2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)28半角的正弦、余弦和正切(含解析)4_第1頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE10學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二十八)半角的正弦、余弦和正切(建議用時(shí):45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1。若函數(shù)f(x)=-sin2x+eq\f(1,2)(x∈R),則f(x)是()A。最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)B。最小正周期為π的奇函數(shù)C。最小正周期為2π的偶函數(shù)D.最小正周期為π的偶函數(shù)【解析】f(x)=-eq\f(1-cos2x,2)+eq\f(1,2)=eq\f(1,2)cos2x.故選D.【答案】D2。(2016·邢臺(tái)期末)若sin(π-α)=-eq\f(\r(5),3)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π,\f(3π,2))),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+\f(α,2)))等于()A。-eq\f(\r(6),3) B。-eq\f(\r(6),6)C。eq\f(\r(6),6) D。eq\f(\r(6),3)【解析】由題意知sinα=-eq\f(\r(5),3),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π,\f(3,2)π)),∴cosα=-eq\f(2,3),∵eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(3,4)π)),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+\f(α,2)))=coseq\f(α,2)=-eq\r(\f(1+cosα,2))=-eq\f(\r(6),6).故選B?!敬鸢浮緽3.(2016·鶴崗一中期末)設(shè)a=eq\f(1,2)cos7°+eq\f(\r(3),2)sin7°,b=eq\f(2tan19°,1-tan219°),c=eq\r(\f(1-cos72°,2)),則有()A。b>a〉c B。a>b>cC。a>c〉b D.c>b>a【解析】a=sin37°,b=tan38°,c=sin36°,由于tan38°〉sin38°>sin37°〉sin36°,所以b〉a〉c。故選A?!敬鸢浮緼4.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,則sin(α+2β)+sin(α-2β)等于()A.1 B.-1C。0 D.±1【解析】∵sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0,∴sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0.【答案】C5。若函數(shù)f(x)=(1+eq\r(3)tanx)cosx,0≤x〈eq\f(π,2),則f(x)的最大值是()A.1 B。2C。eq\r(3)+1 D.eq\r(3)+2【解析】f(x)=(1+eq\r(3)tanx)cosx=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\r(3)\f(sinx,cosx)))cosx=eq\r(3)sinx+cosx=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6))).∵0≤x〈eq\f(π,2),∴eq\f(π,6)≤x+eq\f(π,6)<eq\f(2,3)π,∴當(dāng)x+eq\f(π,6)=eq\f(π,2)時(shí),f(x)取到最大值2.【答案】B二、填空題6.若θ是第二象限角,且25sin2θ+sinθ-24=0,則coseq\f(θ,2)=________?!緦?dǎo)學(xué)號(hào):72010089】【解析】由25sin2θ+sinθ-24=0,又θ是第二象限角,得sinθ=eq\f(24,25)或sinθ=-1(舍去).故cosθ=-eq\r(1-sin2θ)=-eq\f(7,25),由cos2eq\f(θ,2)=eq\f(1+cosθ,2)得cos2eq\f(θ,2)=eq\f(9,25).又eq\f(θ,2)是第一、三象限角,所以coseq\f(θ,2)=±eq\f(3,5).【答案】±eq\f(3,5)7.(2016·重慶一中期末)eq\f(1,sin\f(π,18))-eq\f(\r(3),cos\f(π,18))=________.【解析】原式=eq\f(cos\f(π,18)-\r(3)sin\f(π,18),sin\f(π,18)cos\f(π,18))=eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos\f(π,18)-\f(\r(3),2)sin\f(π,18))),\f(1,2)sin\f(π,9))=eq\f(4sin\f(π,9),sin\f(π,9))=4.【答案】4三、解答題8。(2015·廣東高考)已知tanα=2.(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))的值;(2)求eq\f(sin2α,sin2α+sinαcosα-cos2α-1)的值.【解】(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=eq\f(tanα+tan\f(π,4),1-tanαtan\f(π,4))=eq\f(2+1,1-2×1)=-3.(2)eq\f(sin2α,sin2α+sinαcosα-cos2α-1)=eq\f(2sinαcosα,sin2α+sinαcosα-2cos2α)=eq\f(2tanα,tan2α+tanα-2)=eq\f(2×2,4+2-2)=1.9。設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2ωx+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx-\f(π,6)))+a(其中ω〉0,a∈R),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(π,6).(1)求ω的值;(2)設(shè)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3)))上的最小值為eq\r(3),求a的值?!窘狻縡(x)=1+cos2ωx+eq\f(\r(3),2)sin2ωx-eq\f(1,2)cos2ωx+a=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx+\f(π,6)))+a+1。(1)由2ωx+eq\f(π,6)=2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),得ωx=kπ+eq\f(π,6)(k∈Z)。又ω〉0,∴當(dāng)k=0時(shí),f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=eq\f(π,6ω)=eq\f(π,6),故ω=1。(2)由(1)知f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))+a+1,由eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,3),得eq\f(π,3)≤2x≤eq\f(2,3)π,eq\f(π,2)≤2x+eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6),∴當(dāng)2x+eq\f(π,6)=eq\f(5π,6),即x=eq\f(π,3)時(shí),f(x)取得最小值為eq\f(1,2)+a+1.由eq\f(1,2)+a+1=eq\r(3),得a=eq\r(3)-eq\f(3,2)。[能力提升]1。(2016·臨沂高一檢測(cè))已知450°〈α〈540°,則eq\r(\f(1,2)+\f(1,2)\r(\f(1,2)+\f(1,2)cos2α))的值是()A。-sineq\f(α,2) B。coseq\f(α,2)C。sineq\f(α,2) D.-coseq\f(α,2)【解析】因?yàn)?50°<α〈540°,所以225°<eq\f(α,2)〈270°,所以cosα<0,sineq\f(α,2)<0,所以原式=eq\r(\f(1,2)+\f(1,2)\r(\f(1+cos2α,2)))=eq\r(\f(1,2)+\f(1,2)\r(cos2α))=eq\r(\f(1,2)+\f(1,2)|cosα|)=eq\r(\f(1,2)-\f(1,2)cosα)=eq\r(sin2\f(α,2))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))=-sineq\f(α,2).故選A。【答案】A2.(2016·泉州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=2cos2eq\f(x,2),g(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)+cos\f(x,2)))2。(1)求證:feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))=g(x);(2)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的單調(diào)區(qū)間,并求使h(x)取到最小值時(shí)x的值?!窘狻?1)證明:f(x)=2cos2eq\f(x,2)=1+cosx,g(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)+cos\f(x,2)))2=1+2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)=1+sinx,∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))=1+coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))=1+sinx,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))=g(x),命題得證。(2)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=cosx-sinx=eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosx-\f(\r(2),2)sinx))=eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4))),∵x∈[0,π],∴eq\f(π,4)≤x+eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4),當(dāng)eq\f(π,4)≤x+eq\f(π,4)≤π,即0≤x≤eq\f(3π,4)時(shí),h(x)遞減,當(dāng)π≤x+eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4),即eq\f(3π,4)≤x≤π時(shí),h(x)遞增?!嗪?/p>

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