第二章 電阻電路等效變換

第二章電阻電路等效變換40W20W20W2.1

等效變換的概念2.2

無源電阻電路的等效變換2.3

有源電阻電路的等效變換2.4

輸入電阻第二章電阻電路等效變換2.1

電路等效變換的概念1.等效的概念N2aUI10WbN1abUIN2abUI7Wab6WUI6WN1U=10IU=10I現(xiàn)有兩個一端口（或稱二端）電路N1和N2。等效的概念結(jié)論：若兩個一端口N1和N2，不管結(jié)構(gòu)如何，只要對外特性相同，則二者互為等效的一端口電路。注意以下問題：兩個一端口N1和N2，內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以不同；等效是對外電路而言，對內(nèi)不等效！N110VI2ΩUN25AI2ΩUU=10-2IU=10-2I對內(nèi)，當外電路開路時，電壓源的電功率為0，而電流源的電功率50W，兩個電源不等效！

2.電路的等效變換b7Ωa6Ω10VI6ΩN1N2a10VI10WbI=1AI=1A

將兩個6W的電阻并聯(lián)，再與7W串聯(lián)，等于10W電阻，這種變換為等效變換。10W電阻為等效電阻Req。根據(jù)等效的概念，等效電路之間可以互相置換，這種置換的方式為等效變換。N210Wuus

R

R3i1R21’R1R4R5ReqReq外電路例2-1（1）

Req為等效電阻（2）替換前后，不變化部分的電路（外電路）的特性不變，即u

，i關(guān)系不變——對外(特性)等效。（3）等效變換對外電路而言等效，對內(nèi)不等效。內(nèi)電路2.2無源電阻電路的等效變換

u

=

R1i

+R2i

+R3i

+……+Rki

+……+Rni

=(R1+R2+R3+……+Rk+……Rn)i

=Reqi

1’ui1R2R1Rnu1unu2ui11’Req應用KVL：u

=u1+u2+u3

+……+uk

+……+un

通過同一電流電阻的聯(lián)接為串聯(lián).2.2.1電阻的串并聯(lián)

1.電阻的串聯(lián)

結(jié)論：串聯(lián)的每個電阻，其電壓與電阻值成正比?；蛘哒f總電壓根據(jù)各個串聯(lián)電阻的值進行分配。

uk=

Rki

=

u

（k=1,2,3,……,n)RkReq上式為電壓分配公式或分壓公式n個電阻串聯(lián)的等效電阻Req電阻串聯(lián)時，各電阻上的電壓為：例2-2三個電阻串聯(lián)，求每個電阻的電壓和功率。

串聯(lián)電阻的分壓比為

aR1＋－R2U3bI＋－UR3U2＋－＋－U1a＋－ReqUbI

若總電壓U為已知，在串聯(lián)電路中，各電阻上的電壓可由下式求出解Req＝R1+R2+R3(1)等效電阻ReqPPPP321++=IUIUIUIU321++=各電阻消耗的功率可以寫成如下形式：故有結(jié)論：串聯(lián)電阻電路中，每個電阻電壓比等于電阻值之比；每個電阻消耗的功率等于電阻值之比。(2)串聯(lián)電阻的功率分配關(guān)系2.電阻的并聯(lián)+u_i11’Geq

i=G1u+G2u+G3u+……+Gku+……+Gnu

=(G1+G2+G3+……+Gk+……Gn)u

=Gequ

+u_i1(R2)1’G1(Rn)G2Gni1i2in(R1)應用KCL：i=i1+i2+i3+……+ik+……+in

施加同一電壓電阻的聯(lián)接其中

并聯(lián)電阻的分流作用

ik=Gku

=i

（k=1,2,3,……,n)GkGeq——電流分配公式或分流公式

在電路分析中，常常遇到兩個電阻并聯(lián)的情況，即當n

=

2時，兩個電阻并聯(lián)，其等效電阻為結(jié)論：并聯(lián)的每個電阻中的電流與它們各自的電導值成正比。或總電流根據(jù)各個并聯(lián)電阻的電導值進行分配。并聯(lián)電阻電路有分流作用。電阻并聯(lián)時，各電阻上的電流為：

i1=i=iG1GeqR2R1+R2

i2=i=iG2GeqR1R1+R2abi＋－uReq(Geq)abi＋－ui2R1i1R2(G2)(G1)兩個電阻并聯(lián)各電阻的分流為三個電阻的并聯(lián)1111RRRR321++=GGGG321++=在并聯(lián)電路中，若總電流I為已知，各電導支路的電流由下式求出：abI＋－uR(G)abI＋－uI2R1I1R2i3R3(G1)(G2)(G3)或（1）

等效并聯(lián)電阻及分流關(guān)系（2）并聯(lián)電阻的功率分配關(guān)系各電導所消耗的功率可以寫成如下形式：

各并聯(lián)電導所消耗的功率與該電導的大小成正比，即與電阻成反比。三個電阻的并聯(lián)的電流比

G1==0.025mS,G2==0.1mS,G3==0.04mS

1R11R21R3解：按電流分配公式：

I1=Is=×16.5mA=2.5mAG1G1+G2+G30.0250.025+0.1+0.04

I2=Is=×16.5mA=10mAG2G1+G2+G30.10.025+0.1+0.04

I3=

Is=×16.5mA=4mAG1G1+G2+G30.040.025+0.1+0.04并聯(lián)，總電流為Is=16.5mA，求各分電流I1、I2和I3。例2-3已知R1=40k，R2=10k,R3=25k，三個電阻3.電阻的混聯(lián)

Req=R1+R2(R3+R4)R2+R3+R4例2-4求如圖電路的等效電阻，已知R1=100，

R2=60，R3=10，R4=20。1R11’R4R2R3解:既有串聯(lián)，又有并聯(lián)電阻的電路為混聯(lián)。R1R2abR7R5R4R6R3R34與R6串聯(lián)，其等效電阻為解:

R1和R2并聯(lián)等效電阻為R3和R4并聯(lián)，其等效電阻為R34=1

R346=1+1=2R346//R5，R3465=1，R3465與R12串聯(lián)，R346512=5

R346512//R7得ab端等效電阻Rab=2.5

。例2-5圖示電路，R1=12

，R2=6

，R6=1

，R7=5

，

R3=R4=R5=2

，求ab端等效電阻。2.2.2

電阻的Y形聯(lián)接和△形聯(lián)接的等效變換i1i2i3123R1R2R3-

u23

+u12u31R12R23R31231U23’u31’u12’i2’i3’i1’R1、R2、R5？YR1、R3、R5？△Y形聯(lián)接△形聯(lián)接bR1R2R5adcR3R4R6Usi1i2i3123R1R2R3-

u23

+u12u31i2’R12R23R31231U23’u31’u12’i3’i1’ac兩端的等效電阻RacY形聯(lián)接△形聯(lián)接bR1R2R5adcR3R4R6UsIR8R7R9Y、△聯(lián)接的例子bR1R2R5Y—△等效的條件：△連接電路：i12=u’12R12,i23=u’23R23,i31

=u’31R31根據(jù)KCL：i1’=u’12R12u’31R31-(2-5)i2’=u’23R23u’12R12-i3’=u’31R31u’23R23-i2’R12R23R31231U23’u31’u12’i3’i1’1.具有相同的電壓u12=u’12

、u23=u’23

、u31=u’31

2.流入對應端子的電流分別相等，即i1=i1’,i2=i2’,i3=i3’Y連接電路：i1+i2+i3=0得出：R1R3R2i2i3123i1R1

i1-R2

i2=u12R2

i2–R3

i3=u23i1=R3

u12R1R2+R2R3+R3R1-R2

u31R1R2+R2R3+R3R1(2-6)i2=R1

u23R1R2+R2R3+R3R1-R3

u12R1R2+R2R3+R3R1i3=R2

u31R1R2+R2R3+R3R1-R1

u23R1R2+R2R3+R3R1i1’=u12R12u31R31-i2’=u23R23u12R12-i3’=u31R31u23R23-R12=R1R2+R2R3+R3R1R3(2-7)R23=R1R2+R2R3+R3R1R1R31=R1R2+R2R3+R3R1R2R2

u31R1R2+R2R3+R3R1i1=-i2=R1

u23R1R2+R2R3

+R3R1-R3

u12R1R2+R2R3+R3R1i3=R2

u31R1R2+R2R3

+R3R1-R1

u23R1R2+R2R3+R3R1R3

u12R1R2+R2R3

+R3R1觀察△和Y連接的電流：△Y:(2-8)R1=R12R31R12+R23+R31R2=R12R23R12+R23+R31R3=R31R23R12+R23+R31(2-7)R12

=R1R2+R2R3+R3R1R3R23

=R1R2+R2R3+R3R1R1R31

=R1R2+R2R3+R3R1R2=R1R2

R3R1+R1+=R2R3R1R2+R3+=R3R1R2R1+R3+Y△:電阻Y形聯(lián)接和△形聯(lián)接的等效變換結(jié)論:Y形電阻=△形相鄰電阻的乘積△形電阻之和△形電阻=Y形電阻兩兩乘積之和Y形不相鄰電阻若R1=R2=R3=RY

,則R△

=R12=R23=R31=3RY

或RY=R

△

13=Y形相鄰電導的乘積Y形電導之和R121①②③④

⑤

22211R121①②③④

⑤

0.40.4210.8R2R4R3例2-6

求橋形電路的總電阻R12abRRabReqabReq=5R/6例2-7(a)利用電路的對稱性，簡化電路。例2-7(b)已知電橋平衡，求電流。電橋平衡滿足R1R2=R3R4IR1R2R3R4R5UsabI1a、b為等電位點,R1與R4、R2與R3并聯(lián)，再串聯(lián)。I1=0,a、b兩點斷開，R1與R3、R2與R4串聯(lián)，再并聯(lián)。

在計算等效電阻時，還會遇到電路有等電位點，或某條支路沒有電流的情況，這時，等電位電間可以用短路線連接，沒電流的支路可視為開路，處理后，可以簡化電路。

可根據(jù)電路的對稱性，找等電位。由上述分析可以看出：2.3有源電路的等效變換注意：1.電壓源串聯(lián)的方向。等效電壓源的電壓值為各個電壓源的代數(shù)和。

2.電壓源不能并聯(lián)，只有電壓相等,極性一致的電壓源才允許并聯(lián)。否則違背KVL。

nk=1u=us1+

us2+…+

usn=

usk2.3.1電壓源、電流源的串聯(lián)和并聯(lián)等效電壓源us112+

-us2usn+

-+

-u12us+

-u1.電壓源的串聯(lián)和并聯(lián)根據(jù)KVL,電壓源串聯(lián)后電壓為2.電流源的串聯(lián)和并聯(lián)根據(jù)KCL有電流源的方向。等效電流源的電流值等于各個電流源電流的代數(shù)和。2.電流源一般不能串聯(lián)。只有電流相等且方向一致的電流源才允許串聯(lián)，否則違背KCL。nk=1i=

is1+

is2+…+

isn=

iskis12i等效電流源nk=1is=

isk等效電流源的電流為注意：is112is2isni3.電流源與電壓源（或電阻）串聯(lián)與電流源串聯(lián)的電壓源、電阻或一端口，對外電路而言，均為多余的元件。它們的等效電路為一電流源，其值為原電路中的電流源電流值。iis12usuis12ui1iis2Ruis一端口i2u1結(jié)論：4.電壓源與電流源或電阻并聯(lián)與電壓源并聯(lián)的電流源、電阻或一端口，對外電路而言，均為多余的元件。它們的等效電路為一電壓源，其值為原電路中的電壓源電壓值。i12usuisusi12uR一端口12uius12ui結(jié)論：2.3.2

實際電源的兩種模型及其等效變換實際電源uRiu0i實際電源的伏安特性方程u=f(i)

干電池穩(wěn)壓源實際電源實際電源的伏安特性u=us-RiUsUsRRiu0iiRusu11’isi11’uR’u=isR’-R’i2.電流源與電阻并聯(lián)組合（有伴電流源）的VCR

isR’isR’iu0i1.電壓源與電阻串聯(lián)組合（有伴電壓源）的VCR

實際電源有兩種模型u=us-Ri

兩種模型的特性曲線相同，二者對外電路等效。

兩種模型的特性方程對應相等，即u=R’is–R’i兩種模型等效變換條件為小結(jié)：1.實際電源的兩種模型（有伴電源）的可以等效變換。要注意電源的方向。2.電壓源和電流源（無伴電源）不能等效變換。3.等效是對外電路而言，對內(nèi)電路不等效。3.實際電源的兩種模型的等效變換條件R’=R和

us=Ris當u=0時，短路電流isc=is，電流源發(fā)出的功率P=0。開路時，電流源發(fā)出的功率

=

is2R’

isi11’uR’iRusu11’當u=0時，短路電流isc=us/R，電壓源發(fā)出的功率P=(us/R)2R=us2/R。開路時，電壓源發(fā)出的功率

=

0。由此可知，對內(nèi)是不等效的。有伴電源的功率i2W10Vu11’5Ai11’u2Wi3W15Vu11’5Ai11’u3W例2-8

簡化電路（1）（2）i3W15Vu11’6W5Ai11’u6W3W5Ai11’u3W2W12V5Ai11’u2Wi3W15Vu11’2W12Vi5W27Vu11’（3）（4）i722A26A23A6V2i76A22A29A17i2A29V14V27i5V37ii=0.5A例2-9求電路中的電流

i2.3.3受控源串并聯(lián)及等效變換按KVL有

Ri+Ri

+uc

=us

2uR

+4

uR

=us

uR

=

=2Vus6例2-9求如圖電路的電壓uR受控源串、并聯(lián)及等效變換方法與獨立電源等效變換方法相同，但要注意，不要把控制量變換掉。Ri

uRRusuc

uc=R?2uR=2?2uR

=4uRusR2uRR

uRi12V22i110i15i2i110i15i2i5i22i2.5i1例2-10簡化含受控源電路u如果一個網(wǎng)絡(luò)具有兩個引出端子與外電路相聯(lián)而不管其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如何復雜，這樣的網(wǎng)絡(luò)叫做一端口網(wǎng)絡(luò)或二端網(wǎng)絡(luò)或單口網(wǎng)絡(luò)。2.4輸入電阻的計算無源一端口的輸入電阻Rin定義為：無源一端口網(wǎng)絡(luò)：線性二端電阻和線性受控源構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)（不含獨立源）。

輸入電阻是不含獨立電源的一口網(wǎng)絡(luò)的端電壓與端電流之比值，等效電阻則是用來等效替代一端口的電阻。僅含電阻的單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個線性二端電阻：應用電阻的串、并聯(lián)和Y－△變換求解。i+_uReq

對于含受控源的無源一端口電路，就端口特性而言，也等效為一個線性二端電阻，其等效電阻值常用外加獨立電源計算一端口VCR方程的方法求得。稱為外加電源法（也稱電壓電流法）。外加電源法：在端口間加以電壓源us，求端口電流i?；蛟诙丝陂g加以電壓源is，求端口電壓u。uSiNiSuN解：通常有兩種求入端電阻的方法①加壓求流法②加流求壓法下面用加流求壓法求RabRab=U/I=(1-b)R當b<1,Rab>0，正電阻正電阻負電阻uiU=(I-bI)R=(1-b)IR當b>1,Rab<0，負電阻例2-11求a,b兩端的入端電阻Rab

(b≠1)IbIRabU解：加電壓源壓求電流法由KVL及KCL得故所求輸入電阻例2-12求圖示