步步高大一輪文科數(shù)學(xué)課件全國(guó)卷第十章第三節(jié)

§10.3

變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例基礎(chǔ)知識(shí)

自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.兩個(gè)變量的線性相關(guān)知識(shí)梳理(1)正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從

到

的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).(2)負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從

到

的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在

，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.左下角右上角左上角右下角一條直線附近2.回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的

的方法叫做最小二乘法.(2)回歸方程

是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中

，

是待定參數(shù).距離的平方和最小3.回歸分析(1)定義：對(duì)具有

的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.(2)樣本點(diǎn)的中心對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中

稱為樣本點(diǎn)的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量

；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量

.相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負(fù)相關(guān)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性

.r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間

.通常|r|大于

時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.越強(qiáng)幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系0.754.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的

，像這類變量稱為分類變量.(2)列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的

，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為不同類別頻數(shù)表2×2列聯(lián)表構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2＝

，其中n＝

為樣本容量.

y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋d(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量

來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量

”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).K2有關(guān)系判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系.(

)(2)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.(

)(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)值.(

)思考辨析×√√(4)某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得回歸方程

＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時(shí)，一定可賣出143杯熱飲.(

)(5)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大.(

)(6)由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為物理成績(jī)優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀.(

)×√×

考點(diǎn)自測(cè)1.(2015·湖北)已知變量x和y滿足關(guān)系

＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)答案解析所以x與y負(fù)相關(guān).又y與z正相關(guān)，所以x與z負(fù)相關(guān).故選C.

2.(教材改編)下面是2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為答案解析A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.

y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120

因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3,3.5)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除B，故選A.答案解析

4.(2017·湖南三校聯(lián)考)某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：答案解析x16171819y50344131由上表可得線性回歸方程

，據(jù)此模型預(yù)測(cè)零售價(jià)為15元時(shí)，每天的銷售量為A.51個(gè)

B.50個(gè)

C.49個(gè)

D.48個(gè)5.(2016·玉溪一中月考)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)判斷兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系，通過(guò)查閱下表來(lái)確定“X和Y有關(guān)系”的可信度.為了調(diào)查用電腦時(shí)間與視力下降是否有關(guān)系，現(xiàn)從某地網(wǎng)民中抽取100位居民進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)過(guò)計(jì)算得K2≈3.855，那么就有________%的把握認(rèn)為用電腦時(shí)間與視力下降有關(guān)系.答案解析根據(jù)表格發(fā)現(xiàn)3.855>3.841,3.841對(duì)應(yīng)的是0.05，所以根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理可知有95%的把握認(rèn)為用電腦時(shí)間與視力下降有關(guān)系.95P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828題型分類深度剖析

題型一相關(guān)關(guān)系的判斷例1

(1)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是答案解析A.①② B.②③

C.③④

D.①④∴①④一定錯(cuò)誤.(2)x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說(shuō)法中所有正確命題的序號(hào)為_____.答案解析①x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系；③x、y之間不能建立線性回歸方程.①②①顯然正確；判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r<0時(shí)，負(fù)相關(guān).思維升華

跟蹤訓(xùn)練1

(1)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝

x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為A.－1 B.0 C. D.1所有點(diǎn)均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大，即為1，故選D.答案解析

(2)變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1C.r2＜0＜r1

D.r2＝r1對(duì)于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r1＞0；對(duì)于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，即r2＜0，故選C.答案解析題型二線性回歸分析例2

(2016·全國(guó)丙卷)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；注：年份代碼17分別對(duì)應(yīng)年份2008－2014.解答由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.附注：解答所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為1.82億噸.線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程①利用公式，求出回歸系數(shù)

②待定系數(shù)法：利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù).(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值.(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)；決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)

.(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.46.65636.8289.81.61469108.8解答(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；解答(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？解答②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？解答根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)例3

(2016·福建廈門三中模擬)某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革的關(guān)系，隨機(jī)抽取了100名員工進(jìn)行調(diào)查，其中支持企業(yè)改革的調(diào)查者中，工作積極的有46人，工作一般的有35人，而不太贊成企業(yè)改革的調(diào)查者中，工作積極的有4人，工作一般的有15人.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；

解答根據(jù)題設(shè)條件，得2×2列聯(lián)表如下：

支持企業(yè)改革不太贊成企業(yè)改革總計(jì)工作積極46450工作一般351550總計(jì)8119100(2)對(duì)于人力資源部的研究項(xiàng)目，根據(jù)以上數(shù)據(jù)是否可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性有關(guān)系？解答P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828提出假設(shè)：企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性無(wú)關(guān).根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)，可以求得所以有99%的把握認(rèn)為抽樣員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與工作積極性有關(guān)，從而認(rèn)為企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性有關(guān).(1)比較幾個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法①通過(guò)計(jì)算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.②通過(guò)計(jì)算|ad－bc|的大小判斷：|ad－bc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.思維升華③比較k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.跟蹤訓(xùn)練3

(2017·衡陽(yáng)聯(lián)考)2016年9月20日是第28個(gè)全國(guó)愛牙日，為了迎接此節(jié)日，某地區(qū)衛(wèi)生部門成立了調(diào)查小組，調(diào)查“常吃零食與患齲齒的關(guān)系”，對(duì)該地區(qū)小學(xué)六年級(jí)800名學(xué)生進(jìn)行檢查，按患齲齒和不患齲齒分類，并匯總數(shù)據(jù)：不常吃零食且不患齲齒的學(xué)生有60名，常吃零食但不患齲齒的學(xué)生有100名，不常吃零食但患齲齒的學(xué)生有140名.(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為該地區(qū)學(xué)生常吃零食與患齲齒有關(guān)系？解答由題意可得2×2列聯(lián)表如下：根據(jù)2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得K2的觀測(cè)值為

不常吃零食常吃零食總計(jì)不患齲齒60100160患齲齒140500640總計(jì)200600800∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為該地區(qū)學(xué)生常吃零食與患齲齒有關(guān)系.(2)4名衛(wèi)生部門的工作人員隨機(jī)分成兩組，每組2人，一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)收集，另一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理，求工作人員甲分到收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到處理數(shù)據(jù)組的概率.解答P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828設(shè)其他工作人員為丙和丁，4人分組的所有情況如下表.由表可知，分組的情況共有6種，工作人員甲負(fù)責(zé)收集數(shù)據(jù)且工作人員乙負(fù)責(zé)處理數(shù)據(jù)的有2種，小組123456收集數(shù)據(jù)甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁處理數(shù)據(jù)丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙典例

(12分)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：思想方法指導(dǎo)

規(guī)范解答

求線性回歸方程的方法技巧思想與方法系列21年份20062008201020122014需求量/萬(wàn)噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程

；(2)利用(1)中所求出的線性回歸方程預(yù)測(cè)該地2016年的糧食需求量.回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)根據(jù)一組觀測(cè)值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)；(3)求出線性回歸方程。

返回解

(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間近似直線上升，下面來(lái)求線性回歸方程，先將數(shù)據(jù)處理如下表.年份－2010－4－2024需求－257－21－1101929由上述計(jì)算結(jié)果，知所求線性回歸方程為(2)利用所求得的線性回歸方程，可預(yù)測(cè)2016年的糧食需求量大約為6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬(wàn)噸).[12分]

返回課時(shí)作業(yè)1.(2016·衡水質(zhì)檢)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y滿足一組數(shù)據(jù)如下表所示.若y與x的線性回歸方程為

，則m的值是12345678910答案解析x0123y－11m8√2.(2016·湖南師大附中月考)已知x，y的取值如下表：12345678910x014568y1.31.85.66.17.49.3答案解析A.1.45 B.13.8 C.13 D.12.8√12345678910從而當(dāng)x＝13時(shí)，有y＝13.8.故選B.3.(2017·泰安月考)為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試.統(tǒng)計(jì)得到成績(jī)與專業(yè)的列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)A班14620B班71320總計(jì)21194012345678910附：參考公式及數(shù)據(jù)：(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的臨界值表：P(K2≥k0)0.0500.010k03.8416.63512345678910則下列說(shuō)法正確的是A.有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)B.有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)無(wú)關(guān)C.有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)D.有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)無(wú)關(guān)答案解析√3.841<K2<6.635，所以有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān).1234567891012345678910答案解析√∵0.85>0，∴y與x正相關(guān)，∴A正確；12345678910∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正確.故選D.5.有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b

乙班c30

合計(jì)

附：

P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.87912345678910A.列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B.列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與

班級(jí)有關(guān)系”D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)

與班級(jí)有關(guān)系”√答案解析12345678910由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，因此有97.5%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.12345678910A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件12345678910答案解析√7.以下四個(gè)命題，其中正確的序號(hào)是________.①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③在線性回歸方程

＝0.2x＋12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量

平均增加0.2個(gè)單位；④對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.答案解析②③①是系統(tǒng)抽樣；對(duì)于④，隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小，說(shuō)明兩個(gè)相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小.1234567891012345678910答案解析9.某百貨公司1～6月份的銷售量x與利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：12345678910月份123456銷售量x(萬(wàn)件)1011131286利潤(rùn)y(萬(wàn)元)222529261612解答根據(jù)表中2～5月份的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖所示：12345678910(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩