第二章 連續(xù)性方程和運動方程

高等傳遞過程動量傳遞張浩勤教授1主要內容

第二章動量傳遞的基本規(guī)律：連續(xù)性方程運動方程奈維-斯托克斯方程（層流）第三章奈維-斯托克斯方程應用平壁間流動園管內流動爬流勢流平面流第四章邊界層流動第五章湍流理論（雷諾方程（湍流））動量傳遞的概念2動量傳遞的應用了解流場中速度、壓力的分布規(guī)律；解決與流體輸送相關的單元操作過程中的問題；為熱質傳遞研究奠定基礎。3數(shù)學補充42場論基礎知識5（2）場論67本章重點：1掌握研究問題的兩種方法并能夠應用；

2偏導數(shù)、全導數(shù)、隨體導數(shù)的差別；

3連續(xù)性方程的推導和應用條件；4運動方程推導思路和應用條件；5熟悉場論中的數(shù)學表示方法。第二章連續(xù)性方程與運動方程8研究對象牛頓流體、單一組分、等溫流動系統(tǒng)9第一節(jié)描述流動問題的兩種觀點拉格朗日（Lagrange）觀點：在流體運動的空間中選擇某一固定質量的流體微元，觀測者隨此質點運動（相對坐標系）。觀測其特征變化來研究整個流體運動規(guī)律。質量固定，位置和體積可變。如隨船觀水，氣球探測。10歐拉觀點：流體運動的空間中固定某一位置和體積，分析這點所通過的流體的特性變化來研究整個流體的運動規(guī)律位置和體積固定，質量隨時間變化。如岸上觀水，地面觀測站。強調:對同一流場，無論采用哪種觀點，其結果都是相同的，只不過采用的觀點得當，分析問題方便、簡捷一些。11流線與軌線軌線：流體質點在流場中的運動軌跡，是拉格朗日法考察流體運動所得的結果。軌線上某一點的切線代表質點的運動方向，軌跡給出了同一質點在不同時刻的速度方向。（在黑板上畫圖）1213流線：流線時這樣的空間曲線，對于某一固定時刻，曲線上任一點處的速度方向和曲線在該點的切線方向重合。流線是歐拉法考察的結果。流線是同一時刻由不同流體質點所占據的空間曲線。它給出該時刻不同質點的運動方向。（在黑板上畫圖）1415注意：流線的性質：①在任一時刻通過流場中任何一個空間點都有一條流線，所以流場中的流線是流線簇。在流線簇中，流線越密，代表速度越大。②流線是不能相交的。因為空間上每一點只能有一個速度方向，所以不能有兩條流線同時通過一點。即流體不能穿越流線流動。特例：在速度為零或無限大的空間點上例外，速度為零的點稱為駐點，速度無限大的點稱為奇點。③流線的形狀和位置，在穩(wěn)態(tài)流動中不隨時間變化，在非穩(wěn)態(tài)流動中，一般要隨時間變化。④對于穩(wěn)態(tài)流動，流場中任何參數(shù)均不隨時間變化，故流線方程與軌線方程重合。1617流線方程18192021系統(tǒng)與控制體控制體：對于某個坐標系來說，固定不變的任何體積稱之為控制體?？刂企w的邊界稱為控制面。控制面總是封閉的。應當指出，占據控制體的諸流體質點可以隨時間而變化。特點：①控制面相對于坐標系是固定的。②在控制面上可以有質量交換（即有流體進入或流出控制面）、熱量交換（能量(熱、功、內能等)輸入或輸出控制面）；控制面上也可以受到控制體以外施加在控制體物質上的力而引起動量交換。③控制體內部質量、熱量、動量的儲存量可能改變。④控制體可以是運動的，也可以是固定的?？刂企w是歐拉法的結果。22系統(tǒng)：所取控制體無質量穿越其表面，既沒有流體進出，則此固定質量的控制體稱為系統(tǒng)。特點：①系統(tǒng)的邊界面的形狀、位置可以隨時間而變化，系統(tǒng)的邊界隨著流體一起運動。②在系統(tǒng)的邊界上，可以有熱量交換、動量交換，但是沒有質量交換。系統(tǒng)是拉格朗日觀點的結果。小結：拉格朗日觀點系統(tǒng)軌線歐拉觀點控制體流線23不同的導數(shù)偏導數(shù)：某固定點處流體密度ρ隨時間的變化率。全導數(shù)：流體密度由于位置和時間變化而產生的變化率（觀測者在流體中以任意速度運動）。隨體導數(shù)：觀測者隨流體隨波逐流運動，即觀測者在流體中與流體流速完全相同的速度運動。此時：24隨體導數(shù)25隨體導數(shù)一般情況，算符可用下式表示：算符所表示的函數(shù)稱為隨體導數(shù)或實體導數(shù)、拉格朗日導數(shù)。26第二節(jié)連續(xù)性（微分質量衡算）方程前提條件：單組分等溫流動系統(tǒng)分析方法：歐拉法控制體：流體質點

27

（輸出的質量流率）—（輸入的質量流率）

＋累積的質量速率＝0

28第二節(jié)連續(xù)性（微分質量衡算）方程在x左側面：輸入微元體積的質量流率輸出微元體積的質量流率zxydzdxdy(x,y,z)dydzρuxdydz29微分質量衡算方程于是得到x方向輸出與輸入微元體積的質量流率之差：同理在y方向：Z方向：30微分質量衡算方程（輸出的質量流率）—（輸入的質量流率）＝累積的質量流率＝質量衡算：出—入＋累積＝031微分質量衡算方程寫成向量形式：展開：連續(xù)方程式一般形式32微分質量衡算方程的進一步分析與隨體導數(shù)定義：得：（2-7b）33隨體導數(shù)的意義對流導數(shù)：由于流體質點運動，從一個點轉移到另一個點時發(fā)生的變化；所以上述方程式表明：流體微元體積上的一個點在dθ時間內從進入微元體積的空間位置（x,y,z)移動到微元體積的空間位置（x+dx,y+dy,z+dz)時，流體密度ρ隨間的變化率.z(x,y,z)xydzdxdy34微分質量衡算方程的進一步分析∵ρv=1，對該式求隨體導數(shù)，得：（2-9）比較（2-7b)與（2-9）：體積變形率速度向量的散度35體積變性率和線性變型率x1x236幾種特殊情況下連續(xù)方程簡化穩(wěn)態(tài)流動，密度不隨時間變化，即簡化為：對于不可壓縮流體，ρ于時間與空間無關：不可壓縮流體的連續(xù)性方程。（2-12）37柱坐標和球坐標連續(xù)性方程式zxy(x,y,z)或（r,Φ,θ）zxy(x,y,z)或（r,θ,z）θΦθ38柱坐標和球坐標連續(xù)性方程式柱坐標：球坐標：39思考題：推導球坐標系的連續(xù)性方程。參見浙大教材40第三節(jié)運動方程衡算基礎：動量守恒方程研究方法：拉格朗日法41用應力表示的運動方程（一）動量守恒定律在流體微元上的表達式（拉格朗日法）牛頓第二定律：物體動量隨時間的變化率等與該物體所受外力的矢量和。（2-16）F—諸外力的向量合；M—流體的質量U—流體的速度向量；θ—時間。

慣性力＝外力＝（質量）＊加速度42拉格朗日法：在流體運動的空間內，選擇某一固定質量的流體微元（M為常數(shù)），觀察者追隨此流體微元且一起運動（在相對坐標系下，可以用隨體導數(shù)的概念來描述），并根據此運動流體微元的變化狀況來研究整個流場中流體運動規(guī)律。固定質量的流體微元：體積

質量=常數(shù)所以

43微分動量衡算方程對于微元流體在x、y、z三個方向：力：質量力或體積力FB，作用在整個微元流體上；表面力或機械力，作用在微元流體諸表面上的外力，計為FS.它又可分為法向力和剪應力。44(二)、作用于微元體上的外力分析

合外力（慣性力）=質量力+表面力質量力作用在所有流體質點上的力，重力離心力電場力等。表面力：作用在控制面上的力,在此即作用在流動著的流體微元表面的力.機械力(接觸力)這些力是由該控制體毗鄰的流體所產生的,由靜壓力和粘性力提供.對于單位面積而言,稱為表面應力.表面應力分為法向應力和切向應力(剪應力).表面力=法向應力+切向應力45質量力（重力）在x方向上：dFxB=XρdxdydzX-單位質量流體的質量力在x方向上的分量。重力X＝gconβ=Fxg當X方向為水平方向時，X=Fxg＝0,β＝90度當X方向為垂直方向，X＝g＝9.81m/s2X與重力方向可以相同，也可以不同βgx46表面力yzxτxxτxyτxzτxy

第一個下表表示應力分量的作用面與x軸垂直。第二個下標y表示應力方向為y軸方向。

τxx

表示法向

應力分量。拉伸方向（向外）為正，壓縮方向（向內）為負。微元流體在運動時，由于法向應力和剪應力的存在，使其發(fā)生形變。47表面力每一表面的機械應力均可分解成三個平行于x、y、z三個坐標軸的應力分量3個六個表面，3×6=18個zxydzdxdy48當小微元體體積縮小為一點時，相對表面上的法向應力與切線應力都是相應地大小相等、方向相反的。故只需采用9個機械應力就可以完全表達：3個法向分量，6個切線分量。以后將證明該矩陣為對稱矩陣49

6個切向應力分量之間的關系上述6個剪應力可以使小微元旋轉且彼此不獨立。可以由此關聯(lián)起來。這四個剪應力對于旋轉軸線產生力矩：力矩＝質量×旋轉半徑的平方×角加速度

dy/2dx/2odx/2dy/2xy50表面力力矩＝質量×旋轉半徑×角加速度∴當小微元體積趨近于0使旋轉半徑趨近于0∴同理：51用應力表示的運動方程zxydzdxdy簡化后：X方向表面力52X方向總的外力分量dFx外力分量=質量力分量＋表面力分量（2-27a）53以應力項表示的粘性流體運動微分方程54問題與討論55應力與應變速率的關系尋找關系如何著手？粘性流體在運動時各層之間會發(fā)生相對運動，那么粘性與流體的形變之間必然有一定的聯(lián)系。在三維流動中，應力與應變速率之間的關系十分復雜，法向應力的作用難以判斷。思路：將剛體力學中應力與應變的關系，改進后用于流體力學。參考書：王紹亭，陳濤，動量熱量與質量傳遞，天津科學技術出版社，1986年。56一維流動剪應力（τ—u聯(lián)系起來)57585960三維流動,顯然,由于粘性力的作用,流體微元會發(fā)生變形.61對三維流動，如圖所示的流體微元，其體積為。由力的分析可知，它在流動過程中會發(fā)生體積形變，即由原來的長方形六面微元體變?yōu)橐粋€菱形六面微元體。對于x-y平面而言，起作用的切向應力分量有4個，其中τxy

和τyx分別作用在與x-y平面相垂直的4個平面上。相對應邊上的兩個應力方向等值反向。經過微分時間dθ后，原來的長方形變?yōu)榱庑?圖中虛線所示)，相鄰兩條邊線的夾角減小。626364剪應力（2-34a)（2-34b)（2-34c)τ與速度關聯(lián)起來65法向應力在三維流動中，判斷法向應力的作用更為困難。其推導過程較長，我們不打算詳細介紹。同學們可參見其他參考書中的推導。在此，我們主要介紹一些基本的概念。流體靜止時，法向應力在數(shù)值上等于流體的靜壓力，但方向相反。τxx=τyy=τzz=－p或p=－1/3(τxx+τyy+τzz)66在流動流體中，法向應力由下列兩種類型的應力所提供，其一為靜壓力，它使流體微元承受壓縮應力，發(fā)生體積形變；其二是由流體流動時的粘性應力的作用產生，其結果是使流體微元在法線方向上承受拉伸或壓縮應力，發(fā)生線性形變。法向應力與壓力和粘性應力的關系，可寫為：

σ表示粘性應力引起的附加法向應力。6768法向應力（2-35a)（2-35b)（2-35c)τ與速度關聯(lián)起來69剪應力和法線應力（2-34a)（2-34b)（2-34c)（2-35a)（2-35b)（2-35c)70粘性流體的運動微分方程

（Navier-Stokes方程）將（2-342-35)代入上式：71粘性流體的運動微分方程

（Navier-Stokes方程）其它方向略。見2-365個未知數(shù)，ux，uy，uz，ρ，p加上連續(xù)性方程和狀態(tài)方程f(ρ，p)=0，5個方程，原則上可解。但由于非線性偏微分方程，目前還無法求其通解。為此，需根據實際加以簡化，去掉一些項，使之可解72討論慣性力質量力壓力粘性力73方程簡化對于不可壓縮流體見2-3774柱坐標75球坐標76球坐標77討論奈維-斯托克斯方程是用于牛頓流體，層流流動。奈維-斯托克斯方程是單位體積微元力的平衡式慣性力重力壓力粘性力在不同的流動系統(tǒng)中，四種力所起的作用不同，視具體的情況可以簡化。例如，對于理想流體，粘度等于0，粘性力項必然等于0。一般而言，對粘性流體管內流動，重力的作用較小。但對于瀑布類的流動，重力的作用是不可低估的。對于靜止流體，速度等于0，可以簡化為靜力學方程式。78奈維-斯托克斯方程原則上是可解方程。未知數(shù)ux

uy

uzpρ共5個方程數(shù)奈維-斯托克斯方程3連續(xù)性方程1流體狀態(tài)方程1共5個例如，對于不可壓縮均質流體ρ=常數(shù)實際上，非線性方程組的解析解求起來十分困難，只能對簡單的定解條件的情況得到。大量的復雜的情況可借助于數(shù)值求解。79定解條件奈維-斯托克斯方程和定解條件一起才構成完整的數(shù)學模型。初始條件：傳遞現(xiàn)象滿足的初始狀態(tài)條件。θ=0，ux

uy

uzpρ的值對于穩(wěn)態(tài)流動，沒有初始條件。邊界條件：傳遞現(xiàn)象在邊界上滿足的條件。邊界形式多種多樣，具體問題要具體分析。80常見的有幾種：固體壁面的粘附條件：粘性流體在靜止壁面上速度為零。在運動壁面上流體速度與運動壁面的速度相等。②自由表面通常自由表面指一個流動的液體暴露于氣體中的那一部分界面。自由表面上壓力相等。一般的情況，認為在氣液界面上，切應力是連續(xù)的。如果，氣液界面的摩擦力可以忽略，可以認為剪應力為零。③無窮遠處的邊界條件參見繞流的分析。81消去質量力