2017-2018版高中數學第二章解析幾何初步章末復習課(一)學案2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第二章解析幾何初步學習目標1。整合知識結構,梳理知識網絡，進一步鞏固、深化所學知識.2.培養(yǎng)綜合運用知識解決問題的能力,能靈活選擇直線方程的形式并熟練運用待定系數法求解，滲透數形結合、分類討論的數學思想．1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角α的范圍是____________________．（2)當k存在時，α≠90°；當k不存在時，α＝90°.(3）斜率的求法：①依據傾斜角；②依據直線方程；③依據兩點的坐標．2．直線方程幾種形式的轉化3．兩條直線的位置關系設l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2:A2x＋B2y＋C2＝0,則（1）平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；（2)相交?A1B2－A2B1≠0;(3）重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1，A2）＝eq\f(B1，B2)＝eq\f（C1,C2）（A2B2C2≠0)．4．距離公式（1)兩點間的距離公式已知點P1（x1,y1)，P2（x2，y2),則|P1P2｜＝________________________.(2)點到直線的距離公式①點P（x0，y0)到直線l:Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________________;②兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離d＝________________________。類型一待定系數法的應用例1過點A(3，－1)作直線l交x軸于點B，交直線l1：y＝2x于點C,若|BC|＝2｜AB|，求直線l的方程．反思與感悟待定系數法，就是所研究的式子（方程）的結構是確定的，但它的全部或部分系數是待定的，然后根據題中條件來確定這些系數的方法．直線的方程常用待定系數法求解．選擇合適的直線方程的形式是很重要的，一般情況下，與截距有關的，可設直線的斜截式方程或截距式方程；與斜率有關的，可設直線的斜截式或點斜式方程等．跟蹤訓練1求在兩坐標軸上截距相等，且到點A(3,1）的距離為eq\r（2)的直線的方程．類型二分類討論思想的應用例2過點P（－1，0)、Q（0，2）分別作兩條互相平行的直線,使它們在x軸上截距之差的絕對值為1,求這兩條直線的方程．反思與感悟本章涉及直線方程的形式時，常遇到斜率存在性問題的討論，如兩直線平行（或垂直)時，斜率是否存在；已知直線過定點時，選擇點斜式方程，要考慮斜率是否存在．跟蹤訓練2已知經過點A(－2,0）和點B（1，3a)的直線l1與經過點P（0，－1)和點Q(a，－2a)的直線l2互相垂直,求實數a的值．類型三最值問題eq\x（命題角度1可轉化為距離求最值的問題)例3求函數y＝｜eq\r（x2－2x＋5）－eq\r（x2－4x＋5）|的最大值與最小值，并求取最大值或最小值時x的值．反思與感悟數形結合是解析幾何的靈魂,兩點間的距離公式和點到直線的距離公式是數形結合常見的結合點，常用這兩個公式把抽象的代數問題轉化為幾何問題來解決，也能把幾何問題轉化為代數問題來解決，這就是數形結合．跟蹤訓練3已知實數x、y滿足4x＋3y－10＝0,求x2＋y2的最小值．eq\x（命題角度2利用對稱性求最值）例4已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A（2，0)，B（－2，－4)．（1)在直線l上求一點P，使|PA｜＋｜PB|最??；(2）在直線l上求一點P，使｜|PB|－|PA｜｜最大．反思與感悟（1）中心對稱①兩點關于點對稱:設P1(x1，y1）,P（a,b)，則點P1（x1，y1)關于點P(a,b）對稱的點為P2（2a－x1,2b－y1）,即點P為線段P1P2的中點；②兩直線關于點對稱：設直線l1,l2關于點P對稱,這時其中一條直線上任一點關于點P對稱的點都在另外一條直線上，必有l(wèi)1∥l2，且點P到直線l1、l2的距離相等．（2）軸對稱兩點關于直線對稱:設點P1,P2關于直線l對稱，則直線P1P2與l垂直，且P1P2的中點在l上．跟蹤訓練4在直線l：3x－y－1＝0上求一點P，使得：(1)P到A(4,1）和B(0,4）的距離之差最大;(2）P到A（4，1)和C(3,4）的距離之和最小．1．若方程（6a2－a－2)x＋（3a2－5a＋2）y＋a－1＝0表示平行于x軸的直線，則a的值是（）A.eq\f(2,3） B。eq\f(1,2）C。eq\f(2,3)，－eq\f（1,2) D．－eq\f(1，2）2．傾斜角為150°，在x軸上的截距為－1的直線方程是（)A。eq\r（3）x－3y＋1＝0 B。eq\r(3)x－3y－eq\r(3）＝0C.eq\r（3)x＋3y＋eq\r（3）＝0 D。eq\r(3）x＋3y±eq\r（3）＝03．已知直線l不經過第三象限,若其斜率為k,在y軸上的截距為b（b≠0）,則()A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥04．直線l：x－y＋1＝0關于y軸對稱的直線方程為（）A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝05．若直線mx－（m＋2）y＋2＝0與3x－my－1＝0互相垂直，則點（m,1)到y軸的距離為________．1．一般地,與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0；與之垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋n＝0.2．過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R），但不包括直線l2.3．點到直線的距離與兩平行線間的距離的使用條件：(1）求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式．（2）求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數對應相等．答案精析知識梳理1．（1)0°≤α〈180°2．y＝kx＋beq\f（x，a）＋eq\f(y,b）＝14．（1）eq\r（x2－x12＋y2－y12)（2)①eq\f（｜Ax0＋By0＋C｜，\r（A2＋B2））②eq\f（｜C1－C2|,\r(A2＋B2))題型探究例1解當直線l的斜率不存在時，直線l：x＝3，∴B（3,0），C(3,6)．此時|BC|＝6,|AB|＝1，|BC｜≠2｜AB｜，∴直線l的斜率存在．設直線l的方程為y＋1＝k（x－3）,顯然k≠0且k≠2。令y＝0，得x＝3＋eq\f(1，k）,∴B（3＋eq\f（1,k)，0），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＋1＝kx－3，））得點C的橫坐標xC＝eq\f（3k＋1,k－2).∵｜BC|＝2|AB|，∴|xB－xC｜＝2｜xA－xB|，∴｜eq\f（3k＋1,k－2）－eq\f（1，k）－3｜＝2｜eq\f（1,k）|,∴eq\f(3k＋1，k－2）－eq\f（1,k)－3＝eq\f(2，k)或eq\f（3k＋1,k－2)－eq\f（1,k）－3＝－eq\f(2,k）,解得k＝－eq\f(3，2)或k＝eq\f(1,4)?！嗨笾本€l的方程為3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0。跟蹤訓練1解當直線過原點時，設直線的方程為y＝kx，即kx－y＝0.由題意知，eq\f(｜3k－1|,\r（k2＋1）)＝eq\r（2），解得k＝1或k＝－eq\f(1,7）。所以所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0，當直線不經過原點時，設所求直線的方程為eq\f(x，a)＋eq\f(y,a）＝1,即x＋y－a＝0。由題意知，eq\f(｜3＋1－a｜,\r(2））＝eq\r(2),解得a＝2或a＝6。所以所求直線的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0。綜上可知,所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.例2解當兩條直線的斜率不存在時,兩條直線的方程分別為x＝－1，x＝0，它們在x軸上截距之差的絕對值為1，符合題意．當直線的斜率存在時，設其斜率為k，則兩條直線的方程分別為y＝k(x＋1），y－2＝kx.令y＝0,得x＝－1與x＝－eq\f（2,k）。由題意得｜－1＋eq\f(2，k)|＝1，即k＝1.∴兩條直線的方程分別為y＝x＋1,y＝x＋2，即x－y＋1＝0,x－y＋2＝0.綜上可知，所求兩條直線的方程分別為x＝－1,x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0。跟蹤訓練2解直線l1的斜率k1＝eq\f（3a－0,1－－2）＝a，當a≠0時，直線l2的斜率k2＝eq\f(－2a－－1，a－0)＝eq\f(1－2a，a).∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a·eq\f（1－2a，a）＝－1，得a＝1.當a＝0時,P（0，－1),Q(0，0），這時直線l2為y軸，A(－2，0)，B(1,0)，這時直線l1為x軸，顯然l1⊥l2。綜上可知，實數a的值為1或0。例3解將已知條件變形為y＝|eq\r（x－12＋22）－eq\r（x－22＋12)｜＝｜eq\r(x－12＋0－22)－eq\r(x－22＋0－12）｜。故設M（x，0)，A(1,2），B（2，1)，∴原條件變?yōu)閥＝｜|MA｜－|MB|｜。則上式的幾何意義為x軸上的點M(x，0）到定點A(1，2)與B(2,1)的距離的差的絕對值，由圖可知，當|AM|＝｜BM|時，y取最小值0。即eq\r（x－12＋4)＝eq\r(x－22＋1），解得x＝0，此時點M在坐標原點，ymin＝0.又由三角形性質可知，｜|MA|－｜MB||≤|AB｜，即當｜｜MA｜－|MB｜|＝｜AB｜，即當A、B、M三點共線時，y取最大值．由已知，得直線AB的方程為y－2＝－（x－1)，即y＝－x＋3，令y＝0,得x＝3,∴當x＝3時,ymax＝|AB|＝eq\r(2－12＋1－22）＝eq\r(2）。跟蹤訓練3解設點P(x,y)，則點P在直線l：4x＋3y－10＝0上，x2＋y2＝(eq\r(x2＋y2))2＝（eq\r(x－02＋y－02))2＝｜OP｜2。如圖所示,當OP⊥l時,|OP｜取最小值｜OM｜，原點O到直線l的距離|OM|＝d＝eq\f(|－10|，\r(42＋32）)＝2，即|OP|的最小值是2，所以x2＋y2的最小值是4.例4解（1）設點A關于直線l的對稱點為A′（m，n)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（n－0，m－2）＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2）＋8＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，，n＝8，）)故A′(－2,8)．因為P為直線l上的一點，則|PA|＋|PB｜＝|PA′｜＋｜PB|≥|A′B｜,當且僅當B、P、A′三點共線時,|PA|＋｜PB|取得最小值,為|A′B|，點P即是直線A′B與直線l的交點，解eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，，x－2y＋8＝0,))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝3，))故所求的點P的坐標為(－2，3)．(2)A，B兩點在直線l的同側，P是直線l上的一點,則｜|PB｜－｜PA｜｜≤｜AB｜,當且僅當A，B,P三點共線時,｜｜PB|－｜PA｜|取得最大值為|AB|，點P即是直線AB與直線l的交點，又直線AB的方程為y＝x－2，解eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x－2,,x－2y＋8＝0,)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝12,，y＝10，）)故所求的點P的坐標為（12,10)．跟蹤訓練4解(1)如圖，點B關于直線l的對稱點B′（3，3)．直線AB′的方程為2x＋y－9＝0,由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝5，）)即P(2,5)．（2）如圖，點C關于直線l的對稱點C′(eq\f(3，5)，eq\f（24，5)）,由圖像可知,|PA｜＋｜PC｜≥｜AC′|.當點P是直線AC′與l的交點時“＝”成立