據(jù)正弦定理，b＝eq\f（asinB，sinA）＝eq\f（18sin60°，sin45°)＝9eq\r(6)。例3證明由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0。代入得:左邊＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右邊，所以等式成立．例4解設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b。由正弦定理，得eq\f（a，sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(3,sin\f(π，3))＝2eq\r（3)。∴b＝2eq\r（3）sinB，c＝2eq\r（3)sinC,a＋b＋c＝3＋2eq\r(3）sinB＋2eq\r(3）sinC＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2π，3）－B））＝3＋2eq\r（3)sinB＋2eq\r(3)·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3),2)cosB＋\f(1，2）sinB）)＝3＋3eq\r（3）sinB＋3cosB＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（B＋\f（π，6）)），∴當B＝eq\f（π,3）時，△ABC的周長有最大值9。跟蹤訓(xùn)練3解∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3,∴A＝eq\f（π,6），B＝eq\f（π，3），C＝eq\f（π,2）,∴sinA＝eq\f（1，2),sinB＝eq\f（\r(3），2)，sinC＝1。設(shè)eq\f(a,sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f（c,sinC)＝k(k〉0)，則a＝ksinA＝eq\f(k,2)，b＝ksinB＝eq\f（\r（3）,2）k,c