直線、平面平行的判定與性質(zhì)

直線、平面平行的判定與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言 圖形語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線判定定理? 平行，則該直線與此平面平行 (線線平行線面平行)一條直線與一個平面平行，則過這條直性質(zhì)定理 線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)應(yīng)用判定定理時，要注意“內(nèi)”“外”“平行”三個條件必須都具備，缺一不可.2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言 圖形語言一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，判定定理?則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)如果兩個平行平面同時性質(zhì)定理 和第三個平面相交，那么它們的交線平行如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行.符號表示：

符號語言l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥αl∥α，l?β，α∩βb，∴l(xiāng)∥b符號語言∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥ba?α，b?α，a∩b＝O，a′?β，b′?β，a∥a′，b∥b′?α∥β.二、常用結(jié)論平面與平面平行的三個性質(zhì)(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．(3)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．考點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)考法(一)直線與平面平行的判定[典例]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點M，N分別為線段A1B，AC1的中點．求證：MN∥平面BB1C1C.[證明]如圖，連接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為平行四邊形．又因為N為線段AC1的中點，所以A1C與AC1相交于點N，即A1C經(jīng)過點N，且N為線段A1C的中點．因為M為線段A1B的中點，所以 MN∥BC.又因為MN?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例](2018·東名校聯(lián)考豫)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG.求證：FG∥平面AA1B1B.[證明]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因為BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[題組訓(xùn)練]1．(2018·江高考浙)已知平面 α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件n?

解析：選A ∵若m?α，n?α，且m∥n，由線面平行的判定定理知 m∥α，但若α，且m∥α，則m與n有可能異面，∴ “m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．2．如圖，在四棱錐 P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M為PC上一點，且

m?α，PM＝2MC.求證：BM∥平面PAD.證明：法一：如圖，過點 M作MN∥CD交PD于點N，連接AN.2∵PM＝2MC，∴MN＝3CD.2又AB＝3CD，且AB∥CD，AB綊MN，∴四邊形ABMN為平行四邊形，BM∥AN.又BM?平面PAD，AN?平面PAD，∴BM∥平面PAD.法二：如圖，過點 M作MN∥PD交CD于點N，連接BN.PM＝2MC，∴DN＝2NC，2又AB∥CD，AB＝3CD，AB綊DN，∴四邊形ABND為平行四邊形，BN∥AD.BN?平面MBN，MN?平面MBN，BN∩MN＝N，AD?平面PAD，PD?平面PAD，AD∩PD＝D，∴平面MBN∥平面PAD.BM?平面MBN，∴BM∥平面PAD.3.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.證明：如圖所示，連接 AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，PA∥GH.考點二 平面與平面平行的判定與性質(zhì)[典例] 如圖，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明] (1)∵GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，EF∥BC，EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，A1E∥GB.A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[變透練清]1.變結(jié)論 在本例條件下，若 D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面 A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖所示，連接 A1C，AC1，設(shè)交點為M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接 MD，D為BC的中點，∴A1B∥DM.DM?平面A1BD1，A1B?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知 D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1?平面AC1D，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點，求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)如圖，連接 AE，設(shè)DF與GN的交點為 O，則AE必過DF與GN的交點O.連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形 ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.[課時跟蹤檢測 ]A級1．已知直線 a與直線b平行，直線 a與平面α平行，則直線 b與α的關(guān)系為( )A．平行 B．相交C．直線b在平面α內(nèi) D．平行或直線 b在平面α內(nèi)解析：選D 依題意，直線 a必與平面 α內(nèi)的某直線平行，又 a∥b，因此直線 b與平面α的位置關(guān)系是平行或直線 b在平面α內(nèi)．2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面 β內(nèi)且過B點的所有直線中(

)A．不一定存在與 a平行的直線B．只有兩條與 a平行的直線C．存在無數(shù)條與 a平行的直線D．存在唯一與 a平行的直線解析：選A 當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與 a平行的直線，故選 A.3．在空間四邊形 ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對角線 AC和平面DEF的位置關(guān)系是 ( )A．平行 B．相交C．在平面內(nèi) D．不能確定解析：選

A

如圖，由

AEEB＝CFFB得

AC∥EF.又因為EF?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF.4．(2019

·慶六校聯(lián)考重

)設(shè)

a，b是兩條不同的直線，

α，β是兩個不同的平面，則

α∥β的一個充分條件是 ( )A．存在一條直線 a，a∥α，a∥βB．存在一條直線 a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線 a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析：選D 對于選項A，若存在一條直線 a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線 a，使得a∥α，a∥β，所以選項 A的內(nèi)容是 α∥β的一個必要條件；同理，選項 B、C的內(nèi)容也是 α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于選項 D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有 α∥β，所以選項 D的內(nèi)容是α∥β的一個充分條件．故選 D.5.如圖，透明塑料制成的長方體容器 ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊 BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時，

BE·BF

是定值．其中正確命題的個數(shù)是

(

)A．1

B．2C．3

D．4解析：選C 由題圖，顯然①是正確的，②是錯誤的；對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，F(xiàn)G?平面EFGH，A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正確的；對于④，∵水是定量的 (定體積V)，1S△BEF·BC＝V，即2BE·BF·BC＝V.2V∴BE·BF＝BC(定值)，即④是正確的，故選 C.6.如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，則PC＝CD，∴AB＝PA×CD＝5×1＝5.PAABPC22答案：527．設(shè)α，β，γ是三個平面， a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(填序號)．解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確； 當(dāng)b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．故應(yīng)填入的條件為①或③ .答案：①或③8．在三棱錐 P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點 G作三棱錐的一個截面，使截面平行于 PB和AC，則截面的周長為 ________．解析：如圖，過點 G作EF∥AC，分別交 PA，PC于點E，F(xiàn)，過點E作EN∥PB交AB于點N，過點F作FM∥PB交BC于點M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝2AC＝312，F(xiàn)M＝EN＝3PB＝2，所以截面的周長為2×4＝8.答案：89.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點．求證：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明：(1)如圖，取 B1D1的中點O，連接GO，OB，因為OG綊1B1C1，BE綊1B1C1，22所以BE綊OG，所以四邊形 BEGO為平行四邊形，故OB∥EG，因為OB?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(2)由題意可知 BD∥B1D1.連接HB，D1F，因為BH綊D1F，所以四邊形 HBFD1是平行四邊形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.10．(2019·昌摸底調(diào)研南 )如圖，在四棱錐∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面

P-ABCD 中，∠ABC＝ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)

M，N分別為

PD，AD

的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P-ABM的體積．解：(1)證明：∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3，∴三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝1×1×1×3×2＝3.323B級1.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．(1)求證：MN∥平面PAB；(2)求四面體 N-BCM的體積．解：(1)證明：由已知得 AM＝23AD＝2.取BP的中點

T，連接

AT，TN，由N為

PC的中點知

TN∥BC，1TN＝2BC＝2.又AD∥B